2025--2026学年河南郑州市明德中学高一下册期中考试数学试题 [含解析]

这是一份2025--2026学年河南郑州市明德中学高一下册期中考试数学试题 [含解析]，共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
1. 已知复数，则的虚部为（ ）
A. 3B. C. D.
2. 在中，若点满足，则( )
A. B.
C. D.
3. 设i为虚数单位，若，则（ ）
A. 1B. C. 2D.
4. 将一个直角梯形绕其较短的底边所在的直线旋转一周得到一个几何体，该几何体是（ ）
A. 一个圆台B. 一个圆柱
C. 一个圆柱和一个圆锥的简单组合体D. 一个圆柱被挖去一个圆锥后所剩的几何体
5. 在中，，则的形状是（ ）
A. 等腰三角形B. 等边三角形
C. 直角三角形D. 等腰直角三角形
6. 已知向量，，.若、、三点共线，则（ ）
A. B. C. D.
7. 设的内角的对边分别为，若，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
8. 圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美.某同学为了估算索菲亚教堂的高度，在教堂的正东方找到一座建筑物，高为，在它们之间的地面上的点（，，三点共线）处测得楼顶、教堂塔尖的仰角分别是和，在楼顶处测得教堂塔尖的仰角为，则该同学计算索菲亚教堂的高度为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分）
9. 已知向量，，下列结论正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则在上投影向量的模为D. 若，则
10. 如图，向量，对应的复数分别为，，则下列选项正确的是（ ）
A. ，间的距离为B. 为纯虚数
C. 在复平面内对应的点位于第一象限D. 在复平面内对应的点位于第四象限
11. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是( ).
A. 若，则
B. 若，则为锐角三角形
C. 若，则为等腰三角形
D. 若，，这样的三角形有两解，则的取值范围为
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知是夹角为的两个单位向量，若，则实数___________．
13. 如图所示，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形，若，那么原三角形的周长是__________.
14. 平行四边形中，，点在边CD上（包括点和点），则的取值范围是__________．
四、解答题（本题共5小题，共77分）
15. 已知夹角为的向量满足．
（1）求的值；
（2）求向量与的夹角．
16. 在中，内角所对的边分别为；
（1）若，求；
（2）若，解三角形；
17. 已知复数（为虚数单位），求适合下列条件的实数的值；
（1）为实数；
（2）为虚数；
（3）为纯虚数．
（4）若z在复平面内对应的点在第二象限，求的取值范围．
18. 在中，内角所对的边分别为，且满足.
（1）求角；
（2）已知，，
（ⅰ）求的周长；
（ⅱ）点在上，满足，连接，作于，求线段的长度.
19. 如图，设、是平面内相交成的两条射线，，分别为、同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记．

（1）在－仿射坐标系中，若，求；
（2）如图所示，在－仿射坐标系中，、分别在轴、轴正半轴上，，，、分别为、中点，求的最大值．
数学
满分150分 考试时间120分钟
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
1. 已知复数，则的虚部为（ ）
A. 3B. C. D.
答案：C
解析：
解答过程：因为，
所以，则的虚部为.
2. 在中，若点满足，则( )
A. B.
C. D.
答案：D
解析：
思路：根据平面向量的线性运算可求出结果.
解答过程：由，得，
得，得.
故选：D．
3. 设i为虚数单位，若，则（ ）
A. 1B. C. 2D.
答案：A
解析：
思路：根据复数的除法运算和复数模的计算公式即可求得.
解答过程：，
所以.
故选：A.
4. 将一个直角梯形绕其较短的底边所在的直线旋转一周得到一个几何体，该几何体是（ ）
A. 一个圆台B. 一个圆柱
C. 一个圆柱和一个圆锥的简单组合体D. 一个圆柱被挖去一个圆锥后所剩的几何体
答案：D
解析：
思路：根据旋转体的概念，结合空间想象能力，可得问题的答案.
解答过程：绕直角梯形较短的底边所在的直线旋转一周，得到的几何体是一个圆柱中挖去一个圆锥.
故选：D
5. 在中，，则的形状是（ ）
A. 等腰三角形B. 等边三角形
C. 直角三角形D. 等腰直角三角形
答案：C
解析：
思路：由，所以，即，判断的形状．
解答过程：因为，所以，
所以，所以，即，
所以的形状是直角三角形．
故选：C．
6. 已知向量，，.若、、三点共线，则（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：求出向量，由题意可得，利用平面向量共线的坐标表示可得出关于的等式，解之即可.
解答过程：因为向量，，，
所以，，
因为、、三点共线，则，所以，，解得.
故选：C.
7. 设的内角的对边分别为，若，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：由余弦定理求得，再由正弦定理及三角形面积公式即可求解.
解答过程：因为，
所以由余弦定理可得，解得，
因为为三角形内角，所以．
又，
由正弦定理可得，
所以的面积．
8. 圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美.某同学为了估算索菲亚教堂的高度，在教堂的正东方找到一座建筑物，高为，在它们之间的地面上的点（，，三点共线）处测得楼顶、教堂塔尖的仰角分别是和，在楼顶处测得教堂塔尖的仰角为，则该同学计算索菲亚教堂的高度为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：先求得，然后利用正弦定理求得，从而求得.
解答过程：在中，，，
故，，
在中，，，
，
由正弦定理得，，
所以.
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分）
9. 已知向量，，下列结论正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则在上投影向量的模为D. 若，则
答案：ACD
解析：
思路：根据共线，垂直以及模长公式的坐标公式，即可结合选项逐一求解.
解答过程：对于A选项，当时，，故A选项正确；
对于B选项，当时，，故B选项不正确；
对于C选项，若，在上的投影向量为，
于是在上的投影向量的模为，故C选项正确；
对于D选项，若，则，所以，所以D选项正确．
10. 如图，向量，对应的复数分别为，，则下列选项正确的是（ ）
A. ，间的距离为B. 为纯虚数
C. 在复平面内对应的点位于第一象限D. 在复平面内对应的点位于第四象限
答案：ABD
解析：
思路：对A：数形结合求得，再求模长即可；对B：根据复数的除法运算化简，即可判断；对CD：根据复数乘法运算求得，再写出其对应的点，即可判断.
解答过程：对A：由图可知，，，因为，
所以，故A正确；
对B：因为，为纯虚数，所以B正确；
对CD：因为，所以在复平面内对应的点为，
其位于第四象限，故C不正确，D正确．
故选：ABD.
11. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是( ).
A. 若，则
B. 若，则为锐角三角形
C. 若，则为等腰三角形
D. 若，，这样的三角形有两解，则的取值范围为
答案：AD
解析：
思路：利用正弦定理判断A、D，利用余弦定理判断B，利用正弦定理将边化角，再由二倍角公式判断C.
解答过程：对于A，因为，由正弦定理可得，所以，故A正确；
对于B，由余弦定理，可知为锐角，
但是无法判断角A和角B是否为锐角，所以无法判断是否为锐角三角形，故B错误；
对于C，因为，所以，即，
又，所以，所以或，
即或，即为等腰三角形或直角三角形，故C错误；
对于D，因为三角形有两解，所以，即，即的取值范围为，故D正确.
故选：AD.
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知是夹角为的两个单位向量，若，则实数___________．
答案：4
解析：
思路：根据给定条件，利用数量积的运算律及数量积定义求解即得.
解答过程：由是夹角为的两个单位向量，得，
由，得，即，所以.
故4
13. 如图所示，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形，若，那么原三角形的周长是__________.
答案：
解析：
思路：根据斜二测画法，与轴平行的线段在直观图中与轴平行，长度不变；与轴平行的线段在直观图中与轴平行，长度减半，分别求出，，的长度，即可求出原三角形的周长.
解答过程：在中，，
根据直观图画出原图如下：
则，，
在中，，
所以原三角形的周长是.
14. 平行四边形中，，点在边CD上（包括点和点），则的取值范围是__________．
答案：
解析：
思路：设，以为基底表示出，根据向量数量积的运算律可将化为关于的二次函数的形式，由二次函数值域求法可求得结果.
解答过程：设，
，，
=4+42λ−1−16λ1−λ=16λ2−8λ=16λ−142−1 ，
当时，；当时，；
的取值范围为.
四、解答题（本题共5小题，共77分）
15. 已知夹角为的向量满足．
（1）求的值；
（2）求向量与的夹角．
答案：（1）；
（2）.
解析：
思路：（1）由数量积的定义及运算律即可求解；
（2）由向量的夹角公式即可求解.
（1）因为，，，
所以
.
（2），
所以.
又因为，则.
16. 在中，内角所对的边分别为；
（1）若，求；
（2）若，解三角形；
答案：（1）；
（2），，；或，，.
解析：
思路：（1）利用余弦定理即可得到答案；
（2）利用正弦定理和两角和与差的正弦公式即可得到答案.
（1）在中，， ， ，
由余弦定理得，，
所以.
（2）在中，， ， ，
由正弦定理得，，即，解得，
由，得，则或，
当时，，
而，
则由正弦定理得，即，则；
当时，，
而，
则由正弦定理得，即，则；
综上所述，，，；
或，，.
17. 已知复数（为虚数单位），求适合下列条件的实数的值；
（1）为实数；
（2）为虚数；
（3）为纯虚数．
（4）若z在复平面内对应的点在第二象限，求的取值范围．
答案：（1）或；
（2）且；
（3） （4）
解析：
思路：（1）根据虚部为0得到方程，求解即可；
（2）根据虚部不为0得到方程，解出即可；
（3）根据实部为0，虚部不为0得到方程，求解即可；
（4）根据复数与对应点关系得到不等式组，解出即可.
（1）当为实数时，，解得或；
（2）当为虚数时，，解得且；
（3）当为纯虚数时，，解得.
（4）由题意得，解得.
18. 在中，内角所对的边分别为，且满足.
（1）求角；
（2）已知，，
（ⅰ）求的周长；
（ⅱ）点在上，满足，连接，作于，求线段的长度.
答案：（1）
（2）（ⅰ）（ⅱ）
解析：
思路：（1）利用正弦定理边化角，再利用两角和公式化简即可求角；
（2） （ⅰ）用余弦定理求边，即可求出周长，（ⅱ）再利用正弦定理求角，即可解直角三角形求边.
（1）根据正弦定理，将边化角可得： ，
又因为，
又因为在中，，所以，
即，又因为，，
，即 ；
（2）因为，
，整理得，解得或（舍去），
因此周长为；
已知，，故，
由正弦定理 ，
因为，为直角三角形，故，
可得.
19. 如图，设、是平面内相交成的两条射线，，分别为、同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记．

（1）在－仿射坐标系中，若，求；
（2）如图所示，在－仿射坐标系中，、分别在轴、轴正半轴上，，，、分别为、中点，求的最大值．
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）由坐标系新定义和向量的数量积以及模长的计算求解即可；
（2）由坐标系新定义和中点坐标公式以及向量的数量积求出，再由余弦定理和正弦定理边化角以及降幂公式，辅助角公式化简可得.
（1）由题意知，，，
，，
，．
（2）设，且，，
，
为的中点，，
为中点，同理得，
，
，，
，
中，，，
代入上式得，
中，由正弦定理得，
设，则，，，
，
其中且，，，
当时，，．