湖北省武汉市2025_2026学年高一数学上学期期末检测试题含解析

这是一份湖北省武汉市2025_2026学年高一数学上学期期末检测试题含解析，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
本试卷共 4 页，19 题．全卷满分 150 分，考试用时 120 分钟．请将答案填涂在答题卡上．
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求出集合 ，再利用交集的概念和运算法则计算求解．
【详解】 ，解得 ，
，
，故 B 正确．
故选：B．
2. 函数 的部分图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用排除法，根据函数奇偶性和值域分析判断即可.
【详解】因为函数 的定义域为 ，且 ，
可知函数 为偶函数，其图象关于 y 轴对称，故 BC 错误；
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又因为 ，则 ，故 D 错误；
故选：A.
3. 已知 ，则“ ”是“ ”的（ ）．
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据同角三角函数的基本关系，结合充分条件必要条件的判定即可判断.
【详解】 ，所以充分性成立，
反过来， ， 满足 ，但 ，故必要性不成立．
故选：A.
4. 函数 的单调递增区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据对数函数的单调性和二次函数的单调性计算即可.
【详解】由题得 ，解得 ．因为 在定义域内单调递减，
所以当函数 在定义域内单调递减时，函数 单调递增，
在定义域内，函数 的单调递减区间为 ，
故函数 的单调递增区间是 ．
故选：D．
5. 已知幂函数 的图象经过点 ，则函数 的零点所在区间是（ ）
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A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】判断函数的单调性，结合零点存在定理求得结果.
【详解】设幂函数 ，则由题意得 ，解得 ，
所以 ．易知，函数 的定义域为 ．
因为 是增函数， 是增函数，所以函数 是 上的增函数．
所以 至多有一个零点，
又 ，
所以函数 只有一个零点在区间 内．
故选：B．
6. 若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用两角差的正切公式，可得 ，再利用二倍角的正切公式，即得解
【详解】∵ ，
∴ ，可得 ，
∴
故选：A
7. 已知函数 ，记 ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据偶函数的性质、对数函数和指数函数的性质比较大小即可.
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【详解】因为函数 ，定义域为 ，而且 ，
所以 为偶函数，所以 ．
由指数函数与对数函数的性质可得， ，且 ．
所以可得 .
因为 时， 在 上单调递增，
所以 ，所以 ．
故选：C
8. 设函数 ，若不等式 对 恒成立，则实数 的值为（ ）
A. B. 1 C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】求出 时 的范围，根据不等式 对 恒成立得到 a 的一个范围；求出
时 的范围，再次求出 a 的范围，取交集即可求出 a 的值．
【详解】当 ， ，
若不等式 ， 恒成立，则 ①；
当 ， ，对称轴为 ，
当 时， 单调递减， 单调递增，
∴ ，
则 ，解得 ②；
综合①②得 ．
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故选：A．
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9. 若某扇形的周长为 18，面积为 20，则该扇形的半径可能为（ ）
A. 2 B. 4 C. 5 D. 10
【答案】BC
【解析】
【分析】根据扇形的周长公式 和面积公式 求解即可.
【详解】设该扇形的半径为 ，弧长为 ，则 ，解得 或 5.
故选：BC
10. 函数 的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是
（ ）
A. 的图象可由 的图象向左平移 个单位长度得到
B. 在区间 上单调递增
C. 的图象关于直线 对称
D. 关于 的不等式 的解集为
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据给定的函数图象，结合“五点法”作图求出函数解析式，再根据正弦函数的单调性、对称性，结
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合三角函数图象的平移变换，逐项判断作答.
【详解】由图象得 ， ，即 ，而 ，则 ，
，又 ，则 ，
解得 ，函数 的最小正周期 ，由图象知 ，
则 ， ， ，
对于 A， 图象向左平移 个单位得到 的图象，A 正确；
对于 B，当 时， ，函数 在 上单调递增，B 正确；
对于 C， ， 的图象关于直线 对称，C 正确；
对于 D，由 ，得 ，则 ，
解得 ，D 错误.
故选：ABC
11. 已 知 函 数 的 定 义 域 为 ， 当 时 ， ， 且 对 任 意 实 数 均
，则（ ）
A. B. 的图象关于点 对称
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于 A，利用赋值法求解即可.对于 B，令 ，证 即可.对于 C，根据 B
可知 求解即可证.对于 D，利用函数单调性求解即可.
【详解】对于 A，令 ，得 ，
整理得 ，解得 或 ，
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再取 ，得 ，
若 ，则 ，解得 ，则 与条件中“当 时， ”矛盾，
故 ，所以 ，故 A 正确.
对于 B，令 ，得 ，
代入 ，整理得 ，
所以 的图象关于点 对称，故 B 正确.
对于 C，由 可知，
，
因为 ，所以 ，故 C 错误．
对于 D 选项，下面证明 在 上单调递增，
条件 ，
可变形 ．
令 ，则有 ，因为当 时， ，
所以当 时， ， 的图象关于点 对称，
故当 时， ，故 在 上恒成立，
，
有 ，
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故 ，
又因为 恒正，所以 ，
从而 在 上单调递增，
，
故 .
故 D 正确．
故选：ABD．
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 已知 ，则 ________.
【答案】3
【解析】
【分析】根据三角函数 基本关系式，结合“齐次式”的运算，即可求解.
【详解】因为 ，则 .
故答案为：3.
13. 当阳光射入海水后，海水中的光照强度随着深度增加而减弱，可用 表示其总衰减规律，其
中 是消光系数， （单位：米）是海水深度， （单位：坎德拉）和 （单位：坎德拉）分别表示在
深度 处和海面的光强.已知某海域 5 米深处的光强是海面光强的 ，则该海域消光系数的值约为
_____________.（精确到 0.01， ）
【答案】 ##
【解析】
【分析】将已知代入函数关系，利用对数运算求解可得.
【详解】由题知，当 时， ，
代入 得 ，即 ，
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所以 ，即 .
故答案为：
14. 已知函数 的定义域是 ，满足 且 ，
若存在实数 k，使函数 在区间 上恰好有 2021 个零点，则实数 a 的取值范围为____
【答案】
【解析】
【分析】方程 在 上恰有 2021 个零点，等价于存在 ，使 在
上恰有 2021 个交点，作出函数 的图像，数形结合，再根据函数周期性的应用，使每个交
点都处在 之间才能取到 2021 个点，代入条件求得参数取值范围.
【详解】由函数在 上的解析式作出如图所示图像，
由 知，函数 是以 4 为周期，且每个周期上下平移|a|个单位的一个函数，
若使 时，存在 ，方程 在 上恰有 2021 个零点，等价于
在 上恰有 2021 个交点，如图所示，知在每个周期都有 4 个交点，即 时满
足条件，且必须每个周期内均应使 处在极大值和极小值之间，才能保证恰有 2021 个交点，
则当 时，需使最后一个完整周期 中的极小值 ，
即 ，解得 ，即
当 时，需使最后一个极大值 ，
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即 ，解得 ，即 ，
综上所述，
故答案为：
【点睛】方法点睛：作出函数图像，数形结合将问题转化为函数交点问题，根据边界条件列出不等式组，
从而求得参数取值范围.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数 是定义在 上的奇函数．
（1）求 的值；
（2）判断 的单调性并用定义证明．
【答案】（1）
（2）在 上单调递增，证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用函数是奇函数，建立方程关系解出 ；
（2）利用定义法证明函数的单调性．
【小问 1 详解】
∵ 为定义在 上的奇函数，
∴ ，∴ ；
当 时， ，∴ ，满足 为定义在 上的奇函数综
上所述： ．
【小问 2 详解】
在 上单调递增，证明如下：
任取 ，则 ，
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∵ ，又函数 在 上为增函数，∴
所以 ，∴
所以 在 上单调递增．
16. （1）已知正实数 满足 ，求 的最小值；
（2）已知 ，且 ，求 的值．
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】（1）根据基本不等式的性质计算即可.
（2）根据已知条件求出 和 的值，进而根据和差角与倍角的余弦公式计算即可.
【详解】（1）由题： ，且 ，
∴ ；
由基本不等式 ．
故得： ．当且仅当 时等号成立．
∴ 的最小值为： ．
（2）由题可得：∵ ，∴ ，
又∵ ，∴ ，
∴ ；
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∵ ，∴ ，
又 ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
17. 已知函数 ，且 ．
（1）当 时，求 的最小正周期；
（2）若 在区间 上单调递增，求 的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）应用二倍角正弦余弦公式及辅助角公式化简，再应用周期公式计算；
（2）根据正弦函数的单调增区间计算得 ，再应用集合间关系列式计算求参数.
【小问 1 详解】
由题可得： ．
所以当 时， ，故其最小正周期为 ．
【小问 2 详解】
由题可得 ，其单调递增区间需满足 ．
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解得 ，
取 得到一个包含端点 0 的单调递增区间 ．
根据题意，区间 需包含于某个单调递增区间内，即需要满足 ，
于是可得 ，解得 ，即 的范围为 ．
18. 已知函数 ．
（1）若 ，
（i）求 的值；
（ii）解关于 的不等式 ．
（2）若函数 ，当 时，对 ， 使得
成立，求 的取值范围．
【答案】（1）（i） ；（ii） ；
（2） ．
【解析】
【分析】（1）(i)根据 列出方程，再求解，最后验证解得的 是否符合题意；
(ii)根据对数函数的单调性可得 ，再解分式不等式即可；
（2）由 得到 ，设 ，由 的范围得到 的值域
，设 ，由 求出 的值域 ，由对 ，函数
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在区间 内总存在 使得 成立，得到 ，利用子
集的定义列出关于 的不等式组，计算得解.
小问 1 详解】
（i）∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，整理得 ，解得 或 .
当 不满足真数大于 0，即 不成立，故 ；
（ii）∵ ，∴ ，
由 ，可得 ，
由 ，解得 ；
由 ，得 ，得 或 ，
综上，取交集得 ，即解集为 ．
【小问 2 详解】
，
，
， ，
，
，
得 ，
，
设 ， ， ， 的值域为 ，
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设 ，
其对称轴为 ，∵ ，∴ 在 处取最大值为 ，
又因为 ，
的值域为 ，
∵对任意的 ，
函数 在区间 内总存在 使得 成立，
， ，
，得 ，即 ，
∴实数 的取值范围为 ．
19. 对于定义域为 的函数 ，若存在正常数 ，使得 是以 为周期的函数，即
，则称 为“正弦周期函数”，且称 为其“正弦周期”．
（1）判断 是否是以 为周期的正弦周期函数，并说明理由；
（2）函数 是否存在最小正周期？若存在，求出其最小正周期并证明；若不存在，请
说明理由；
（3）设函数 是定义在 上的增函数，值域为 ，且 是以 为正弦周期的正弦周期函数．若
，且存在 ，使得 ，求 的值．
【答案】（1）是，理由见解析
（2）存在， ，证明见解析
（3） ．
【解析】
【分析】（1）根据正弦周期函数的定义，判断 ；
（2）先找出函数 的一个周期，再证明该周期是最小正周期；
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（3）根据正弦周期函数的性质以及函数的单调性，结合已知条件求出 的值.
小问 1 详解】
，
所以 是以 为周期的正弦周期函数．
【小问 2 详解】
，易知 是它的一个周期，
因为 ，
下面证明 是 的最小正周期，
时， 是增函数， 时， 是减函数，
又 ，
，
所以 ，即函数图象关于直线 对称，
所以当 时， 不可能是函数 的周期，
假设函数有小于 的正周期，则 ，取 ，
与 时，函数的单调性相同，但 ，
而 在这两个区间上单调性相反，假设错误．所以 是 的最小正周期．
【小问 3 详解】
因为 是周期函数，设 是它的一个周期，
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，又由题意 ，
因为 ， 是递增函数，
所以 ，又 时， ，
， ，
因为 是递增函数，所以集合 与 是一一对
应的，
又因为 ，因此 ．