2024-2025学年湖北省武汉市高二上学期期中考试数学检测试题（含解析）

这是一份2024-2025学年湖北省武汉市高二上学期期中考试数学检测试题（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知 是虚数单位，则复数 （ ）
A．B．C．D．
2．已知直线 与 相交于点 ，则点到直线 的距离为（ ）
A．B．C．D．
3．在不超过 9 的质数中， 随机选取两个不同的数， 其和为偶数的概率为（ ）
A．B．C．D．23
4．已知椭圆的左､右焦点分别为上一点满足，且，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
5．已知三棱锥中，平面，则此三棱锥外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
6．在平面直角坐标系中，已知点，， 为平面上一动点且满足， 当实数变化时，的最小值为（ ）
A．B．C．D．
7．在梯形 中，满足 ，则 （ ）
A．4B．6C．10D．12
8．已知为锐角三角形，且满足，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列说法正确的是（ ）
A．已知一组数据1，2，4，3，1，2，1，则这组数据中位数为 2
B．已知五个数据5，5，10，10，20，则这组数据的分位数为10
C．若，则事件与互为对立事件
D．若事件相互独立，，则
10．在棱长为 2 的正方体 中， 为 的中点，为平面 上的一动点，则下列选项正确的是（ ）
A．二面角 的平面角的正切值为 2
B．三棱锥 体积为
C．以点 为球心作一个半径为 的球，则该球被平面 所截的圆面的面积为
D．线段 的最小值为
11．已知椭圆的左，右焦点分别为，，圆，点P在椭圆C上，点Q在圆M上，则下列说法正确的有（ ）
A．若椭圆C和圆M没有交点，则椭圆C的离心率的取值范围是
B．若，则的最大值为4
C．若存在点P使得，则
D．若存在点Q使得，则
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知椭圆 ，过右焦点的直线交 于 两点，则 的最小值为 .
13．设向量 满足 ，则 的最大值等于 .
14．已知球的表面积为，正四面体的顶点均在球的表面上，球心为的外心，棱AB与球面交于点.若平面平面平面平面 且与之间的距离为同一定值，棱分别与交于点，则的值为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知双曲线 的实轴长为 4，离心率等于 2 .
(1)求双曲线的方程；
(2)已知定点 ，若双曲线的左焦点为，为双曲线右支上任意一点，求的最小值.
16．已知点，直线.
(1)求过点，且与直线平行的直线的方程；
(2)光线通过点，经直线反射，其反射光线通过点，求反射光线所在直线的方程.
17．已知满足圆的方程.
(1)求的取值范围；
(2)若直线与圆交于不同的两点，当为锐角时，求实数的取值范围.
18．如图，在三棱锥 中， 分别是 的中点.
(1)求证: 平面 ；
(2)若四面体的体积为 ，求；
(3)若 ，求直线 AD 与平面 所成角的正弦值的最大值.
19．已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0，短轴长为，且经过点.过左焦点 的直线交于两点，过点与垂直的直线交于两点，其中在轴上方，分别为的中点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)证明:直线过定点，并求定点坐标；
(3)设为直线与直线BD的交点，求面积的最小值.
答案
1．【正确答案】B
【详解】,
故选：B.
2．【正确答案】A
【详解】由得，即，
所以点到直线 的距离为，
故选：A．
3．【正确答案】C
【详解】不超过9的质数有共4个，任取两个求和有：，，，，，共6个，
其中和为偶数的有3个：，，，
和为偶数的概率为，
故选：C．
4．【正确答案】D
【详解】由题意，
在中，，
则AF22+AF12=F1F22，
即，
整理得，
所以的离心率.
故选：D.
5．【正确答案】B
【详解】由题设，底面的外接圆半径，
又平面，且，则三棱锥的外接球半径，
所以外接球表面积为.
故选：B
6．【正确答案】B
【详解】设Mx,y，则，
整理可得：，
点轨迹是以C0,1为圆心，半径的圆，
，
当时，，
.
故选：B.
7．【正确答案】C
【详解】∵，∴，
，
故选：C．
8．【正确答案】B
【详解】因为，由正弦定理可得，
由题设，所以，即，
而，则，显然恒成立，
所以，可得.
故选：B
9．【正确答案】AD
【详解】A：数据从小到大为，显然中位数为2，对；
B：由，则，错；
C：由且互斥时，互为对立事件，错；
D：由题设且也是相互独立，故，对.
故选：AD
10．【正确答案】ACD
【详解】如图，设交于点，
平面，平面，则，同理，
又，，平面，
所以平面，而平面，所以，
所以是二面角的平面角，
由已知，，
所以，A正确；
由正方体性质知，B错；
如图，设交于点，由且得，
即，，
由平面，平面，得，同理可得，
而，平面，所以平面，
（易得实际上等边是的中心）
以点为球心作一个半径为的球，则该球被平面所截的圆面，
为圆心，设是圆周上一点，则，
圆面积为，C正确；
延长至点，使得，则，即是关于平面的对称点，
因此，当且仅当是与平面的交点时，等号成立，
以为原点， 轴建立空间直角坐标系，如上图，
则，，，∴，
，D正确．
故选：ACD．
11．【正确答案】ACD
【详解】由椭圆中，圆中圆心，半径为1，如下图示，
A：由于，由图知：当时椭圆C和圆M没有交点，
此时离心率，对；
B：当时，令，则，而，
所以，又，故，
所以的最大值为，错；
C：由，若，则，
由，令，且，
则，即，
所以，则，且，故，对；
D：令，若，所以，
则，所以，
轨迹是圆心为，半径为的圆，
而与的距离为，要使点Q存在，
则，可得，且，即，对；
故选：ACD
12．【正确答案】3
【详解】由已知，，通径长为，
则 AB 的最小值．
故3.
13．【正确答案】
【详解】依题意，，在平面直角坐标系中，令，设，
则，由，得，
整理得，点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆，
是该圆上的点到原点的距离，又原点在该圆上，
所以的最大值等于.
故
14．【正确答案】
【详解】设和之间的距离为，球的半径为，
由题意，解得，所以，
则，所以，
由共线，则存在实数使且，
所以，
即，整理得，可得，
所以，即，所以，
又且与之间的距离为，
则，故，
所以，且，
在中，.
故
15．【正确答案】(1)
(2)9
【详解】（1）由条件可知，，，得，，
所以双曲线方程为：；
（2）∵是双曲线的左焦点，
∴，，，，
设双曲线的右焦点为，则，
由双曲线的定义可得，则，
所以，

当且仅当三点共线时，等号成立，
因此，的最小值为9
16．【正确答案】(1)；
(2).
【详解】（1）因为直线与直线平行，直线的方程为，
故可设直线的方程为，
因为点在直线上，
所以，
所以，
所以直线的方程为；
（2）设点关于直线的对称点为．
由题意得，
解得，所以点的坐标为，
所以反射光线所在直线方程为，即．

17．【正确答案】(1)；
(2).
【详解】（1）由，即，
设直线，即该直线与圆有公共点，
圆心到直线的距离小于等于半径，即，
解得，则．
（2）设的坐标分别为x1,y1，x2,y2，
将直线代入，整理，得，
则，，且，即，
当为锐角时，
，解得，又，
综上，可得的取值范围为．
18．【正确答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【详解】（1）.的中点为，则.
.
，则，
故，即.
因为，，平面，平面，
所以平面.
（2）因为，所以.
而，
所以，解得.
（3）过作轴垂直平面，以方向分别为
则，
，
设平面法向量为
由得，
所以为平面的一个法向量，
设与平面所成角为，


所以
所以直线与平面所成角的正弦值的最大值为．
19．【正确答案】(1)；
(2)证明见解析，定点；
(3).
【详解】（1）由题设，，可得，故.
（2）由点B，D在x轴上方，直线l斜率存在且不为0，
设直线，联立椭圆，消去得，
由韦达定理得，且，
则中点，由，则代替m，得，
所以，故，
化简得，则过定点．
当时，取，，则过定点；
当时，取，，则过定点；
综上，直线MN过定点．
（3）由点M，N分别为AB，DE的中点，
由
，
由（2）知，
以代替m，得，
所以，
当且仅当，即时，．