2025-2026学年湖北省黄冈市蕲春县实验高级中学高二上学期10月月考数学试卷（含答案）

这是一份2025-2026学年湖北省黄冈市蕲春县实验高级中学高二上学期10月月考数学试卷（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线3x+2y-1=0的一个方向向量是( )
A. 2,-3B. 2,3C. -3,2D. 3,2
2.设x,y∈R,a=1,1,1,b=1,y,z,c=x,-4,2，且a⊥c,b//c，则x+y+z=( )
A. -1B. 0C. 1D. 2
3.同时抛掷一白一红两枚质地均匀的骰子，用x表示白色骰子的点数，y表示红色骰子的点数，设事件A=“x+y=6”，事件B=“xy为偶数”，事件C=“x>3”，则下列结论正确的是( )
A. A与B对立B. PBC=512C. A与C相互独立D. B与C相互独立
4.已知直线l1:y=x和l2:x-2y+1=0的交点为P，则点P到直线y=kx+1的距离的取值范围是( )
A. (0,1)B. (0,1]C. [0,1)D. 0,12∪12,1
5.若直线l:ax-by-4=0与圆O:x2+y2=4相离，则点P(a,b)( )
A. 在圆O外B. 在圆O内
C. 在圆O上D. 与圆O的位置关系不确定
6.如图，在三棱锥P-ABC中，∠APB=90 ∘，∠CPA=∠CPB=60 ∘，PA=PB=PC=2，点D，E，F满足PD=DB，PE=2EA，AF=FC，则直线CE与DF所成的角余弦值为( )
A. 32B. 22C. 12D. 0
7.小刚参与一种答题游戏，需要解答A，B，C三道题.已知他答对这三道题的概率分别为a，a，12，且各题答对与否互不影响，若他恰好能答对两道题的概率为14，则他三道题都答错的概率为( )
A. 12B. 13C. 14D. 16
8.过点2 2,0作直线l与曲线y= 4-x2相交于A，B两点，O为坐标原点，当▵AOB的面积取最大值时，直线l的斜率为( )
A. ± 33B. ± 3C. - 33D. - 3
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知空间三点A1,3,2，B0,2,4，C3,4,5，则下列说法正确的是( )
A. AB⋅AC=3 B. AC在AB方向上的投影向量为12,12,-1
C. 点C到直线AB的距离为5 22 D. ▵ABC的面积为5 32
10.(多选)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，AP=xAD+yAA1x,y∈0,1，则( )
A. 若x+y=1，则点P的轨迹为线段AD1
B. 若x=12，则点P的轨迹为连接棱AD的中点和棱A1D1中点的线段
C. 若x=y，则三棱锥P-A1BC1的体积为定值
D. 若y=12，则BP与平面ABCD所成角的余弦值的最大值为 23
11.已知圆C:(x-1)2+(y-1)2=4，直线l:x+my+2m-3=0，则下列说法正确的是( )
A. 直线l过定点(-2,3)
B. 当m=125时，直线l与圆C相切
C. 当m=-1时，过直线l上一点P向圆C作切线，切点为Q，则|PQ｜的最小值为 342
D. 若圆C上只有一个点到直线l的距离为1，则m=-125
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知M,N是相互独立事件，且PM=0.4,PN=0.3，则PM∪N= ．
13.已知点P在圆C:x-a2+y2=a2a>0上，点A0,2，若PA的最小值为1，则过点A且与圆C相切的直线方程为 ．
14.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，点M为底面ABCD的中心，点N在侧面BB1C1C的边界及其内部运动，若D1M⊥MN，则线段C1N长度的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知△ABC的顶点A(2,1)，边AB的中线CM所在直线方程为x-y+1=0，边AC的高BH所在直线方程为x-2y+2=0．
(1)求点B的坐标；
(2)若入射光线经过点A(2,1)，被直线CM反射，反射光线过点N(4,2)，求反射光线所在的直线方程．
16.(本小题15分)
在如图所示的几何体ABCDFE中，平面ABCD是边长为2的正方形，AE⊥平面ABCD，DF//AE，且DF=2AE=2，N为CF的中点，M为AB的中点．
(1)求证：EN//平面ABCD；
(2)求平面EMN与平面FDC夹角的余弦值．
17.(本小题15分)
甲、乙两人进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得2分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的人获得冠军．已知甲在三个项目中获胜的概率分别为12，p，q，p0)与x轴交于点M，与y轴交于点N，O为坐标原点.(M，N与O不重合)
(1)求证：▵MON的面积为定值;
(2)设直线3x+y-3=0与圆C交于点A，B，若|OA|=|OB|，求实数a的值；
(3)在(2)的条件下，设P，Q分别是直线l:x+y+4=0和圆C上的动点，求|PN|+|PQ|的最小值及此时点P的坐标．
19.(本小题17分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥AB,AB//CD,AB⊥BC，AP=2AE,PA=AB=BC=2,CD=CE=3,F为线段CD上一动点．

(1)证明：PA⊥平面ABCD；
(2)已知E,A,B,C四点均在球O的球面上．
(i)证明：C,E,O三点共线；
(ii)若直线OF与平面PBD所成角的正弦值为4 8585，求DF的长度．
参考答案
1.A
2.C
3.B
4.C
5.B
6.D
7.C
8.C
9.ACD
10.BC
11.BC
##2950
13.x=0或7x+24y-48=0
14.4 55##45 5
15.解：(1)由题意可设点B2a-2,a，
因为A(2,1)，则AB的中点a,a+12在直线x-y+1=0上，
可得a-a+12+1=0，解得a=-1，
所以点B的坐标为B-4,-1．
(2)设A(2,1)关于直线x-y+1=0的对称点为A'm,n，
则n-1m-2=-1m+22-n+12+1=0，解得n=0m=3，即A'0,3
所以反射光线所在的直线方程为y-23-2=x-40-4，可得x+4y-12=0．

16.解：(1)
如图所示，取CD中点G，连接GN,GA，因为N是CF中点，
所以NG//DF,NG=12DF，
又因为DF//AE，且DF=2AE=2，
所以EA//NG,EA=NG，
所以四边形EAGN是平行四边形，所以EN//AG，
又因为EN⊄平面ABCD，AG⊂平面ABCD，
所以EN//平面ABCD；
(2)因为AE⊥平面ABCD，AB,AD⊂平面ABCD，
所以AE⊥AB,AE⊥AD，
又因为平面ABCD是边长为2的正方形，所以AB⊥AD，
所以AB,AD,AE两两垂直，
故以点A为坐标原点，AB,AD,AE分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
因为AE⊥AD,AE//DF，所以DF⊥AD，
又因为DC⊥AD,DF∩DC=D,DF,DC⊂平面FDC，
所以AD⊥平面FDC，
所以平面FDC的一个法向量可以是n1=ADAD=0,1,0，
设平面EMN的法向量为n2=x,y,z
由题意M1,0,0,N1,2,1,E0,0,1，则EM=1,0,-1,EN=1,2,0，
所以EM⋅n2=x-z=0EN⋅n2=x+2y=0，令y=-1，解得x=z=2，故可取n2=2,-1,2，
所以平面EMN与平面FDC夹角的余弦值为csn1,n2=n1⋅n2n1⋅n2=1 4+1+4=13．

17.解：(1)由题意可得121-p1-q=35012pq=425，即1-p+q+pq=325pq=825，则p+q=65．
又p25，所以甲获得最终胜利的可能性大．

18.解：(1)由圆C的方程(x-a)2+y-3a2=a2+9a2(a>0)，化简得x2-2ax+y2-6ay=0，
其与x轴，y轴的交点分别为：M(2a,0),N0,6a，
所以S▵MON=122a⋅6a=6为定值．
(2)如图①所示，因为|OA|=|OB|，所以OC⊥AB．
又OC的斜率k=3a2，所以3a2×(-3)=-1，解得a=3(负数舍去)，
(3)如图②所示，由②知：圆C的方程为：(x-3)2+(y-1)2=10，圆心C(3,1)，半径r= 10,N(0,2)．
设点N关于直线x+y+4=0的对称点为N'(x,y)，
则NN'中点为x2,2+y2，且y-2x⋅(-1)=-1,x2+2+y2+4=0,解得x=-6,y=-4,，即N'(-6,-4)，
则PN+PQ=PN'+PQ≥N'Q，
又点N'到圆上点Q的最短距离为N'C-r= (3+6)2+(1+4)2- 10= 106- 10，
则|PN|+|PQ|的最小值为 106- 10，
此时直线N'C的方程为：y-1=1+43+6(x-3)，即5x-9y-6=0．
点P为直线N'C与直线l的交点，则5x-9y-6=0,x+y+4=0,解得x=-157,y=-137,即点P-157,-137

19.解：(1)因为AP=2AE，PA⊥AB，所以AE=1，EB2=EA2+AB2=5，
于是有EB2+BC2=EC2，故BE⊥BC，
由BC⊥AB,AB∩BE=B,AB⊂平面PAB,BE⊂平面PAB，可知BC⊥平面PAB，

由PA⊂平面PAB可知PA⊥BC，
由PA⊥AB,AB∩AC=A,AB⊂平面ABCD,AC⊂平面ABCD，
所以PA⊥平面ABCD．
(2)(i)方法一：建系法：以A为坐标原点，BC的方向为x轴正方向，AB的方向为y轴正方向，
AP的方向为z轴正方向，建立空间直角坐标系A-xyz，
则A0,0,0,B0,2,0,C2,2,0,P0,0,2,E0,0,1．

设Ox0,y0,z0，则由OE=OA=OB=OC，
即x02+y02+z02=x02+y0-22+z02=x0-22+y0-22+z02=x02+y02+z0-12,
解得x0=y0=1,z0=12，
于是O1,1,12,EC=2,2,-1,EO=1,1,-12=12EC，
故由EO∩EC=E可知C,E,O三点共线．
方法二：几何法：不妨记M为EC中点，N为AC中点，显然有MN⊥AC，
而由EA⊥AB,MN//EA知MN⊥AB，
由AB∩AC=A,AB⊂平面ABC,AC⊂平面ABC知MN⊥平面ABC．

由AB⊥BC可知NB=NA=NC，易知有且仅有直线MN上任一点到A,B,C的距离相等，故O∈MN，
同理EA⊥AC可知过点M且垂直于平面AEC的直线l上任一点到A,E,C的距离相等，
故O∈l,由l∩MN=M知点O即为点M，于是C,E,O三点共线．
(ii)以A为坐标原点，BC的方向为x轴正方向，AB的方向为y轴正方向，
AP的方向为z轴正方向，建立空间直角坐标系A-xyz，不妨设F2,λ,0,λ∈-1,2，
则PB=0,2,-2,BD=2,-3,0,OF=1,λ-1,-12，
记平面PBD的法向量n=x,y,z，
则n⋅PB=0n⋅BD=0，即y-z=02x-3y=0，可取n=3,2,2，

记直线OF与平面PBD所成角为θ，
sinθ=4 8585=n⋅OFnOF=3+2λ-2-1 32+22+22 1+λ-12+14=4λ 17 4λ2-8λ+9,
即λ2+8λ-9=0，解得λ=1或λ=-9(舍去)，故DF=λ+1=2．