2025--2026学年黑龙江佳木斯市桦南县第一中学高一下册期中考数学试题 [含解析]

这是一份2025--2026学年黑龙江佳木斯市桦南县第一中学高一下册期中考数学试题 [含解析]，共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 如图四个几何体中是棱锥的选项是（ ）
A. B.
C. D.
2. 复数的实部与虚部的和是（ ）
A. B. C. 0D. 2
3. 下列叙述正确的是（ ）
A. 以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱
B. 以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥
C. 以直角梯形的一腰所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆台
D. 半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球
4. 在中，，则边的长为（ ）
A. B. C. D. 1
5. 在中，若，，则形状为（ ）
A. 等边三角形B. 等腰但不等边三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形
6. 设点是面积为4的内部一点，且有，则的面积为（ ）
A. 1B. C. D.
7. 如图所示，一半径为4米的水轮，水轮圆心距离水面2米，已知水轮每60秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点从水中浮现时（图中点）开始计时，则下列说法错误的是（ ）

A. 点距离水面的高度（米）与时间（秒）之间的函数解析式为
B. 点第一次到达最高点需要20秒
C. 当水轮转动155秒时，点距离水面1米
D. 当水轮转动50秒时，点在水面下方，距离水面2米
8. 如图，扇形中，点是上一点，且.若，则的最大值为（ ）

A. B. C. D. 1
二、多选题：(本题共3小题，每小题6分，共18分 . 在每小题给出的选项中，有多 项符合题目要求 . 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9. （多选）下列说法正确的是（ ）
A. 相等的角在直观图中对应的角仍然相等
B. 相等的线段在直观图中对应的线段仍然相等
C. 线段的中点在直观图中仍然是线段的中点
D. 直角梯形的直观图可能是等腰梯形
10. 已知复数（i为虚数单位），则（ ）
A. 的虚部为B. 的共轭复数为
C. D. 在复平面内对应的点位于第四象限
11. 的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，，，则有两解
C. 若，，则面积的最大值为
D. 若为钝角三角形，则
第II卷（非选择题共 9 2 分）
三、填空题
12. 已知向量满足a=1，b=1，a+b=3，则与的夹角大小为_______.
13. 在中，若则______．
14. 如图，是函数（，，）图象的一部分，函数在区间上有且仅有两个零点，实数的取值范围________．
四、解答题 ( 本大题共5小题 ，共计77分)
15. 设复数，对应的点满足下列关系，求的范围或取值.
（1）点在第二象限；
（2）点在直线上.
16. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，再从①；②的面积为这两个条件中选择一个作为已知条件，并解答下列问题.
（1）求a的值；
（2）求的值.
17. 如图，某建筑物顶部有一旗杆，且点A、B、C在同一条直线上，小明在地面D处观测旗杆顶端B的仰角为30°，然后他正对建筑物的方向前进了20米到达地面的E处，又测得旗杆顶端B的仰角为60°，已知建筑物的高度为12米.
（1）求点E到建筑物的距离；
（2）求旗杆的高度.（保留1位小数）
18. 已知函数．
（1）求函数的最小正周期及单调递增区间；
（2）在锐角中，设角所对的边分别是，若且，求周长的取值范围．
19. 在中，内角所对的边分别为，已知.
（1）求；
（2）若，，的平分线交于点，求线段的长；
（3）若是锐角三角形，且，求面积的取值范围.
数学
一、单选题：(本题共8小题，每小题5分，共40分 . 在每小题给出的四个选项中， 只有 一 项是符合题目要求)
1. 如图四个几何体中是棱锥的选项是（ ）
A. B.
C. D.
答案：D
解析：
思路：利用棱锥的定义判断选项即可．
解答过程：因为有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面围成的几何体叫做棱锥．所以中几何体为棱锥，
故选：．
2. 复数的实部与虚部的和是（ ）
A. B. C. 0D. 2
答案：C
解析：
解答过程：因为复数的实部为1，虚部为，所以实部与虚部的和是.
3. 下列叙述正确的是（ ）
A. 以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱
B. 以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥
C. 以直角梯形的一腰所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆台
D. 半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球
答案：A
解析：
思路：由旋转体的定义逐一判断各个选项即可得解.
解答过程：对于A，以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱，故A正确；
对于B，如果以直角三角形的斜边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体是两个同底的圆锥的组合体，故B错误；
对于C，如果以直角梯形的非高所在的腰所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体不是圆台是一个组合体，故C错误；
对于D，半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，故D错误.
故选：A.
4. 在中，，则边的长为（ ）
A. B. C. D. 1
答案：B
解析：
思路：先求出角，再利用正弦定理即可求得结论.
解答过程：因，则，
由正弦定理，，则.
故选：B.
5. 在中，若，，则形状为（ ）
A. 等边三角形B. 等腰但不等边三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形
答案：A
解析：
解答过程：因为，且，所以.
因为，由正弦定理得，
因为sinB>0 ，所以.
因为，所以，所以.
故为等边三角形．
6. 设点是面积为4的内部一点，且有，则的面积为（ ）
A. 1B. C. D.
答案：C
解析：
思路：由，确定点位置，将面积问题转化成边长之比，进而可求解.
解答过程：如图，，，
设，则，故点，，三点共线，
，．

故选：C
7. 如图所示，一半径为4米的水轮，水轮圆心距离水面2米，已知水轮每60秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点从水中浮现时（图中点）开始计时，则下列说法错误的是（ ）

A. 点距离水面的高度（米）与时间（秒）之间的函数解析式为
B. 点第一次到达最高点需要20秒
C. 当水轮转动155秒时，点距离水面1米
D. 当水轮转动50秒时，点在水面下方，距离水面2米
答案：C
解析：
思路：根据题意求出点距离水面的高度（米）与时间（秒）之间的函数解析式为，结合选项依次判断即可.
解答过程：设点距离水面的高度为（米）与时间（秒）之间的函数解析式为，，
由题意，，
所以，解得，
因为，所以，
则，
当时，，所以，则，
又，则，
综上，，故A正确；
令，则，
令，得秒，故B正确；
当秒时，米，故C错误；
当秒时，米，故D正确.
故选：C.
8. 如图，扇形中，点是上一点，且.若，则的最大值为（ ）

A. B. C. D. 1
答案：A
解析：
思路：由平面向量的数量积运算，结合两角和的正弦公式，求三角函数的最值即可．
解答过程：由题意，建立如图所示的坐标系，设扇形半径为，
由，可得，，
设，，
由，可得，，，
所以，整理得：，
则，其中，
所以当时，有最大值．
故选：A．

二、多选题：(本题共3小题，每小题6分，共18分 . 在每小题给出的选项中，有多 项符合题目要求 . 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9. （多选）下列说法正确的是（ ）
A. 相等的角在直观图中对应的角仍然相等
B. 相等的线段在直观图中对应的线段仍然相等
C. 线段的中点在直观图中仍然是线段的中点
D. 直角梯形的直观图可能是等腰梯形
答案：CD
解析：
思路：根据斜二测画法的规则判断即可.
解答过程：在斜二测画法中，平行性不变，但线段的长度、角的大小都可能改变，A，B错误，
但线段上点的相对位置不变，直角梯形的直观图可能是等腰梯形，C，D正确．
故选：CD.
10. 已知复数（i为虚数单位），则（ ）
A. 的虚部为B. 的共轭复数为
C. D. 在复平面内对应的点位于第四象限
答案：AC
解析：
解答过程：，
A：的虚部为，正确.
B：的共轭复数为，错误.
C：，正确.
D：在复平面内对应的点为，位于第一象限，错误.
11. 的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，，，则有两解
C. 若，，则面积的最大值为
D. 若为钝角三角形，则
答案：ABC
解析：
解答过程：对于A，若，则，
根据正弦定理（是外接圆半径），
可得，
所以，即，A正确；
对于B，由正弦定理，
代入得，
因为，且，（即），
所以可以是锐角或钝角，两种情况均符合三角形内角和为，
所以有两解，B正确；
对于C，由余弦定理得，，
所以，
由基本不等式得，，
则，即，
当且仅当时，等号成立，
所以面积，C正确；
对于D，若为钝角，则由余弦定理得，，
所以，即，D错误.
第II卷（非选择题共 9 2 分）
三、填空题
12. 已知向量满足，则与的夹角大小为_______.
答案：##60°
解析：
解答过程：设与的夹角为，向量夹角范围为
将∣a+b∣=3两边平方得： ∣a+b∣2=(a+b)2=∣a∣2+2a⋅b+∣b∣2
即 (3)2=12+2⋅1⋅1⋅cs⁡θ+12，
所以，
又，所以.
13. 在中，若则______．
答案：
解析：
解答过程：设，，c=2k(k>0)
因为，所以a2+b2=k2+(3k)2=4k2=c2，因此是直角三角形，
对，由正弦定理得sin⁡A=asinCc=k2k=12
因为是三角形内角，且为锐角，因此∠A=30∘=π6
14. 如图，是函数（，，）图象的一部分，函数在区间上有且仅有两个零点，实数的取值范围________．
答案：
解析：
思路：根据函数图像求出的表达式，再令，将原题干中的零点问题转化为方程的实根问题，最后再根据该方程的实根分布求出题中的范围．
解答过程：由图可得，函数的最小正周期为，
则，所以，因为，
则，因为，所以，解得，
所以，令，，则，
因为函数在区间上有且仅有两个零点，
所以方程在有且仅有两个实根，
令，得或，，
所以方程的正根从小到大排列分别是，，，…，
所以，解得．
四、解答题 ( 本大题共5小题 ，共计77分)
15. 设复数，对应的点满足下列关系，求的范围或取值.
（1）点在第二象限；
（2）点在直线上.
答案：（1）
（2）或
解析：
思路：（1）根据复数对应的点坐标在第二象限解不等式可得结果；
（2）由点在直线上解方程，可得或.
（1）复数对应的点坐标为，
如满足点在第二象限，则须有
解得.
（2）如点在上，
则有，即或.
16. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，再从①；②的面积为这两个条件中选择一个作为已知条件，并解答下列问题.
（1）求a的值；
（2）求的值.
答案：（1）选择条件①或②，都有
（2）解析：
思路：（1）选条件①利用正弦定理，角化边，结合，算出边长b，c，再用余弦定理即可;
选条件②利用三角形面积公式，结合，算出边长b，c，再用余弦定理即可;
（2）根据三边长求出，然后利用同角三角函数的基本关系即可.
（1）选条件①.
因为，所以，
联立，解得.
由余弦定理，得，
所以.
选条件②.
因为，，
所以.
因为的面积为，
所以，所以.
联立，解得或（舍去）.
由余弦定理，得，
所以.
（2）由余弦定理及（1），得，
因为，所以，
所以.
17. 如图，某建筑物顶部有一旗杆，且点A、B、C在同一条直线上，小明在地面D处观测旗杆顶端B的仰角为30°，然后他正对建筑物的方向前进了20米到达地面的E处，又测得旗杆顶端B的仰角为60°，已知建筑物的高度为12米.
（1）求点E到建筑物的距离；
（2）求旗杆的高度.（保留1位小数）
答案：（1）10米.
（2）5.3米.
解析：
思路：（1）通过等边对等角得到，再解直角三角形即可得解；
（2）通过锐角三角函数得出，再减去即可得解.
（1）∵，，
∴，米，
∴米，
∴点E到建筑物的距离是10米.
（2）在中，
（米），
∴（米），
∴旗杆的高度为5.3米.
18. 已知函数．
（1）求函数的最小正周期及单调递增区间；
（2）在锐角中，设角所对的边分别是，若且，求周长的取值范围．
答案：（1）最小正周期为，，
（2）解析：
思路：（1）化简函数，结合三角函数的图象与性质，即可求解；
（2）由（1）及，求得，根据正弦定理得到，，得到，结合，即可求解.
（1）由题意，函数，
所以函数的最小正周期为，
令，解得，
所以函数的单调递增区间是，.
（2）由（1）可得，因为，可得，
由正弦定理可知，所以，，
由及为锐角三角形，解得，
则
.
因为，可得，所以，
所以，
故周长的取值范围为.
19. 在中，内角所对的边分别为，已知.
（1）求；
（2）若，，的平分线交于点，求线段的长；
（3）若是锐角三角形，且，求面积的取值范围.
答案：（1）
（2） （3）
解析：
思路：（1）由已知式展开后逆用和角公式和辅助角公式化简得到，借助于三角形内角范围即可求得角；
（2）由三角形面积公式和等面积建立方程，求解即得；
（3）方法一：作 于点，过点作，由题可得点在之间，根据图形得，推得，即可代入三角形面积公式求得其范围；方法二：由正弦定理可得，求出利用正切函数的单调性求得，代入三角形面积公式即可求得其范围
（1） 即
因 ，则，故，解得 .
（2）由（1）已得 由为的平分线，可得
设，由可得 ，
即 解得 ，即.
（3）方法一：如图，作 于点，过点作，交直线于点，
当点在之间时， 为锐角三角形
∴，即，因，则得，
的面积的取值范围为.
方法二：由正弦定理，可得
∵均为锐角 解得
故 可得 故
又 ，的面积的取值范围为