湖北武汉市四区2025-2026学年高二下学期期末考试数学试卷（Word版附解析）

这是一份湖北武汉市四区2025-2026学年高二下学期期末考试数学试卷（Word版附解析），共3页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先化简集合，再根据交集的定义求解.
【详解】对于不等式，对数定义域要求； 不等式变形为，因为是单调递增函数，
因此，即；
，解不等式得，因此，
所以.
2. 已知随机变量，则（ ）
A. 100B. 105C. 110D. 115
【答案】B
【解析】
【分析】利用二项分布的期望、方差公式，结合求解.
【详解】，所以，，由得.
3. 已知5件产品中有2件次品，3件正品，检验员从中随意抽取2件进行检测，记取到的正品数为，则数学期望为( )
A. B. C. 1D.
【答案】D
【解析】
【分析】服从超几何分布，求出的分布列，根据数学期望的计算方法计算即可．
【详解】方法一：可能取0，1，2，其对应的概率为，
∴．
方法二：由题可知，服从超几何分布，故．
故选：D．
4. 某空间站由三个舱构成，某次实验需要5名宇航员同时在3个舱中开展，每个人只能去1个舱，每个舱至少安排1名宇航员，则不同的安排方法的种数为（ ）
A. 150B. 90C. 60D. 30
【答案】A
【解析】
【详解】共5名宇航员同时在3个舱中开展实验，则有两种情况，
若按人数分为三组，则有种方法，
若按人数分为三组，则有种方法，
共有种不同方法.
5. 函数的极大值点为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求导，利用导数判断函数的单调性，利用单调性分析极大值点.
【详解】因为函数的定义域为，且，
令，解得或；令，解得；
可知函数在内单调递减，在，内单调递增，
所以函数的极大值点为.
6. 已知函数，若在上恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求得，参变分离得在上恒成立，然后利用正弦函数的性质求解最值即可求解.
【详解】由得，
由题意得在上恒成立，
即在上恒成立，即，
因为，所以恒成立，故实数的取值范围是．
故选：B
7. 若，则（ ）
A. 3B. 0C. D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】利用赋值法结合二项式定理计算即可.
【详解】令，则，
又对于中含的项为，
所以中含的项为，即，
所以.
8. 对于两个函数与，若这两个函数值相等时对应的自变量分别为，，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设，由两函数值域得，然后用表示出，计算，用导数求其最小值．
【详解】，，，的值域是，
设，则，
，，，，
所以，
设，
，
设，则，是增函数，
又，因此时，，递减，时，，递增，
所以，
所以的最小值是，
故选：B．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列说法中正确的是（ ）
A. 若随机变量，满足，则
B. 在回归分析中，决定系数的值越接近1，模型的拟合效果越好
C. 经验回归直线至少经过其样本数据点中的一个点
D. 若事件，满足，，，则
【答案】BD
【解析】
【分析】逐一根据方差性质、决定系数、回归直线性质、条件概率公式判断四个选项.
【详解】选项A，因为，所以，A错误.
选项B，回归分析中，决定系数，越接近1，残差平方和越小，模型拟合效果越好，B正确.
选项C，经验回归直线一定过样本中心点，但不一定经过任意一个原始样本数据点，C错误.
选项D，由，得.
条件概率公式：，，D正确.
10. 如表，在两个变量与的列联表中，已知，其中，下列结论正确的是（ ）
A. 越大，两个变量有关联的可能性越大
B. 若每个数据，，，均变为原来的2倍，则的值不变
C. 对于独立性检验，随机变量值越小，判定“两变量有关系”犯错误概率越大
D. 若计算得到，则认为与有关，该推断犯错误的概率不超过0.05
【答案】ACD
【解析】
【详解】对于A，同一个样本中，越小，说明两个变量有关联的可能性越小，越大，说明两个变量有关联的可能性越大，所以A正确；
对于B，若列联表中的每个数字均变成原来的2倍，
则，此时的值变为原来的2倍，所以B错误；
对于C，独立性检验中，随机变量的值越小，判定“两变量有关系”犯错误的概率越大，所以C正确；
对于D，根据独立性检验的意义可知，所以认为X与Y有关，该推断犯错的概率不超过0.05，所以D正确．
11. 设函数，均在闭区间上可导，定义导函数一阶偏差：．已知函数，，区间为，则下列说法正确的有（ ）
A.
B. 对任意，都有恒成立
C. 存在唯一的，使得
D. 对任意，都有恒成立
【答案】ABD
【解析】
【分析】先求导构造，研究在的最值判断A、C；构造判断B；构造函数只需证在上恒成立可判断D.
【详解】，令，
对于A．在上单调递增，
，即，A正确；
对于B，令，则，
在上单调递增，故，即，B正确；
对于C，仅有一个解，在内无解，C错误；
对于D，由A知，则，只需证，
即证在上恒成立，
，设为的导函数，
则，
所以在上单调递增，
而，使得，
当时，，当时，在上单调递减，在上单调递增，
，而在上恒成立，
即成立，D正确．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知 的展开式中仅有第6项的二项式系数最大，则其展开式中x² 的系数为________.(用数字作答)
【答案】
【解析】
【详解】由题可知展开式共项，所以，
又的展开式的通项为，
令，解得，所以x² 的系数为
13. 已知函数，则______．
【答案】
【解析】
【详解】由题意得，所以，解得．
14. 一随机变量服从正态分布，则， _____.已知一粒子在数轴上从原点出发，每一步等可能向左或向右移动，随机变量表示走完8步后，粒子向右移动的总步数，与相互独立，则_____.
【答案】 ①. ②. ##
【解析】
【分析】由关于对称，推得；粒子8步右行步数服从二项分布且具有的对称性，结合与独立，用全概率公式展开，再将求和式配对并利用前一问结论相加化简，即可求得概率为.
【详解】①已知，正态曲线图像关于对称，
故，
因此.
②由题意，，满足，且与独立，
由全概率公式： (1)
令，则,
即等价于 (2)
(1)(2)两式相加
结合第一空的结论，
得.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知集合，．
（1）求；
（2）若，且，求实数，应满足的关系式．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）解不等式结合交集的概念计算即可；
（2）利用子集的概念及判别式计算即可.
【小问1详解】
对于等价于，则，
对于，则，．
【小问2详解】
由题意知，方程无实根，
即.
16. 已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）．
【解析】
【分析】(1)利用导数的几何意义求出切线的斜率，再由点斜式求出切线方程，再求解围成的三角形的面积；
（2）解法一：，转化为求解.
解法二：利用分离参数法，转化为求解．
【小问1详解】
函数的定义域为
当时，因为，所以，又，
所以曲线在点处的切线方程为，即
所以三角形的面积是：
【小问2详解】
解法一：（i）当时，在单调递增，此时存在，不符合题意，舍去；
（ii）当时，显然成立；
（iii）当时，令，得，令，得；所以在单调递减，在单调递增．
所以，
解得．综上所述，a的取值范围为．
解法二：由已知，得．
（i）当时，可得．因为，所以，又因为时，，所以；
（ii）当时，恒成立，所以；
（iii）当时，可得．令，
当时，单调递减；当时，单调递增；
所以，所以．
综上所述，a的取值范围为
17. 某制药公司研发一种新药､需要研究某种药物成分的含量x（单位：）与药效指标值y（单位：）之间的关系，该公司研发部门进行了20次试验､统计得到一组数据，其中分别表示第次试验中这种药物成分的含量和相应的药效指标值.且.
（1）已知该组数据中y与x之间具有线性相关关系，求y关于x的经验回归方程；
（2）据临床经验，当药效指标值y在内时，药品对人体是安全的，求该新药中此药物成分含量x的取值范围；
（3）该公司要用A与B两套设备同时生产该种新药，已知设备A的生产效率是设备B的2倍，设备A生产药品的不合格率为0.009，设备B生产药品的不合格率为0.006，且设备A与B生产的药品是否合格相互独立
（i）从该公司生产的新药中随机抽取一件，求所抽药品为不合格品的概率；
（ii）在该新药产品检验中发现有三件不合格品，求其中至少有两件是设备A生产的概率，
参考公式：
【答案】（1）；
（2）；
（3）（i），（ii）.
【解析】
【分析】（1）利用给定的数据，结合最小二乘法公式计算作答.
（2）利用（1）中经验回归方程，求出x的取值范围作答.
（3）（i）利用全概率公式求出不合格品的概率；（ii）利用条件概率公式求出不合格的新药是设备生产的概率，再利用二项分布的概率求解作答.
【小问1详解】
因为，则，
于是，，
所以关于的线性经验回归方程为.
【小问2详解】
由（1）得，当时，，解得，
所以该新药中此药物成份含量的取值范围为.
【小问3详解】
（i）设“随机抽取一件新药，是设备生产的”，则“随机抽取一件新药，是设备生产的”，“随机抽取一件新药为不合格品”，
依题意，，
所以；
（ii）设“抽到一件不合格的新药，它是设备生产的”，
则，
设表示三件不合格新药来自设备生产的件数，则，
所求事件的概率为.
18. 已知函数，其中.
（1）若是的极值点，求的值；
（2）证明：在区间存在唯一的极值点和唯一的零点；
（3）设，分别为在区间的极值点和零点，比较与的大小，并证明你的结论.
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3），证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据导数与极值的关系求解即可.
（2）根据导数与极值的关系，结合零点存在定理证明即可.
（3）由（2）知，，，且，代入整理得，构造函数，结合导数与单调性得到，即，结合在单调递减即可得到.
【小问1详解】
的定义域为，.
因为是的极值点，所以，即，解得.
当时，，
当时，；当时，，所以是的极值点.
综上，.
【小问2详解】
由（1）知，，.
令，即，因为，，所以，
解得，且.
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
所以是在上唯一的极值点，是极大值点.
所以.
取，（易知，则，）
则.
令，则可写为.
令，则，
令，则，所以在上单调递减，
所以，即，所以在上单调递减，
所以，所以，
所以存在，使得，所以是在上唯一零点.
综上，在区间存在唯一的极值点和唯一的零点.
【小问3详解】
，证明如下：
由（2）知，，满足，且，
要比较与的大小，即比较与的大小.
.
令，，
则，
所以在上单调递减，，即.
因为在单调递减，，，，
所以.
19. 为缓解学生的压力，某中学组织学生开展了一项有趣的比赛．甲､乙两人参加比赛，比赛规则为：共进行奇数局比赛，全部比完后，所赢局数多者获胜．假设每局比赛甲赢的概率都是，各局比赛之间的结果互不影响，且没有平局．
（1）当时，若两人共进行5局比赛．设两人所赢局数之差的绝对值为，求的分布列和数学期望；
（2）当时，若两人共进行局比赛．记事件表示“在前局比赛中甲赢了局”．事件表示“甲最终获胜”．请写出的值（直接写出结果即可）；
（3）若两人共进行了局比赛，甲获胜的概率记为，若两人共进行了局比赛，甲获胜的概率记为，证明：当时，．
【答案】（1）分布列见解析，
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）确定的可能取值，利用二项分布计算各取值得概率，列出分布列，根据分布列计算期望；
（2）分析前局甲赢局后，剩余2局甲需赢多少局才能获胜；根据的不同范围，判断剩余两局的胜负可能性，当时，剩余2局最多赢2局，总赢局数，无法获胜，求出其概率；当时，需要赢剩余2局，求出其概率；当时，需要赢至少1局，求出其概率；当时，已满足获胜条件，概率为1.
（3）利用全概率公式求得，求出，再作差比较大小即可.
【小问1详解】
（1）的可能取值为1，3，5，
，
，
，
则的分布列为：
.
【小问2详解】
当时，剩余2局最多赢2局，总赢局数，无法获胜，其概率为；
当时，需要赢剩余2局，其概率为；
当时，需要赢至少1局，其概率；
当时，已满足获胜条件，概率为.
故.
【小问3详解】
若两人共进行了局比赛，甲所赢局数为，则，
甲获胜的概率，
若两人共进行了局比赛，
可以认为在进行了局比赛的基础上再比两局，
则甲获胜的概率，
，
已知，所以，证毕.
总计
总计
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
1
3
5