2025-2026学年广东省深圳市光明中学高二（下）期末数学试卷

这是一份2025-2026学年广东省深圳市光明中学高二（下）期末数学试卷，共3页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.集合M={x|2x-1＞5}，N={1，2，3}，则M∩N=（ ）
A. {1，2，3}B. {2，3}C. {3}D. ∅
2.已知复数z满足i•z+2=2i,则|z|=（ ）
A. B. C. 4D. 8
3.已知{an}是公差不为0的等差数列，a1=-2，若a3，a4，a6成等比数列，则a10=（ ）
A. -20B. -18C. 16D. 18
4.已知a＞0，b＞0，则（ ）
A. a2+b2＞2abB. ≥C. a+b＞D. ≤
5.已知空间向量，平面α的一个法向量为，则向量在平面α上的投影向量是（ ）
A. （-4，1，3）B. C. （4，-1，-3）D.
6.已知直线l在平面α外，则下列命题一定正确的是（ ）
A. 存在直线m⊂α，使l与m的夹角为B. 存在直线m⊂α ，使l∥m
C. 存在直线m⊂α ，使l与m相交D. 存在直线m⊂α，使l⊥m
7.若函数在上恰有两个零点，则实数ω的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
8.已知椭圆E：的一个焦点为F（1，0），中心为O.C是E上的动点，P是以CF为直径的圆上的动点，且|OP|的最大值为4，则E的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.为了研究某款新上市智能手环的直播间展示时长（单位：分钟）与即时下单量（单位：件）之间的关系，某电商平台随机记录了5场直播带货的数据，如下表所示：
若y与x的经验回归方程为，样本相关系数为r,则（ ）
A. r＞0
B. 回归直线过点（3，25）
C.
D. 当直播间展示时长为10分钟时，即时下单量的值估计为63
10.三次函数f（x）=x2（x-3）的性质，下列说法正确的是（ ）
A. 函数f（x）在x=0处的切线方程为y=0
B. f（x）的极小值点为x=0
C. 当-4＜a＜0时，方程f（x）=a有三个实根
D. f（x）的图象关于点（1，-2）对称
11.设抛物线E：x2=2py（p＞0）的焦点为F，直线y=kx+1（k＞0）与抛物线相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，与x轴交于点C，，则下列说法正确的是（ ）
A. y1y2=2B. p=4
C. D. △AFB与△AFC的面积之比为3：1
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若存在实数x使得kx2-2x+1＜0成立，则实数k的取值范围是 .
13.已知，则a0= ；a1+a2+a3+a4= .
14.在正三棱台ABC-A1B1C1中，AB=6，A1B1=3，侧棱A1A与平面ABC所成角为30°，则该棱台的体积为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
近年来，某公司以电影和动漫中的一些元素为主题，开发了一些豪车模型玩具，现抽取了部分孩童，调查他们是否喜爱豪车模型，所得数据统计如表所示.
（1）现按照性别进行分层，用分层随机抽样的方法在不喜欢豪车模型的样本孩童中随机抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，求至少1人是女孩的概率；
（2）根据α=0.001的独立性检验，能否认为是否喜欢豪车模型与性别具有相关性.
附：χ2=，n=a+b+c+d.
16.(本小题15分)
在等差数列{an}中，a1+a5=14，a2+a6=20.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）已知数列{bn-an}是首项为1，公比为2的等比数列，求数列{bn}的前n项和Sn.
17.(本小题15分)
已知函数.
（1）当时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（2）若恒成立，求a的取值范围.
18.(本小题17分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，△ADC与△BAC均为等腰直角三角形，∠ADC=90°，∠BAC=90°，E为BC的中点.
（1）若F，G分别为PD，PE的中点，求证：FG∥平面PAB；
（2）若PA⊥平面ABCD，PA=AC，求直线AB与平面PCD所成角的正弦值.
19.(本小题17分)
已知点A（-1，0），B（1，0），P是直线AB外的一个动点，PQ⊥AB，垂足为Q，且Q在线段AB外，|PQ|2=3|AQ|•|BQ|，记点P的轨迹为曲线C.
（1）求C的方程；
（2）已知直线l交C于M，N两点，M关于x轴的对称点为T，若直线TB和NA的斜率之商为2.求证：l过定点（3，0）.
1.【答案】D
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】C
5.【答案】C
6.【答案】D
7.【答案】A
8.【答案】B
9.【答案】ACD
10.【答案】ACD
11.【答案】BCD
12.【答案】（-∞，1）
13.【答案】1
15

14.【答案】
15.【答案】（1） （2）不能认为是否喜欢豪车模型与性别具有相关性
16.【答案】an=3n-2
17.【答案】3x-2y-2-2ln2=0；
（0，5]．
18.【答案】（1）证明：取PA的中点N，PB的中点M，连接FN、MN，
∵△ACD与△ABC为等腰直角三角形，且∠ADC=90°，∠BAC=90°，
不妨设AD=CD=2，∴，∴BC=4，
∵E、F分别为BC、PD的中点，
∴，GM=BE=1，且FN∥AD，GM∥BC．
∵∠DAC=45°，∠ACB=45°，
∴AD∥BC，
∴FN∥GM，
∴四边形FGMN为平行四边形，
∴FG∥MN，
∵FG⊄平面PAB，MN⊂平面PAB，
∴FG∥平面PAB （2）
19.【答案】 设M（x1，y1），N（x2，y2），则T（x1，-y1）．
显然l的斜率不为零，否则有x2=-x1，y2=y1，l：y=y1，
此时，而直线TB和NA的斜率之商为2，有矛盾．
故可设l：x=my+t，由得（3m2-1）y2+6mty+3t2-3=0，
依题意，3m2-1≠0且Δ=36m2t2-4（3m2-1）（3t2-3）=12（3m2+t2-1）＞0，
所以且．①
由得（3m2-1）x2+2tx-3m2-t2=0，（*）
由于x1和x2是方程（*）的两根，所以（3m2-1）x2+2tx-3m2-t2=（3m2-1）（x-x1）（x-x2）
令x=-1得，（3m2-1）-2t-3m2-t2=（3m2-1）（1+x1）（1+x2）

因为直线TB和NA的斜率之商为2，所以
因为点M在双曲线C上，所以，即，
所以，
即③
把①②代入③得，
化简可得t2-2t-3=0
解得：t=3，（舍去t=-1）．
此时，Δ=12（3m2+8）＞0恒成立，
所以 l：x=my+3，过定点（3，0） 直播间展示时长x
1
2
3
4
5
即时下单量y
12
18
25
30
34
性别
男孩
女孩
喜欢豪车模型
340
160
不喜欢豪车模型
300
200
α
0.05
0.01
0.001
xα
3.841
6.635
10.828