2026年江苏省苏州市高一下学期期末数学试卷及答案

这是一份2026年江苏省苏州市高一下学期期末数学试卷及答案，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．设i为虚数单位，已知复数z＝1＋i，则z·i＝
A．－1－iB．－1＋iC．1－iD．1＋i
2．已知向量a＝(2,4)，b＝(x，1)，若a⊥b，则实数x的值为
A．B．C．D．
3．已知圆锥的底面半径为4，高为3，则该圆锥的侧面积为
A．40πB．24πC．20πD．10π
4．在平面直角坐标系xOy中，已知等腰△ABC的底边AB在x轴上，AB＝2，AC＝，按斜二测画法所得△ABC的直观图为△A'B'C”，则△A'B'C'的面积为
A．B．C．2D．
5．若平面α∩平面β＝1，A ∈ α，B ∈ α，C ∈ α，D ∈ β，D ∉ l，则直线AB与CD不可能
A．相交B．垂直C．平行D．异面
6．已知sin(α＋)＝，则sin(－2α)＝
A．B．C．D．
7．如图，在正方体ABCD-AB1C1D1中，已知M，N分别为棱BB1，C1D1的中点，过A，M，N三点的平面交棱B1C1于点P，设B1P＝λPC1，则λ＝
A．B．1
C．2D．3
（第7题图）
8．已知梯形ABCD中，DC∥AB，DC＝AB，动点E在边BC上(不含端点B，C)，AE交BD于点F，过A作AH⊥BD于点H，若，则
A．－8B．－4C．4D．8
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．设i为虚数单位，已知复数i (b∈R)，，若z·z＝1，
A．B．C．D．
10．设是△ABC所在平面内一点，记，则
A．当，时，
B．当，时，是线段BM的中点
C．当，时，是△ABC的重心
D．当时，△MBC的面积是△ABC面积的
11．如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已知AB＝2，AA1＝3，点E在棱AA1上，A1E＝2EA，动点F在线段BD上(不含端点B)，平面A1EF与平面DCC1D1交于直线l，则
A．l∥BB1
B．不存在点F，使得B1E⊥A1F
C．∠A1FE的最大值为
D．l与平面B1EF所成角的最大值为 （第11题图）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．在复数范围内写出符合方程x2＋4＝0的一个解x＝ ▲
13．已知向量a，b满足b在a方向上的投影向量为a，若|a|＝1，|a－2b|＝3，则|b|＝▲
14．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b(sinC－csC)＝c(csB－sinB)，
a＝2，则△ABC的面积为 ▲
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．(13分)
记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b2＋c2＝a2＋bc．
（1） 求A；
（2）若a＝1，sinB＝csC，求△ABC的周长．
▲ ▲ ▲
16．(15分)
已知向量a与b的夹角为，|a|＝2，|b|＝1．
（1）求a·b和|a＋b|的值；
（2）若向量ka＋b 与a＋2b的夹角为锐角，求实数k 的取值范围．
▲ ▲ ▲
17．(15分)
如图，已知四棱台ABCD-A1B1C1D1的底面是平行四边形，AB＝2A1B1，E为AB的中点，△A1B1B为钝角三角形．
（1）求证：D1E∥平面A1BC1；
（2）若平面A1BC1⊥平面ABB1A1，A1C1⊥BB1，
求证：AC1平面ABB1A1．
(第17题图)
▲ ▲ ▲
18．(17分)
记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知∠BAC＝
（1）当点D满足时．
①若AD＝1，c＝2b，求b；
②若∠B＋∠DAC＝，求B．
（2）当时，判断△ABC的形状并证明．
19．(17分)
如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB＝ ，将△ABD沿BD翻折至△A'BD．
（1）若二面角A'-BD-C的余弦值等于－，求三棱锥A'-BCD的体积；
（2）若二面角A'-BC-D的正切值的取值范围是，A'，B，C，D在同一个球面上，求该球的表面积的取值范围．
（第19题图）
高一数学参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．2 i，－2i ( 写出一解即可) 13． 14．2
四、解答题：本题共5小题，共77分。
15. （13分）
解: （1）由余弦定理得 3分
又因为A∈(0，π)， 所以． 5分
（2）因为△ABC中 ，A＋B＋C＝π， ，
所以 ,
所以cs B＝0．8分
又因为, 所以 ，所以△ABC是等腰直角三角形. 10分
因为a＝1， 所以b＝，c＝1， 12分
所以△ABC的周长为a＋b＋c＝2＋. 13 分
16. （15分）
解: （1）由向量a 与b 的夹角为，|a|＝2，|b|＝1，得 ． 3 分
因为|a＋b|2＝(a＋b)·(a＋b)＝a2＋2a·b＋ b2＝4＋2＋1＝7，6分
所以| a＋b |＝ 7 分
（2）因为向量ka＋b与a＋2b的夹角为锐角，
所以(ka＋b)·(a＋2b)＞0且ka＋b与a＋2b不共线。
因为(ka＋b)·(a＋2b)＝k|a²＋(2k＋1)a·b＋2|b²＝4k＋(2k＋1)＋2＝6k＋3，10分
所以由(ka＋b)·(a＋2b)＞0，得k＞－ 11分
当ka＋b与a＋2b共线时，存在实数入使得ka＋b＝λ(a＋2b)，12分
因为a 与b 不共线，所以 所以 ．14 分
综上所述， 且 ．15 分
17. （15分）
证: （1）因为四棱台ABCD-A1B1C1D1， 所以A1B1∥AB，
又因为AB＝2AB1，E 是AB的中点，所以A1B1∥EB，A1B1＝EB.2分
因为底面是平行四边形，所以A1B1∥D1C1， A1B1＝D1C1，
所以EB//D1C1，EB＝D1C1，所以四边形EBC1D1是平行四边形， 3 分
所以D1E//C1B. 4分
又因为C1Bc 平面A1BC1， D1E⊄平面A1BC1，
所以D1E∥平面A1BC1. 6分
（2）如图，过B1作B1H⊥A1B， 垂足为H.
因为△A1B1B为钝角三角形，所以H 与B 不重合.
因为平面A1BC1⊥平面ABB1A，平面A1BC1 ∩ 平面
ABB1A1＝A1B，B1H⊥A1B，B1H⊂平面 ABB1A1，
所以B1H⊥平面A1BC1 . · 9 分
因为A1C1⊂平面A1BC1， 所以B1H⊥A1C1 . 10 分
因为平面ABCD∥平面AB1C1D1， 平面AA1C1C∩平面ABCD＝AC，
平面AA1C1C∩平面A1B1C1D1＝A1C1， 所以A1C1∥AC . 12 分
因为A1C1⊥B1H，AC1∥AC，
所以AC⊥B1H， 因为A1C1⊥BB1，A1C1∥AC，
所以AC⊥BB1， 又因为B1H，BB1c 平面ABB1A1，B1H∩BB1＝B1，
所以AC⊥平面ABB1A1 · 15 分
18. 17分）
解: （1）①由得， 2 分
所以，
因为，，，所以，
所以．4分
②若，则，，
在△ABD中，由正弦定理得①；6分
在△ADC中，，由正弦定理得②；
因为，，所以①与②相除得，
即。8分
即，所以，10分
因为，所以，即。11分
(2)由，得，即③，
由正弦定理得，即，
所以，
所以，
即。14分
令，由③知是锐角，所以在上单调递减，15分
又因为 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，所以△ABC是直角三角形。 17 分
19. （17分）
解: （1）连接AC 交BD于点O， 连结A'O.
由底面ABCD为菱形可知BD⊥AO，BD⊥CO， 所 以BD⊥A'O，BD⊥CO，
所以∠A'OC 是二面角A'－BD－C 的平面角， 2分
由题意得 ，
所以 .
如图，过点A' 作A'H⊥AO，垂足为H.
因为BD⊥AO，BD⊥A'O，AONA'O＝0，
AO，A'Oc 平面AA'O， 所以BD⊥平面AA'O，
因为A'Hc 平面AA'O， 所以BD⊥A'H，
又因为BD∩AO＝0，BD，AO ⊂ 平面ABCD，
所以A'H⊥平面ABCD. 4 分
因为菱形 ABCD 的边长为 2， ，所以 ，
所以 ，5分
所以三棱锥 的体积 7分
（2）如图，过H 作HF⊥BC 于点F，连结A'F.
由（1）可知A'H⊥平面ABCD，
因为BCc 平面ABCD， 所以A'H⊥BC，
又因为A'H∩HF＝H，A'H，HF⊂平面A'HF，
所以BC⊥平面A'HF.
因为A'F⊂平面A'HF， 所 以A'F⊥BC，
所以∠A'FH 是二面角A'- BC-D 的平面角.
在△A'HO中， 设∠A'OH＝α， 则，，
所以 ， ，
所以 ．11分
因为 ，所以 ．
设△BCD中心为 ，过 作 ，则 平面 ABCD，则球心 在 上．
设 ，球 的半径为 ．
在 中，①．12分
在四边形 中，由 ，
得 ，
化简得 （2）．14分
由①②消去 得 ，15 分
所以 ，所以 ，
即球 的表面积的取值范围是 ．17分注 意 事 项
学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：
1．本卷共4页，包含单项选择题(第1题~第8题)、多项选择题(第9题~第11题)、填空题(第12题~第14题)、解答题(第15题~第19题)．本卷满分150分，答题时间为120分钟．答题结束后，请将答题卡交回．
2．答题前，请您务必将自己的姓名、调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置．
3．请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
A
C
B
C
D
C
A
题号
9
10
11
答案
BD
ACD
ABC