山西省2026年初中学业水平考试数学试题

这是一份山西省2026年初中学业水平考试数学试题，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1． 如果水库的水位升高0.06米时水位变化记作+0.06米，那么水位下降0.05米时水位变化记作（ ）
A．- 0.05米B．+0.05米C．-0.11米D．+0.11米
2．学校开展非遗文化体验活动.下列是同学们设计的活动项目图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．下列运算正确的是（ ）
A．6a-2a＝4B．m2⋅m3＝m5C．a3÷a＝a3D．−m22＝−m4
4．一个机器零件，上面的孔洞前后贯通.如图是它的示意图及主视图，其左视图为（ ）
A．B．
C．D．
5．图1为木质花窗的局部，将其部分抽象成如图2所示的平面图形.为验证AB与CD是否平行，已测得∠BEF＝48°，仅用下列一个测量结果即可判定AB与CD平行的是（ ）
A．∠DCF＝32°B．∠CDE＝48°C．∠CFE＝80°D．∠EBG＝69°
6．如图为省城迎泽公园部分景点分布示意图.将其放在平面直角坐标系内，若用（-5，3）表示赏荷栈道的位置，用（-4，-2）表示泽众书院的位置，则中国共产党太原历史展览馆的位置表示为（ ）
A．（3，0）B．（3， 1）C．（2，1）D．（1，3）
7． 已知点A（1， a）， 点B（4，b）， 点C（7，c）都在反比例函数 y＝7x的图象上，则a，b，c的关系是（ ）
A．a＜b＜cB．a＜c＜bC．a＞c＞bD．a＞b＞c
8．某公司自主研发并生产的仿生蝴蝶飞行器，能高度还原蝴蝶飞行动作，今年3月份此款飞行器产量为1200台，5月份的产量为1600台.若设该公司此款飞行器这两个月产量的月平均增长率为x，则下列方程正确的是（ ）
A．1200（1+x）＝1600B．1200（1+2x）＝1600
C．12001+x2＝1600D．16001−x2＝1200
9．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O.将线段AD沿射线AB方向平移，点A，D 的对应点分别为点E，F，线段EF分别与OA，OD交于点G，H.当点G是OA 的中点时， GHAB的值为（ ）
A．12B．13C．14D．24
10．用m，n分别表示一个两位数的十位数字和个位数字，将其十位数字的3倍与个位数字的8倍相加得到一个新数，新数与原两位数的差可能是（ ）
A．6B．13C．31D．56
二、填空题 （本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．比较大小： 62 6（填“＞”“＜”或“＝”）．
12．计算 1m2+m+1m+1 的结果是 ．
13．小思有三张分别印有“燕式七巧板”“曲线七巧板”“心形九巧板”图案的书签，它们除正面图案外，其余完全相同.小思要将其中的两张送给小伟，将它们背面朝上放在桌面上.小伟从中随机抽取一张，燕式七巧板 曲线七巧板 心形九巧板不放回，再随机抽取一张，他抽到的两张书签恰好印有“曲线七巧板”和“心形九巧板”图案的概率是 ．
14．某出版社出版一种科普读物，当印刷数量不超20000册时，投入成本y（元）与印刷数量x（册）之间满足我们学过的一种函数关系，部分数据如下表所示.当印刷数量为5000册时，投入成本是 元.
15． 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝10.点E是AB边上的一点，且AE＝3，连接DE，过点E作DE的垂线，交BC的延长线于点F，交CD边于点G.若CF＝CG＝5，则线段BF的长为 ．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（1）计算： −7+5+∣−6∣÷12−42;
（2）解不等式组：−5≤03(x+2)>12
17．《考工记》是我国古代的一部工科巨著，其中记载了制作鼎和铜镜的铜锡比例.某工厂按书中记载比例制作鼎和铜镜，制作一个鼎需要12千克铜和2千克锡，制作一面铜镜需要1千克铜和1千克锡.现用60千克铜和20千克锡制作鼎和铜镜，这些铜和锡恰好全部用完时，可制作多少个鼎和多少面铜镜?
18．某校开展“讲绿水青山故事·绘美丽中国画卷”公益短视频评选活动.现有甲、乙、丙三个短视频作品参加校级评选，由8位评委对参选作品进行评分（满分为10分），最终推荐一个作品参加公益展播.
数据整理：评委对三个短视频作品的评分数据如下：
分析决策：为确定最终参加公益展播的作品，对评委评分数据分析如下：
（1）表中a＝ ， b＝ ，c＝ ；
（2）根据上表中对评委评分数据的分析，你认为应推荐哪个短视频作品参加公益展播?请选择两个统计量说明推荐理由.
19．如图，AB是⊙O的直径，点C，D是⊙O上的两点，且 BD＝BC,过点C作⊙O的切线与AB的延长线交于点 E，连接AC，OD. 若∠ACE＝115°，OB＝6，求扇形BOD（即阴影部分）的面积（结果保留π）.
20．项目式学习
项目背景：藻井是我国古建筑室内顶部的装饰构件.图为山西某古建筑大殿内顶部的藻井.
某校学生到此地开展综合实践活动，对该建筑内藻井进行了调查与测算，形成如下活动报告.
请根据上述数据，计算该藻井中间层菱形井对角线AB的长（结果精确到0.1米.参考数据： 3≈1.73）.
21．阅读与思考
阅读下列材料，完成相应任务.
（1）图2中∠ABE＝ °，∠EBF＝ °；
（2）补全“推广迁移”中的说理过程；
（3）如图4， 四边形ABCD 表示一块木板，∠BAD＝130°，∠ADC＞85°.现要将此木板裁割成两部分，裁割线为线段DE（点E在BC上），使∠ADE＝85°.请用尺规在木板上作出裁割线DE（要求：在木板上保留作图痕迹，不写作法）
22．综合与实践
问题情境：为探究不同土壤肥力条件下小麦产量与施氮量的关系，科研团队在某地选择土壤基础肥力不同的若干试验田开展研究，并对试验数据进行整理分析.研究发现，在中肥力与低肥力两种麦田中，小麦每亩的产量y（千克）与每亩施氮量x（千克）的关系可近似用下图中的两条抛物线描述，其中0≤x≤28.设中肥力麦田每亩的产量为y1（千克），低肥力麦田每亩的产量为y2（千克）.已知点A（0， 160），B（18， 646）， C（28， 496） 均在描述y1与x关系的抛物线上，且点 B 是这条抛物线的顶点.
（1）建立模型：
求中肥力麦田中小麦每亩的产量y1与x的函数关系式；
（2）应用分析：
已知低肥力麦田中小麦每田的产量y2与x的函数关系式为y2＝﹣x2+26x+140.
①假设低肥力、中肥力两种麦田每亩施氮量相同.当低肥力麦田每亩的产量最大时，求每亩的施氮量，以及此时两种麦田小麦每亩产量的差；
②现有面积均为1亩的中肥力、低肥力麦田各一块.当两块麦田每亩施氮量不同，且每亩的产量分别达到最大时，两块麦田的总产量为m千克；当两块麦田每亩施氮量相同时，两块麦田总产量的最大值为n千克.经判断n小于m，请直接写出m与n的差．
23．综合与探究
问题情境：如图1，在 △ABC中，AB＝BC，BO是 △ABC的中线.将 △BOC绕点O顺时针旋转得到. △DOE,，其中点B，C的对应点分别为点D，E，线段DE分别与线段OA，AB交于点M，F，线段OE与AB 交于点N.
（1）推理证明：
求证：△AON≌△EOM；
（2）拓展延伸：
在旋转过程中，当 OD‖AB时，探究下列问题.
①如图2，判断DO与DF的数量关系，并说明理由；
②已知OB＝2，OA＝3.在射线DO上取一点G，在射线BO上取一点H，使OH＝OG.当以点A，G，H为顶点的三角形是直角三角形，且GH为直角边时，请直接写出线段BH的长.
答案解析部分
1．【答案】A
【解析】【解答】解：正负数用于表示一对具有相反意义的量，题目规定水位升高用正数表示，则水位下降应用负数表示。
因此水位下降0.05米时，水位变化记作-0.05米。
故答案为：A
【分析】本题考查正负数的实际意义，属于基础概念题型。正负数的核心作用是刻画意义相反的两类量，当升高被定义为正方向时，与之相反的下降就对应负方向，结合下降的具体数值，即可直接得到对应的水位变化记法。
2．【答案】C
【解析】【解答】解：沿一条直线折叠后，直线两侧的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形。
对各选项逐一验证：选项A、B、D的图案均无法找到满足条件的对称轴，不是轴对称图形；选项C的图案沿竖直中线折叠后，左右两部分完全重合，属于轴对称图形。
故答案为：C
【分析】本题考查轴对称图形的识别，是几何基础概念题。解题时依据轴对称图形的定义，对四个选项的图案分别寻找对称轴，存在对称轴的即为轴对称图形，不存在的则不符合要求，逐一排查即可得到正确选项。
3．【答案】B
【解析】【解答】解：∵合并同类项仅对系数运算，字母与指数保持不变，∴6a−2a=(6−2)a=4a≠4，选项A错误；
∵同底数幂相乘，底数不变、指数相加，∴m2⋅m3=m2+3=m5，选项B正确；
∵同底数幂相除，底数不变、指数相减，∴a3÷a=a3−1=a2≠a3，选项C错误；
∵积的乘方需对每个因式分别乘方，幂的乘方底数不变、指数相乘，∴(−m2)2=(−1)2⋅(m2)2=m4≠−m4，选项D错误。
故答案为：B
【分析】本题考查整式运算与幂的运算法则，涵盖合并同类项、同底数幂乘除、积的乘方多个知识点。解题时对应各类运算的规则逐项计算，合并同类项时注意保留字母部分，幂的运算严格遵循指数的加减、相乘规律，积的乘方需注意负号的偶次幂结果为正，逐项验证后即可筛选出正确选项。
4．【答案】A
【解析】【解答】解：从几何体左侧观察，零件外部轮廓为下方带底座的矩形结构；前后贯通的圆孔在左侧视角下不可见，其轮廓需用虚线表示，呈现为两条水平虚线，与选项A的图形一致。
故答案为：A
【分析】本题考查几何体三视图的判断，重点是不可见轮廓线的表示规则。左视图是从左向右观察几何体得到的平面图形，绘制时可见的棱边用实线，被遮挡、不可见的棱边或孔洞轮廓必须用虚线表示，结合零件的结构特征即可匹配对应图形。
5．【答案】B
【解析】【解答】解：选项A中，∠DCF与∠BEF不构成平行线判定的三类角关系，无法推出AB∥CD；
选项B中，若∠CDE=48°，则∠CDE=∠BEF，二者是直线AB、CD被直线ED所截形成的内错角，∵内错角相等，两直线平行，∴可判定AB∥CD；
选项C中，∠CFE与已知角无法推导出行判定所需的数量关系，不能判定平行；
选项D中，∠EBG与∠BEF为同旁内角，但和不为180°，无法判定平行。
故答案为：B
【分析】本题考查平行线的判定定理，结合实际场景考查内错角相等判定两直线平行的应用。解题时分析每个选项给出的角度与已知角的位置关系，判断是否满足同位角相等、内错角相等或同旁内角互补的判定条件，符合判定定理的即可作为平行的依据。
6．【答案】B
【解析】【解答】解：根据赏荷栈道与泽众书院的坐标，可确定平面直角坐标系的原点位置与坐标轴正方向。
在此坐标系中读取目标景点的横、纵坐标，横坐标为3，纵坐标为1，即坐标为(3,1)。
故答案为：B
【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标确定，属于坐标基础应用题型。解题时先通过两个已知点的坐标反推坐标系的原点与坐标轴方向，建立完整的坐标系后，再读取目标景点对应的横、纵坐标数值即可得到结果。
7．【答案】D
【解析】【解答】解：∵反比例函数y=7x中比例系数k=7>0，
∴函数图象位于第一、三象限，且在每个象限内，y随x的增大而减小。
∵三个点的横坐标均为正数，∴三点都在第一象限。
又∵1c。
故答案为：D
【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，利用函数增减性比较函数值大小。解题时先由k的正负判断函数图象所在象限与增减规律，再判断三点所在的象限，结合横坐标的大小关系，依据同一象限内的增减性，即可推导出三个函数值的大小顺序。
8．【答案】C
【解析】【解答】解：设月平均增长率为x，
∵3月份产量为1200台，
∴4月份产量为1200(1+x)台，
5月份在4月份基础上继续增长，产量为1200(1+x)⋅(1+x)=1200(1+x)2台。
结合5月份实际产量1600台，可列方程1200(1+x)2=1600。
故答案为：C
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，属于平均增长率问题。解题时遵循增长率的数量关系：初始量经过一次增长后为初始量×(1+增长率)，经过两次增长后为初始量×(1+增长率)2，结合3月初始产量与5月最终产量，即可列出对应方程。
9．【答案】A
【解析】【解答】解：由平移得AD∥EF，
∴ΔHGO∽ΔDAO，
∵点G是OA的中点，
∴OA=2OG
∴HGDA=GOAO=12，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，
∴GHAB=12
故答案为：A
【分析】本题综合考查正方形的性质、平移的性质与相似三角形的判定及性质，求解线段比例。解题时先根据平移的性质得到AD∥EF，进而根据相似三角形的判定与性质结合中点证明ΔOGH∽ΔOAD得到GHAD=OGOA=12，再根据正方形的性质结合题意等量代换即可求解。
10．【答案】D
【解析】【解答】解：根据数位表示规则，原两位数可表示为10m+n，其中1≤m≤9，0≤n≤9，且m、n均为整数。
由题意得新数为3m+8n，
则新数与原数的差为：
(3m+8n)−(10m+n)=3m+8n−10m−n=−7m+7n=7(n−m)
∵m、n为整数，∴差值一定是7的整数倍。
观察选项，只有56是7的倍数，符合要求。
故答案为：D
【分析】本题考查整式的加减运算与数字表示规律，结合倍数判断考查代数推理能力。解题时先用含数位数字的代数式表示出原两位数与新数，通过整式减法化简差值，发现差值为7的整数倍，再逐一验证选项中哪个数是7的倍数，即可得到答案。
11．【答案】=
【解析】【解答】解：根据二次根式的性质(a)2=a (a≥0)，可得(6)2=6
左右两边数值相等
故答案为：=
【分析】本题考查二次根式的性质运算与实数大小比较。解题时利用二次根式的平方运算规则对左侧式子化简，得到化简后的数值后，与右侧数字直接比较大小即可得出结果。
12．【答案】1m
【解析】【解答】解：先对第一个分式的分母因式分解：m2+m=m(m+1)，
确定最简公分母为m(m+1)，通分后计算：
1m2+m+1m+1=1m(m+1)+mm(m+1)=1+mm(m+1)=m+1m(m+1)=1m
故答案为：1m
【分析】本题考查异分母分式的加法运算，涵盖因式分解、通分、约分等知识点。解题时先对多项式分母因式分解，找到两个分式的最简公分母，将异分母分式转化为同分母分式后分子相加，最后对分子分母约分得到最简分式。
13．【答案】13
【解析】【解答】解：分别用A、B、C代表“燕式七巧板”“曲线七巧板”“心形九巧板”的书签，不放回抽取两张，所有等可能的结果有：(A,B)、(A,C)、(B,A)、(B,C)、(C,A)、(C,B)，共6种。
其中恰好抽到“曲线七巧板”和“心形九巧板”的结果有(B,C)、(C,B)，共2种。
根据概率公式，所求概率为26=13
故答案为：13
【分析】本题考查不放回抽样的概率计算，适用列举法求解。解题时先列举出所有等可能的抽取结果，再统计符合题目要求的结果数量，根据“概率=符合条件的结果数÷总结果数”的公式计算即可得到对应概率。
14．【答案】54000
【解析】【解答】解：观察表格数据，x每增加500，y对应增加3000，变化量恒定，因此y与x满足一次函数关系。
设函数解析式为y=kx+b (k≠0)，
将(0,24000)、(500,27000)代入得：
b=24000500k+b=27000
解得k=6，b=24000，
∴函数解析式为y=6x+24000。
当x=5000时，y=6×5000+24000=54000。
故答案为：54000
【分析】本题考查一次函数的实际应用，利用待定系数法求解析式并代入求值。解题时先根据表格数据的变化规律判断函数类型为一次函数，设出一次函数一般形式，选取两组对应值代入求出系数k与常数b，再将x=5000代入解析式计算即可得到对应的成本值。
15．【答案】14
【解析】【解答】解：过点E作EH∥BF，交CD于点H，
∵EH∥BF，
∴∠HEG=∠F，
∵CF=CG，
∴∠GFB=∠FGC，
又∵∠CGF=∠HGE，
∴∠HEG=∠HGE，∴EH=HG。
∵DE⊥EF，∴∠DEG=90°，
∴∠DEH+∠HEG=90°，∠EDG+∠DGE=90°。
结合∠HEG=∠DGE，可得∠DEH=∠EDG，∴EH=DH，
∴DH=HG，即H为DG中点。
过点G作GM⊥AB于M，GN⊥BF于N。
∵∠B=90°，AD∥BC，∴AD∥EH∥MG∥BC。
根据平行线分线段成比例，AEEM=DHHG=1，∴EM=AE=3，
∴MB=AB−AE−EM=10−3−3=4。
∵四边形BMGN有三个角为直角，∴四边形BMGN是矩形，∴GN=MB=4。
在RtΔGNC中，NC=GC2−GN2=52−42=3，
∴NF=NC+CF=3+5=8
在RtΔGNF中，tanF=GNNF=48=12
在RtΔEBF中，BE=AB−AE=10−3=7，
∵tanF=BEBF，∴BF=BEtanF=712=14
故答案为：14
【分析】本题综合考查平行线的性质、等腰三角形的判定、矩形的判定与性质、勾股定理以及解直角三角形，属于几何综合填空题。解题时过点E作EH∥BF，交CD于点H，先根据平行线的性质得到∠HEG=∠F，进而根据等腰三角形的性质结合题意等量代换得到∠HEG=∠HGE，再结合题意进行线段的运算得到DH=HG，即H为DG中点；过点G作GM⊥AB于M，GN⊥BF于N，根据平行公理及其推理结合平行线分线段成比例得到AEEM=DHHG=1，则MB=AB−AE−EM=10−3−3=4，再根据矩形的判定与性质结合勾股定理求出NC，则NF=8，进而根据正切函数结合题意解直角三角形即可求解。
16．【答案】（1）解：原式 ＝−2+6÷12−16
＝-2+12-16
＝-6.
（2）解：解不等式①，得 x≤5.
解不等式②，得 x＞2.
所以，原不等式组的解集是2＜x≤5．
【解析】【分析】（1）本题考查有理数的混合运算，涉及有理数加减、绝对值、除法、乘方等运算。解题时遵循运算顺序，先计算括号内的加法、绝对值与乘方运算，再计算除法，最后从左到右依次进行加减运算，逐步化简得到最终结果；
（2）本题考查一元一次不等式组的解法。解题时分别解出两个一元一次不等式的解集，第一个不等式通过移项直接求解，第二个不等式先去括号再移项、系数化为1求解，最后取两个解集的公共部分，即为不等式组的解集。
17．【答案】解：设这些铜和锡恰好全部用完时，可制作x个鼎和y面铜镜
根据题意，得 12x+y＝60,2x+y＝20.
解，得 x＝4,y＝12.
答：这些铜和锡恰好全部用完时，可制作4个鼎和12面铜镜．
【解析】【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，属于配套类应用题。解题时先设制作鼎的数量为x个，制作铜镜的数量为y面，根据铜的总用量列出第一个方程：制作鼎消耗的铜加上制作铜镜消耗的铜等于60千克；根据锡的总用量列出第二个方程：制作鼎消耗的锡加上制作铜镜消耗的锡等于20千克，联立得到二元一次方程组，求解方程组即可得到鼎和铜镜的数量。
18．【答案】（1）10；7；8.5
（2）解：答案不唯一，例如：
①我推荐丙作品参加公益展播.
理由：甲、乙、丙三个作品评委评分的平均数分别为8.5分、7.5分、8.5分，因为8.5＞7.5，所以从平均数的角度看，评委对甲作品和丙作品的评分较高；甲、乙、丙三个作品评委评分的方差分别为2，3.5，0.5， 因为3.5＞2＞0.5，所以从方差的角度看，评委对丙作品的评分更一致
②我推荐甲作品参加公益展播
理由：甲、乙、丙三个作品评委评分的平均数分别为8.5分、7.5分、8.5分，因为8.5＞7.5，所以从平均数的角度看，评委对甲作品和丙作品的评分较高；甲、乙、丙三个作品评委评分的中位数分别为8.5分、7分、8分，因为8.5＞8＞7，所以从中位数的角度看，评委对甲作品的评分更高.
【解析】【解答】解：（1）根据甲作品评委评分统计图可知，10分占比最大，
∴甲作品的众数为10分，即a=10；
根据乙、丙作品评委评分统计图可知，
乙作品的分数从小到大排序为：5，6，6，6，8，9，10，10，位于第4位和第5位的数据为6和8，
∴乙作品的中位数为6+82=7，即b=7；
丙作品的分数为：8，8，9，9，8，10，8，8，
∴丙作品的平均数为8+8+9+9+8+10+8+88=8.5，即c=8.5；
【分析】（1）本题考查统计中众数、中位数、平均数的计算。解题时，对于a，根据甲作品的评分占比，找出出现次数最多的分数即为众数；对于b，将乙作品的8个评分从小到大排序，取第4和第5个数据的平均数即为中位数；对于c，根据丙作品的所有评分，用总分除以评委人数8即可得到平均数；
（2）本题考查统计量的实际意义与决策应用。解题时可以选择不同的统计量组合给出推荐理由，若推荐丙作品，可结合平均数说明整体评分水平，结合方差说明评分的稳定性；若推荐甲作品，可结合平均数说明整体水平，结合中位数说明中等水平的评分高低，合理选择两个统计量阐述理由即可。
19．【答案】解：连接OC，
∵ CE与⊙O相切于点 C， ∵OC⊥CE.
∴∠OCE＝90°.
∵∠ACE＝115°，
∴∠ACO＝∠ACE-∠OCE＝115°-90°＝25°.
∵OA＝OC， ∴∠A＝∠ACO＝25°.
∠COB是△AOC的外角， ∴∠COB＝∠A+∠ACO＝50°.
：BD＝BC， ∴∠BOD＝∠COB＝50°.
∵OB＝6， ∴ S扇形BOD＝50×π×62360＝5π．
【解析】【分析】本题考查圆的切线性质、等腰三角形性质、圆周角定理与扇形面积计算，属于圆的综合计算题。解题时先连接OC，根据切线的性质得到OC与CE垂直，即∠OCE为90°，用∠ACE减去∠OCE得到∠ACO的度数；再由OA=OC得到等腰三角形，推出∠A的度数，利用圆周角定理得到圆心角∠COB的度数；接着根据等弧所对的圆心角相等，得到∠BOD与∠COB相等，最后代入扇形面积公式，结合半径OB的长度计算出扇形BOD的面积。
20．【答案】解：过点A作AE⊥DC于点E，过点B作BF⊥DC于点F，
则∠AED＝∠BFC ＝90°
由题意得，四边形AEFB 为矩形.
∴AE＝BF， AB＝EF.
在Rt△ADE中， ∠D＝60°， AD＝6，
∵sinD＝AEAD,csD＝DEAD,＝AD⋅sinD＝6×sin60∘＝6×32＝33
DE＝AD⋅csD＝6×cs60∘＝6×12＝3
∴BF＝AE＝33.
在Rt△BCF中， ∠C＝45∘,∵tanC＝BFFC＝tan45∘＝1,∴FC＝BF＝3
∵CD＝DE+EF+FC＝11， ∴EF＝CD-DE-FC＝11-3-3 3＝8-3 3
∴AB＝EF＝8−33≈8−3×1.73≈2.8（米）.
答：该藻井中间层菱形井对角线AB的长约为2.8米.
【解析】【分析】本题考查解直角三角形在实际测量中的应用，涉及仰角问题与矩形的性质。解题时过点A、B分别向水平直线CD作垂线，构造两个直角三角形与一个矩形；先在含60°角的直角三角形中，利用三角函数求出竖直高度与水平线段DE的长度；再由矩形性质得到另一个直角三角形的竖直直角边长度，结合45°角的直角三角形两直角边相等，求出FC的长度；最后根据CD的总长度，用CD减去DE与FC的长度得到EF的长度，由矩形对边相等可知AB与EF长度相等，代入数值计算并按要求取近似值即可。
21．【答案】（1）45；15
（2）解：∴∠ACB＝∠ABC. 在△ABC中， ∠A＝∠MAN＝α，
∴∠ACB+∠ABC＝180°-∠A＝180°-α.
∴∠ACB＝180∘−α2＝90∘−α2
连接BD. 由步骤②可知，BC＝BD＝CD.
∴△BCD为等边三角形.∴∠BCD＝60°
∴∠ACD＝∠ACB+∠BCD＝90∘−α2+60∘＝150∘−α2.
（3）解：作法不唯一，例如：
如图，线段DE 即为所求作的裁割线.
【解析】【解答】解：（1）∵以点A为圆心，AB长为半径作弧，交AD于点E，
∴AB=AE=AF，
∵∠BAD=90°，
∴△ABE为等腰直角三角形，
∴∠ABE=45°；
∵以点B为圆心，AB长为半径作弧，与BE交于点F，
∴BA=BF，
∴AB=AF=BF，
∴△ABF为等边三角形，
∴∠ABF=60°，
∴∠EBF=∠ABF−∠ABE=60°−45°=15°；
【分析】（1）本题考查等腰直角三角形与等边三角形的性质，结合尺规作图求角度。解题时先根据作图得到AB=AE，结合矩形的直角推出ΔABE为等腰直角三角形，即可得到∠ABE的度数；再由作图得到AB=AF=BF，推出ΔABF为等边三角形，得到∠ABF的度数，用∠ABF减去∠ABE即可得到∠EBF的度数；
（2）本题考查几何推理证明，结合等腰三角形与等边三角形的性质推导角度关系。解题时先连接BC、BD，根据作图得到AB=AC，利用等腰三角形内角和求出∠ACB的表达式；再由作图得到三边相等推出ΔBCD为等边三角形，得到∠BCD=60°，最后将∠ACB与∠BCD相加，整理即可得到∠ACD的表达式，完成证明；
（3）本题考查尺规作图的迁移应用。解题时参考材料中的推广迁移作图方法，以点A为圆心、AD长为半径作弧得到交点，再以两个交点为圆心、交点间距为半径作弧得到内部交点，连接该点与D点交BC于E，即可得到符合角度要求的裁割线。
22．【答案】（1）解：由题意得，点B（18，646）是描述y1与x关系的抛物线的顶点，
设 y1＝ax−182+646.
因为点C（28，496）在描述y1与x关系的抛物线上，
所以， a28−182+646＝496.
解，得 a＝−32,
所以，y1与x的函数关系式为 y1＝−32x−182+6460≤x≤28.
（2）解：①已知 y2＝−x2+26x+140,将其配方，得 y2＝−x−132+309.
因为a＝-1＜0，0≤x≤28， 所以， 当x＝13时，y2取得最大值.
此时，y2的最大值为309.
已知两种麦田每亩施氮量相同，当x＝13时， y1＝﹣32×13－182+646＝608.5
此时， y1−y2＝608.5−309＝299.5
答：当低肥力麦田每亩的产量最大时，每亩的施氮量为13千克，此时两种麦田小麦每亩产量的差为299.5千克.
②15
【解析】【解答】（2）②∵y1=−32(x−18)2+646，y2=−(x−13)2+309，
∴y1的最大值为646，y2的最大值为309．
∴m=646+309=955．
令y=y1+y2=−32(x−18)2+646−(x−13)2+309
=−52x2+80x+300
=−52(x−16)2+940，
∴当x=16时，y有最大值，为940．
∴n=940，
∴m−n=955−940=15．
【分析】（1）本题考查用待定系数法求二次函数的顶点式解析式。解题时已知抛物线的顶点坐标，因此设二次函数的顶点式y1=a(x−18)2+646，将点A的坐标代入解析式中，解出系数a的值，即可得到y1与x的函数关系式，同时标注自变量的取值范围；
（2）①本题考查二次函数的最值与代数式求值。解题时先将低肥力的函数解析式配方化为顶点式，根据二次项系数小于0判断开口向下，顶点处取得最大值，得到产量最大时的施氮量与最大产量；再将该施氮量代入中肥力的函数解析式，求出对应产量，计算两个产量的差值即可；
②本题考查二次函数的最值与函数和的最值计算。解题时先分别求出两个函数各自的最大值，相加得到m的值；再令总产量等于两个函数相加，得到新的二次函数，通过配方求出该函数在定义域内的最大值即为n的值，最后计算m与n的差值即可。
23．【答案】（1）证明：∵AB＝BC， BO是△ABC的中线，∴∠A＝∠C， AO＝CO.
∵△BOC旋转得到△DOE， ∴∠E＝∠C，EO＝CO.
∴∠A＝∠E， AO＝EO
∵∠AON＝∠EOM， ∴△AON≌△EOM.
（2）解：①如图2，判断DO与DF的数量关系，并说明理由；
解： DO＝DF.理由如下：
∵AB＝BC，BO是△ABC的中线，
∵.∠ABO＝∠CBO.
∴△BOC旋转得到△DOE，∴∠D＝∠CBO， OD＝OB.
∴∠ABO＝∠D.
∵OD∥AB， ∴∠D＝∠AFD. ∴∠AFD＝∠ABO.
∴DF∥OB. ..四边形DFBO是平行四边形.
∵OD＝OB， ∴▱DFBO是菱形.∴DO＝DF.
②13或 4−13
【解析】【解答】（2）②解：如下图所示，当点H在线段BO上时，
过点H作HP⊥OP于点P，过点A作AQ⊥OQ于点Q，
∴∠HPO=∠AQG=90°，
∵OD∥AB，
∴∠HOP=∠ABO，
又∵AB=BC，BO是△ABC的中线，
∴BO⊥AC，
∴∠AOB=∠HPO=90°，
∴△HPO∽△AOB，
∵OB=2，OA=3，
∴OPHP=OBOA=23，AB=OA2+OB2=13，
设OP=2x，HP=3x，
则OH=OP2+HP2=13x，
∴OG=OH=13x，
由旋转可知∠DOE=∠BOC=90°，
∴OE⊥OD，
∵OD∥AB，
∴OE⊥AB于点N，
∴S△AOB=12OA⋅OB=12AB⋅ON，
∴2×3=ON13，
∴ON=613=61313，
∵∠AQO=∠DOE=∠ONA=90°，
∴四边形AQON是矩形，
∴AQ=ON=61313，AN=OQ，
∴OQ=AN=OA2−ON2=32−(61313)2=91313，
∴QG=OQ−OG=91313−13x，
若∠AQG=∠AGH=90°，
∴∠QAG+∠QGA=90°，∠HGP+∠QGA=90°，
∴∠QAG=∠HGP，
∴△AQG∽△GPH，
∴AQGP=QGHP，
又∵GP=OG+OP=13x+2x，
∴6131313x+2x=91313−13x3x，
解得：x=1−21313，
∴OH=13x=13−2，
∴BH=OB−OH=2−(13−2)=4−13；
若∠AHG=90°，
则有∠PGH+∠PHG=90°，∠AHL+∠PHG=90°，
∴∠PGH=∠AHL，
∴△PGH∽△LHA，
∴PHPG=ALHL，
∵GP=13x+2x，HL=AQ−HP=61313−3x，AL=AN+NL=AN+OP=91313+2x，
∴3x13x+2x=91313+2x61313−3x，
解得：x=−(1−21313)