湖北省黄冈市蕲春县2025_2026学年高二数学上学期10月月考测试题含解析

这是一份湖北省黄冈市蕲春县2025_2026学年高二数学上学期10月月考测试题含解析，共29页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
题目要求的.
1. 已知直线 倾斜角为 ，且过 ，则 在 轴上的截距为（ ）
A. B. C. 1 D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用直线的点斜式方程求出直线 的方程即可得解.
【详解】直线 斜率为 ，方程为 ，当 时， ，
所以 在 轴上的截距为 .
故选：B
2. 若方程 表示圆，则实数 的取值范围为 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】将方程化为标准式即可计算求解.
【详解】解：方程 可变形为 ，
因为方程表示圆，则 ，所以 .
故选：D.
3. 设 ，向量 ， ， 且 ， ，则 （ ）
A. B. C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】先由空间向量垂直和平行的坐标表示计算出 ，再由模长的坐标运算求结果.
【详解】因为 ，所以 ，解得 ，所以 ，
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又 ，所以 ，解得 ，所以 ，
故 ，则 .
故选：C
4. 若 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，则下列命题错误的是（ ）
A. 若 ，则 B. 若 ，则
C. 若 ，则 D. 若 ，则
【答案】D
【解析】
【分析】根据空间中点线面位置关系的判定定理和性质定理，逐一判断各选项正误，得出结果.
【详解】根据线面垂直的性质定理，垂直于同一平面的两直线相互平行，所以 A 正确；
若 ，则存 一条直线 ，且 ，由 ，所以 ，
因为 ， ， ，所以 ，B 选项正确；
根据面面垂直的判定定理，若 ，则 ，所以 C 正确；
根据面面平行 判断定理，两条相交直线平行于一个面，则经过这两条相交直线的面与这个面平行，所以 D
错误；
故选：D.
5. 不透明的盒子里面装有五个分别标有数字 1、2、3、4、5 的乒乓球，这些球除数字外，其他完全相同，
一位学生随机摸出两个球，两个球的数字之和是偶数的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】列举出所有样本点，然后由古典概型概率公式可得.
【详解】从分别标有数字 1、2、3、4、5 的乒乓球随机摸出两个球的样本空间为：
，共 10 个样本点，
其中数字之和是偶数的样本点有： ，共 4 个.
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所以数字之和是偶数的概率为 .
故选：B
6. 如图所示 四棱锥 中，底面 为正方形，且各棱长均相等， 是 的中点，则异面直
线 与 所成角的余弦值为（ ）
A. 1 B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件，以 为空间向量的一个基底，再利用空间向量夹角公式求解即得.
【详解】令四棱锥 的各条棱长均为 2，则 ，由 是 的中点，得 ,
显然 不共面， ，又 ，
，
因此 ，
所以则异面直线 与 所成角的余弦值为 .
故选：D
7. 已知平面内有两点 和 ，且该平面内的点 满足 ，若点 的轨迹关于直线
对称，则 （ ）
A. 0 B. 2 C. 5 D. 7
【答案】B
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【解析】
【分析】设点 的坐标为 ，根据已知求出轨迹为圆，依题意圆心在直线上即可得解.
【详解】设点 的坐标为 ，因为 ，
所以 ，即 ，
整理得点 的轨迹方程为 ，此方程表示一个圆．
因为点 的轨迹关于直线 对称，
所以圆心 在此直线上，代入得 ．
故选：B
8. 已 知 直 线 与 相 交 于 点 ， 线 段 是 圆
的一条动弦，且 ，则 的最大值为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题知直线 分别过定点 ， ，又易得 ，所以可得点 轨迹为圆，设 为
弦 的中点，再由极化恒等式即可得到最值.
【详解】依题意得 ，半径 ，设 点坐标 ，
易知直线 恒过点 ，
直线 恒过 ，且 ，则 ，即 ，
点 轨迹为圆 ，圆心为 ，半径为 ，但是去掉点 ，
若点 为弦 的中点，位置关系如图：
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，连接 ，由 ，易知 ，
，
又点 分别为圆 、圆 上的点，
所以 ，当 在 处取等号，
所以
，
即 的最大值为 ．
故选：B．
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选
对的得 6 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 直线 的倾斜角 的取值范围是
B. “ ”是“直线 与直线 互相垂直”的充要条件
C. 两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线
D. 已知向量 ， ，则 在 上的投影向量为
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用直线的倾斜角与斜率的关系及三角函数的性质即可判断 A 选项，利用两直线的垂直及充要条
件的定义即可判断 B 选项，利用空间向量的基本定理可判断 C 选项；利用投影向量的定义可判断 D 选项.
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【详解】对于 A 选项，直线 的倾斜角为 ，则 ，因为 ，所
以 ，所以 ，故 A 正确；
对于 B 选项，因为直线 与直线 互相垂直，所以 ，即
，解得 或 ，所以“ ”是“ 或 ”的充分不必要条件，所以“ ”
是“直线 与直线 互相垂直”的充分不必要条件，故 B 错误；
对于 C 选项，若两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，不妨设这两个非零向量不共线，
设这两个非零向量为 ，由空间向量的基本定理可知，在空间中必存在非零向量 ，使得 为空
间的一个基底，假设不成立，故这两个非零向量共线，故 C 正确;
对 于 D 选 项 ， 因 为 向 量 ， 所 以 在 上 的 投 影 向 量 为
，故 D 正确.
故选：ACD.
10. 如图，四边形 为正方形， 平面 ， ， ，则下列说法正确
的是（ ）
A. 平面 B. 点 到平面 的距离为
C. 平面 平面 D. 三棱锥 的体积为 3
【答案】AC
【解析】
【分析】A.通过证明平面与平面平行，得到直线与平面平行，B.利用等体积法求出距离，C.作辅助线先证明
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线面垂直，再得到面面垂直 D. ，求出
【详解】对于 A，∵四边形 为正方形，∴
又 ，且 ， ， 在平面 内， 在平面 内，
∴平面 平面 ，又 平面 ，
平面 ，A 正确
对于 B，三棱锥 的体积 ，
易知 为正三角形，且边长为 ，故 ，
， 到平面 的距离 满足： ，
解得： ，B 错误；
对于 C，
连接 交 于点 ，连接 ， ，取 中点 ，则 为直角三角形，
易知 ，
， ， ，
，
为等边三角形，且 为 中点，
，又 ，且 都在平面 内，
平面 ，又 在平面 内，
∴平面 平面 ，C 正确；
对于 D，易知 ，又 ， 与 全等，
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， 为等腰三角形，
， ，
∴棱锥 的体积 ，D 错误
故选：AC
11. 在 长 方 体 中 ， ， ， M 为 BC 的 中 点 ． 动 点 P 满 足
， ， ，则下列说法正确的是（ ）
A. 点 P 一定在平面 内 B. 当 时，点 P 的轨迹长度为
C. 当 ，P，M 三点共线时， D. 当 时， 的最大值为
【答案】BC
【解析】
【分析】A 利用 及平面向量基本定理即可；B 取 的中点 N，即可得出 ，
计 算 长 度 即 可 ； C 由 共 线 性 质 即 可 ； D 利 用 基 底 化 简 得 出
，再化简得出 ，当 ， 时， 取最大值，但此时
不满足 .
【详解】对于 A 选项，易得 ，故 ，则 共面，又
有公共点 ，故点 P 在平面 内，故 A 错误；
对于 B 选项，取 的中点 N，连接 ，
则 ， ，则 ， ，
则四边形 为平行四边形，
则当 时， ， ，
可知此时点 P 的轨迹为线段 AN，其长度为 ，
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故 B 正确；
对于 C 选项，由 ，与 三点共线，可知 ，故 C 正确；
对于 D 选项，显然 为一组正交基底，
而 ，
故
，
而 ，
故 ，
因 ， ，故当 ， 时， 最大为 ，
此时不满足 ，故 的最大值不为 ，故 D 错误．
故选：BC．
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 某校进行定点投篮训练，甲、乙、丙三个同学在固定的位置投篮，投中的概率分别 ， ，p，已知每
个人投篮互不影响，若这三个同学各投篮一次，至少有一人投中的概率为 ，则 p＝______________.
【答案】 ##
【解析】
【分析】由已知结合对立事件的概率关系及相互独立事件的概率公式即可求解.
【详解】由题意可知 ，解得 .
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故答案为： .
13. 直线 经过平面直角坐标系的第二、三、四象限，则实数 的取值范围是
______．
【答案】
【解析】
【分析】求出其斜率和在 轴上的截距，再根据其所过象限得到不等式组，解出即可.
【详解】因为直线 经过平面直角坐标系的第二、三、四象限，所以直线 的斜率 ，且在 轴上的截
距 ．
因为直线 ，所以 ， ，
则 ，解得 ，即实数 的取值范围是 ．
故答案为： .
14. 已知直线 l 与圆 相交于 A，B 两点，以线段 AB 为直径的圆经过定点 ，则 AB 的
中点 的轨迹方程为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，利用圆的性质及直角三角形斜边上中线的性质列式求出轨迹方程.
【详解】设 ，连接 ，由弦 的中点为 ，得 ， ，
由以线段 为直径的圆过点 ，得 ，则 ，
因此 ，整理得 ，
所以 的中点 的轨迹方程为
故答案为：
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四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知直线 ： ， ： ，其中 为实数.
（1）当 时，求直线 ， 之间的距离；
（2）当 时，求过直线 ， 的交点，且垂直于直线 的直线方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）直接根据两直线平行的公式计算出 ，再由两直线间的距离公式求解即可；
（2）求出两直线的交点，再利用点斜式求解即可.
【小问 1 详解】
由 得 ，解得 ，
此时直线 ： ， ： ， 不重合，
则直线 ， 之间的距离为 ；
【小问 2 详解】
当 时， ： ，
联立 ，解得 ，
又直线 斜率为 ，
故过直线 ， 的交点，且垂直于直线 的直线方程为 ，
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即 .
16. 四棱锥 中，四边形 ABCD 为菱形， ，平面 平面 ABCD．
（1）证明： ；
（2）若 ，且 PA 与平面 ABCD 成角为 ，点 E 在棱 PC 上，且 ，求平面 EBD 与平
面 BCD 的夹角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用菱形对角线互相垂直和面面垂直的条件可得线面垂直，故得线线垂直；
（2）由（1）的结论，结合题设条件，建立空间直角坐标系，分别求出相关点的坐标，计算两个平面的法
向量，利用空间向量的夹角公式计算即得.
【小问 1 详解】
因 四边形 ABCD 为菱形，所以 ，
因为平面 平面 ABCD，平面 平面 ， 平面 ABCD，
所以 平面 PBD，
因为 平面 PBD，故
【小问 2 详解】
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如图，设 ，则 O 为 AC、BD 的中点，
由 可得 ，
又因为 平面 PBD， 平面 PBD，所以 ，
因为 ，AC、 平面 ABCD，
所以 平面 ABCD，
故可以点 O 为坐标原点，OA、OB、OP 所在直线分别为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系 .
且 为 PA 与平面 ABCD 所成角，
由于四边形 ABCD 为边长为 ， 的菱形，
所以 ，
则 ， ， ， ， ，
由 ，∴ ，
得 ，且
设平面 的法向量为 ，
则， ,故可取 ，
又平面 BCD 的一个法向量为 ，
所以 ，
所以平面 EBD 与平面 BCD 的夹角的余弦值为
17. 已知圆 过 三点，直线 ．
（1）求圆 的方程；
（2）求圆 关于直线 对称的圆 的方程；
（3）若 为直线 上的动点， 为圆 上的动点， 为坐标原点，求 的最小值．
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【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）设出圆的标准方程，代入点的坐标求解出参数则圆的方程可知；
（2）根据斜率关系和中点关系求解出对称点 的坐标，结合对称圆的半径不变求解出圆 的方程；
（3）根据圆外一点到圆上点距离的最值可知 ，然后利用对称关系将
转化为 ，结合三点共线可求最小值.
【小问 1 详解】
设圆的方程为 ，代入 ，
则 ，解得 ，
所以圆 的方程为 ；
【小问 2 详解】
设 ，
由对称关系可知 ，解得 ，所以 ，
又因为对称圆的半径不变，
所以 的方程为 ；
【小问 3 详解】
因为 ，
由（2）可知 关于直线 的对称点为 ，
所以 ，
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当且仅当 共线时取等号，
所以 ，即 的最小值为 .
18. 为增强市民的节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者.从符合条件的 500 名志愿者中随机抽
取 100 名志愿者，其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄的分组区间是：第 1 组 、第 2 组
、第 3 组 、第 4 组 、第 5 组 .
（1）求图中 的值并根据频率分布直方图估计这 500 名志愿者中年龄在 的人数；
（2）估计抽出的 100 名志愿者年龄的第 75 百分位数；
（3）若在抽出的第 2 组、第 4 组和第 5 组志愿者中，采用按比例分配分层抽样的方法抽取 6 名志愿者参加
中心广场的宣传活动，再从这 6 名中采用简单随机抽样方法选取 2 名志愿者担任主要负责人.求抽取的 2 名
志愿者中恰好来自同一组的概率.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由直方图频率和为 1，列方程求 ，再根据直方图求 500 名志愿者中年龄在 的人数；
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（2）由第 75 百分位数分直方图左侧面积为 0.75，列方程求第 75 百分位数.
（3）由分层抽样的等比例抽取的性质求出 6 名志愿者的分布，再应用古典概型的概率求法求抽取的 2 名志
愿者中恰好来自同一组的概率.
【小问 1 详解】
由直方图知： ，可得 ，
∴500 名志愿者中年龄在 的人数为 人.
【小问 2 详解】
因为 ， ，
所以第 百分位数在 区间内，若该数为 ，
∴ ，解得 .
【小问 3 详解】
由题设，第 2 组、第 4 组和第 5 组的频率之比为 ，知 6 名志愿者有 2 名来自 ，3 名来自
，1 名来自 ，
不妨设第 2 组、第 4 组和第 5 组抽取的志愿者为 ，
则抽取两人的基本事件有 ，
，共 15 个，
∴抽取的 2 名志愿者中恰好来自同一组的概率 .
19. 如图，在四棱锥 中，四边形 是梯形，其中 ，
，平面 平面 .
（1）证明： ；
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（2）若 是棱 上的动点，且 与平面 所成角的正切值为 .
（i）求二面角 的余弦值；
（ii）当直线 与平面 所成角最大时，求 长.
【答案】（1）证明见解析
（2）（i） ；（ii）
【解析】
【分析】（1）根据几何关系先证明 ，再根据面面垂直的性质定理证明 平面 ，由此可
知 ；
（2）（i）先证明 平面 并求解出 长度，然后建立合适空间直角坐标系，分别求解出平面
和平面 的一个法向量，根据法向量夹角的余弦值求解出结果；（ii）设 ，
由此表示出 坐标，然后利用向量法表示出 ，再通过换元法以及二次函数性质分析 何时取最大
值，从而计算出 坐标，则 长可求.
【小问 1 详解】
因为 ，所以 为正三角形，
所以 ，
又因为 ，所以 ，
在 中， ，
所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
又因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
又因为 平面 ，
所以 .
【小问 2 详解】
（i）因为 ， ， ， 平面 ，
所以 平面 ，所以 与平面 所成角即为 ，
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所以 ，所以 ；
以 为原点，分别以 为 轴正方向，建立空间直角坐标系 ，如下图所示，
因为 ，所以 ，
设平面 的一个法向量为 ，
所以 ，所以 ，
取 ，则 ，所以 ，
取平面 的一个法向量为 ，
设二面角 的平面角大小为 ，
所以 ，
所以二面角 的余弦值为 ；
（ii）因为 ，即 ，
设 ，且 ，
因为 ，所以
，
所以 ，所以 ，
设直线 与平面 所成角为 ，
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所以
令 ，所以 ，
由二次函数性质可知，当 ，即 ，即 时， 有最大值，此时 取最大值，
所以 ，
所以 .
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