湖北省武汉市2025_2026学年高二数学上学期期中检测试题含解析

这是一份湖北省武汉市2025_2026学年高二数学上学期期中检测试题含解析，共29页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
时限：120分钟 满分：150分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 如果，那么直线不经过的象限是（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】将直线的一般式方程转化为斜截式方程即可.
【详解】由可得，,
所以直线的斜率纵截距，
所以直线经过一、二、四象限，
故选:C.
2. 直线和的位置关系是（ ）
A. 平行B. 相交
C. 重合D. 不确定
【答案】B
【解析】
【分析】先求出两直线斜率，根据两直线的斜率不相等，这两条直线一定相交，即得解.
【详解】由题意，直线的斜率为，
直线的斜率为，
两直线斜率一定不相等，故两直线相交.
故选：B
3. 以椭圆的两个焦点及短轴的两个端点为四个顶点的椭圆方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出椭圆的两个焦点及短轴的两个端点，然后依椭圆的标准方程可得答案.
【详解】椭圆方程 ，
因此焦点为 和 ，
短轴的两个端点为 和 ，
由题意知：所求椭圆的四个顶点为：、、、，
这些点位于坐标轴上，因此新椭圆的方程应为标准形式，且长轴和短轴沿坐标轴，
因此所求椭圆方程为 ：.
故选：A
4. 已知，两点的坐标分别是，，是椭圆上一点，若为直角三角形，则满足条件的点的个数为（ ）
A. 2B. 4C. 6D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】按的直角顶点位置分类，结合以原点为圆心，长为半径的圆与椭圆交点情况得答案.
【详解】椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距，
则点分别为椭圆的左右焦点，
当或是的直角顶点时，直线，直线与椭圆有4个交点，
此时符合条件的点有4个；
当点为的直角顶点时，，
此时以原点为圆心，1为半径的圆与椭圆有两个交点，即短轴端点，即点有2个，
所以满足条件的点的个数为6.
故选：C
5. 已知直线与圆相交于，两点，若为正三角形，则实数的值是（ ）
A. B. C. 或D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】由题意，圆心到直线的距离为，利用点到直线的距离公式求解．
【详解】由圆可得圆心，半径，
∵为正三角形，边长为，
∴圆心到直线的距离为，
即，解得．
故选：D．
6. 设椭圆的左焦点为，若，是椭圆上的两个动点，则周长的最大值为（ ）
A. 14B. 16C. 18D. 20
【答案】D
【解析】
【分析】根据椭圆的定义转化求解即可.
【详解】由椭圆方程知：，左焦点，
设椭圆的右焦点为
由椭圆的定义知：，
所以周长为
因为，当且仅当三点共线时等号成立，
所以，当且仅当三点共线时等号成立，
所以，当且仅当三点共线时等号成立，
即周长的最大值为.
故选：D

7. 已知点，，是圆与轴的交点.若点满足：以为直径的圆与圆相切.则面积的最大值为（ ）
A. B. 4C. 6D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】由图可以判定，两圆内切，然后根据内切的判定得到B的轨迹方程为椭圆，根据椭圆的性质即可确定最大值.
【详解】显然点在圆内，由以为直径的圆与圆相切，得两圆内切，
设以为直径的圆的圆心为，，为中点，则为的中位线，
因此，即有，
于是点的轨迹为以为左右焦点，长轴长为6的椭圆，该椭圆短半轴长，
又，所以当且仅当为椭圆短轴顶点时，的面积最大，最大值为.
故选：C
8. 已知圆与圆相交于、两点，若四边形的面积为，则（ ）
A. 2B. 4C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设，则为的中点，由四边形的面积为，可得出的表达式，利用勾股定理可得出关于的方程，解出的值，即可求得．
【详解】圆，即，
则圆心为，半径为1，，
设，由题意可知，为的中点，，，
故四边形的面积为，
则，故，
所以，
所以，
又因为，
所以，得，解得，
因此．
故选：D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知三条直线，，，下列结论正确是（ ）
A.
B. 三条直线的斜率之积为1
C. 三条直线的倾斜角之和为
D. 三条直线在轴上的截距之和为12a
【答案】BC
【解析】
【分析】分别将三直线转化成点斜式，进而分析斜率和纵截距，根据斜率关系判断ABC；根据纵截距判断D.
【详解】设三条直线对应斜率为，倾斜角为，
，；
，；
，，
对于A：因为，所以不垂直于，故A错误；
对于B：，故B正确；
对于C：，
因为，则，可得，
所以三条直线的倾斜角之和为135°，故C正确；
对于D：三条直线在y轴上的截距之和为，故D错误.
故选：BC.
10. 已知圆，直线，则下列结论正确的是（ ）
A. 直线经过定点
B. 圆上的点到直线的距离的最大值为
C. 若圆上有且仅有一个点到直线的距离等于1，则这样的直线有2条
D. 若，过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，则中点到点的距离的最小值为
【答案】AB
【解析】
【分析】整理直线的方程，列出方程组可求直线经过定点，即可判断A；圆上的点到直线的距离的最大值为，即可判断B；由题意，到直线的距离等于3，利用点到直线的距离求解可判断C；设直线上一点，点在以为直径的圆上，与圆相减可得方程，可得直线经过定点，点轨迹是以为直径的圆（点除外），其半径为，根据圆的性质求解中点到点的距离的范围，即可判断D．
【详解】直线，整理得，
由，解得，即直线经过定点，故A正确；
圆的圆心，半径为2，
点到直线的距离的最大值为，此时，
所以圆上的点到直线的距离的最大值为，故B正确；
若圆上有且仅有一个点到直线的距离等于1，则到直线的距离等于3，
所以，解得，
则满足条件的直线只有1条，故C错误；
若，则直线，
设直线上一点，所以，
因为分别为过点所作圆的两条切线，所以，
所以点在以为直径的圆上，
以为直径的圆的方程为，
整理可得：，
与已知圆相减可得，
又，消去可得，即，
即直线的方程为，
由，可得，所以直线经过定点，
设的中点为，则，
故点轨迹是以为直径的圆（点除外），
以为直径的圆的圆心为，半径为，
设点，则，
从而点在圆外，
则中点到点的距离，
当且仅当点与重合时取等号，
由于点轨迹是以为直径的圆（点除外），所以等号取不到，
故，故D错误．
故选：AB.
11. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与椭圆交于，则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 点到点的距离的最大值为
C. 的外接圆半径的最小值为
D. 若直线过点，且椭圆上存在一点，使得，其中，则的取值范围为
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据椭圆的方程求得，进而判断A；设点，进而根据距离公式求的最大值即可判断B；根据正弦定理得，进而将问题转化为求取得最大值，再根据余弦定理解决焦点三角形的角的问题即可判定C；根据向量关系，结合韦达定理表示出，再求范围即可判断D.
【详解】对于A：由椭圆的标准方程得，，
故，A选项正确；
对于B：设点，则，，即，
故，
所以，当时，有最大值，即有最大值.故B选项错误；
对于C：在中，由正弦定理，其中为外接圆半径，
所以，故要使的外接圆半径最小，则只需取得最大，
设点，则由椭圆的定义知，
所以，在中，由余弦定理
，
由基本不等式，当且仅当时等号成立，，
所以，，故，即，
所以取得最大值时，，此时，
所以，的外接圆半径的最小值为，故C选项正确；
对于D：若直线过点，则，即直线，
因为椭圆上存在一点，使得，
故设，则，
因为点在椭圆上，所以，
因为点在椭圆上，则，，
所以，
由于，所以
联立方程得，显然，
所以，
所以
，
所以，
由于，，
所以的取值范围为，故D选项正确.
故选：ACD

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，满分15分.
12. 设椭圆：的左、右焦点分别为，，过作平行于轴的直线交于两点，若，，则椭圆的方程为__________
【答案】
【解析】
【分析】利用椭圆对称性求出，由椭圆的定义求出，进而求出，即可求出椭圆的方程．
【详解】由题意知，，轴，故，
又，由，解得，
，所以，
从而，
所以椭圆的方程为．
故答案为：．
13. 已知，，则同时经过三个点，，的直线方程为___________.
【答案】或
【解析】
【分析】由题意可知点，均在直线上，又在直线上，可求得，进而求出，得出所求直线的方程.
【详解】根据，成立，
可知点，均在直线上，
且有两个不等实根，则，
又在直线上，则，得，
所以，均满足，
当，时，所求直线方程为，即；
当，时，所求直线方程为，即，
故答案为：或.
14. 已知为椭圆的上顶点，点、的坐标分别为和，点、分别是椭圆位于第一、三象限上的两点，且，直线和的斜率之差为，，则椭圆的离心率为___________.
【答案】
【解析】
【分析】由题得到、关于原点对称，设出P、两点坐标，再由和的斜率之差和夹角条件求出P点坐标，再将P点坐标代入椭圆方程，即可求解离心率.
【详解】因为为椭圆的上顶点，所以设 .
又因为点、的坐标分别为和，点、分别是椭圆位于第一、三象限上的两点，且，所以根据椭圆的对称性得到、关于原点对称.
所以设 ，，所以直线和的斜率分别为 ，；
由直线和的斜率之差为，得，得；
因为，由，即，得到，
因为在椭圆上，所以，即，得到，
椭圆的离心率
因此，椭圆的离心率为.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知圆与直线相切于坐标原点，且为圆与轴的一个交点.
（1）求圆的方程；
（2）求与圆相切且在坐标轴上截距相等的直线的方程.
【答案】（1）
（2）或或
【解析】
【分析】（1）先设圆标准方程，再根据条件列出方程，解方程组得结果；
（2）由直线截距的概念，讨论两截距为0时和两截距不为0时，应用圆心到直线距离等于半径运算可得解.
小问1详解】
设圆C的标准方程为，
因为圆C过点，且圆与直线相切于坐标原点，
所以，，，
解得，半径.
所以圆C的标准方程为；
【小问2详解】
当直线过原点时，切线方程为，
则，所以，所以直线为；
当直线不过原点时，切线方程为，
则，所以，所以直线为或..
所以切线的方程为或或.
16. 已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，的角平分线方程为.
（1）求点的坐标和直线的方程；
（2）求边上的高所在直线方程.
【答案】（1），直线的方程为
（2）
【解析】
【分析】（1）设，则线段的中点，根据点在直线方程上，点在直线上，列方程组求出，得点的坐标；求出点关于的角平分线的对称点的坐标，利用两点式方程求出直线的方程；
（2）联立中线与直线的方程，求得点的坐标，可得，从而得得出边上的高所在直线的斜率，利用点斜式方程求出边上的高所在直线方程.
【小问1详解】
设，点，则线段的中点，
∵点在直线方程上，
∴，即①，
∵点在直线上，∴②，
联立①②解得，故，
设点关于的角平分线的对称点为，
则，解得，即，
由题意在直线上，
所以直线的方程为，即.
【小问2详解】
联立中线与直线的方程，得，
解得，即，
所以，
则边上的高所在直线的斜率为，
又在高线上，
所以边上的高所在直线方程，即.
17. 如图，已知三棱柱的底面是正三角形，且，.
（1）求证：；
（2）若，且，求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先证得点在平面ABC内射影是的中心，进而证得；
（2）建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用空间向量即可求得直线与平面所成角的余弦值.
【小问1详解】
过点作平面ABC于点平面ABC，所以，
又平面，
平面平面，
同理可证，又是正三角形，则是的中心，
连接AO，CO并延长交BC，AB于E，F，则E，F分别为BC，AB的中点，
又平面平面，
则，故，
同理可证：，
综上所述：.
【小问2详解】
由题意可知：为等腰直角三角形，则，
因，，可得，
以BC的中点为坐标原点，以EA，EB为x，y的正方向，
过且与平行的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，
则，
因为，，，
可得，
设平面的法向量为，则，
取，则，可得，
设直线与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值.
18. 已知，分别为椭圆的左，右焦点.
（1）设过点的直线与椭圆交于，两点，且，求直线的方程；
（2）经过右焦点的直线，分别与椭圆交于点，和点，，且它们的斜率乘积为，，分别是线段和的中点.
（i）证明：直线和的斜率乘积为定值；
（ii）求面积的最大值.
【答案】（1）或
（2）（i）证明见解析；（ii）
【解析】
【分析】（1）设直线的方程为，，联立直线与椭圆方程得，再由垂直，即，最后代入即可求解；
（2）（i）设，，分别与椭圆方程联立，通过韦达定理求出中点的坐标，计算得到定值；
（ii）由（i）得直线的方程，再求点到直线的距离为，计算，，结合基本不等式得到三角形的最值.
【小问1详解】
由椭圆方程可知：，，显然直线的斜率存在，
设直线的方程为，，联立，
消去得，
所以，即.
且，因为，所以，
所以，即，
所以，
整理得，
即，
化简得，即满足条件，
所以直线的方程为或，
即直线的方程为或.
【小问2详解】
（i）证明：设斜率为，则的斜率为，，，
联立消得，
结合韦达定理和中点坐标公式得，所以.
，联立消得，
结合韦达定理和中点坐标公式得，所以.
故为定值.
（ii）由（i）得，，，
所以直线的方程为，即，
点到直线的距离为，
因为，
所以
所以
令，则（时，只需考虑的情况）
对于，所以，
根据基本不等式，当且仅当，即时取等号
所以，进而.
从而得到面积的最大值为.
19. 已知椭圆，点，，其中，是椭圆上的一点，直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为，椭圆在两点处的切线与相交于点，线段的中点为，设直线，的斜率分别为，.
（1）证明：直线的方程为；
（2）求的取值范围（用表示）；
（3）若点的坐标为，求.
（附：若是椭圆上一点，则椭圆在点处的切线方程为.）
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）1
【解析】
【分析】（1）设，由题中结论求得切线，的方程，由与相交于点，可得均在直线上，即可得出直线的方程；
（2）由条件求得，根据在椭圆上及确定范围即可；
（3）联立，的方程，可得，分别联立直线，与椭圆的方程，利用韦达定理求得，，代入可求得，所以点的横坐标，所以，，即可求出答案.
【小问1详解】
设，
椭圆在点处的切线的方程为，
在点处的切线的方程为，
因为切线与相交于点，
所以，且，
说明均在直线上，
所以直线的方程为.
【小问2详解】
由，，，
可得，所以，
又在椭圆上，
则，得，
因此，
因为，所以，则，
所以，
即的取值范围是.
【小问3详解】
的方程为，的方程为，
联立，可得，即，
点的坐标为，则，
直线的方程为：，即，
直线的方程为：，即，
联立，得，
由题意，此方程的两根为，则，即，
联立，得，
由题意，此方程的两根为，则，即，
又，，
所以
，
所以点的横坐标，所以，
又为线段的中点，故，可得.