2025--2026学年河南省开封市开封五县学校联考高一下册5月期中数学试题 [含解析]

这是一份2025--2026学年河南省开封市开封五县学校联考高一下册5月期中数学试题 [含解析]，共8页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知复数，则的虚部为（ ）
A. 3B. C. D.
3. 已知的内角所对的边分别是，若，则（ ）
A. B. C. D.
4. 已知的内角的对边分别为，，，且满足，的三角形有两个，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
6. 已知，，且，则的最大值为（ ）
A. 1B. C. D.
7. 在中，，分别为内角，的对边，若，则的形状一定是（ ）
A. 等腰三角形B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形D. 等边三角形
8. 设，，，则，，的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的有（ ）
A. 棱柱的侧面一定是平行四边形
B. 棱台的侧面一定不是平行四边形
C. 棱锥的侧面是全等的三角形
D. 圆柱的侧面沿一条母线展开，则展开图不一定是矩形
10. 已知复数，，为的共轭复数，则下列结论中一定成立的是（ ）
A. 为实数B.
C. 若，则D.
11. “费马点” 指平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点. 在 中，当最大内角小于 时，费马点 满足，当最大内角不小于 时，最大内角的顶点为费马点. 已知在 中， ，，点 为 的费马点，则（ ）
A.
B.
C.
D. 在上的射影向量为，
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知向量，则向量在上的投影向量的坐标是__________.
13. 已知是第二象限角，且，则___________．
14. 在锐角中，，，分别为内角，，的对边，且，若存在最小值，则实数的取值范围是______.
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. （1）已知，为第三象限角，求的值；
（2）计算： .
16. 已知向量，满足，，且与的夹角为.
（1）求的值；
（2）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围.
17. 已知函数的部分图象如图所示．
（1）求的解析式；
（2）求的单调递减区间；
（3）将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象．若函数在上恰有三个零点，求实数的取值范围．
18. 在中，，，为的中点.
（1）求的取值范围；
（2）若，为的中点，为平面上一动点，满足.
（ⅰ）求证：为定值；
（ⅱ）求的最大值.
19. “星空摩天轮”是某游乐园的标志性观光设施，游客乘坐座舱沿圆形轮盘圆心O匀速转动，可俯瞰城市全景.该设施的轮盘最高点距离地面100m，轮盘直径为90m，开启后按逆时针方向匀速转动，游客在距离地面最近的位置进入座舱，转一周需要20min.以轮盘圆心为原点，与地面平行的直线为轴，上下方向的直线为轴建立平面直角坐标系：
（1）游客甲坐上座舱后，转动时距离地面的高度为（单位：m)，求转动过程中关于的函数解析式；
（2）若游客甲在最低点进入座舱时，游客乙恰好位于x轴负半轴与轮盘的交点A处
（i）转动过程中，两人首次距离地面高度相等的时间是多少？
（ii）当座舱距离地面高度不低于m时，可清晰地看到城市的“灯光秀”这段时间称为“观秀时段”，求游客甲在转动一周过程中，位于“观秀时段”的时长.
数学
本试卷共19题，总分150分，考试时间120分钟.
第Ⅰ卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：借助并集与补集定义即可得.
解答过程：由，则，
由，故.
2. 已知复数，则的虚部为（ ）
A. 3B. C. D.
答案：B
解析：
解答过程：，故，的虚部为.
3. 已知的内角所对的边分别是，若，则（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：根据已知得，再由正弦边角关系即可得比值.
解答过程：由，且，则，
所以.
故选：D
4. 已知的内角的对边分别为，，，且满足，的三角形有两个，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：根据给定条件，利用正弦定理，结合三角形有两解的条件列式求解.
解答过程：由有两解，得即解得，
故选：A．
5. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：利用二倍角的余弦公式，即可求解.
解答过程：由，得．
6. 已知，，且，则的最大值为（ ）
A. 1B. C. D.
答案：C
解析：
思路：直接利用基本不等式求解即可.
解答过程：由基本不等式得到，即，
当且仅当，即时，等号成立.
的最大值为
7. 在中，，分别为内角，的对边，若，则的形状一定是（ ）
A. 等腰三角形B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形D. 等边三角形
答案：B
解析：
思路：由同角三角函数基本关系、正弦定理、辅助角公式化简可得，进而可得，由此判断三角形形状.
解答过程：若，得，
由正弦定理可得，
化简可得，即，
利用辅助角公式可得，
即，
所以或，或者（舍），
所以一定是直角三角形.
8. 设，，，则，，的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
解答过程：因为函数是减函数，所以，即；
因为函数是减函数，所以，即；
，
，所以.
函数是减函数，所以，即.
所以.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的有（ ）
A. 棱柱的侧面一定是平行四边形
B. 棱台的侧面一定不是平行四边形
C. 棱锥的侧面是全等的三角形
D. 圆柱的侧面沿一条母线展开，则展开图不一定是矩形
答案：AB
解析：
思路：利用棱柱，棱台，棱锥和圆柱的定义和结构特征逐一判断选项即可.
解答过程：对于A，由棱柱的结构特征知，其侧面都是平行四边形，故A正确；
对于B，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形，故B正确；
对于C，棱锥的侧面是三角形，不一定全等，故C错误；
对于D，因圆柱的母线垂直于两底面，故圆柱的侧面沿一条母线展开得到的一定是一个矩形，故D错误.
10. 已知复数，，为的共轭复数，则下列结论中一定成立的是（ ）
A. 为实数B.
C. 若，则D.
答案：ABD
解析：
思路：设复数，然后逐个分析判断即可.
解答过程：对于A，设复数，则，
则，为实数，故A正确；
对于B，，，则，故B正确；
对于C，若，不妨取，则不成立，故C错误；
对于D，，则
，
，则
，
则，故D正确.
故选：ABD.
11. “费马点” 指平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点. 在 中，当最大内角小于 时，费马点 满足，当最大内角不小于 时，最大内角的顶点为费马点. 已知在 中， ，，点 为 的费马点，则（ ）
A.
B.
C.
D. 在上的射影向量为，
答案：ACD
解析：
思路：由正弦定理，求得，结合余弦定理，可判定A正确；再求得，进而得到，证得，求得，可判定C正确；设，在中，由余弦定理列出方程，求得，结合向量的数量积的运算公式，可判定B；由余弦定理求得，作，求得，进而可判定D正确.
解答过程：因为，
由正弦定理得，可得，
又由余弦定理，可得，
因为，所以，所以A正确；
又由且，
可得，解得，
由正弦定理可得，可得，
所以，所以为直角三角形，且
所以点满足，
如图所示，因为，可得，
又因为，所以，
所以，所以，
可得，所以C正确；
设，则，
在中，由余弦定理得，解得，
所以，
所以，所以B错误；
在中，，由余弦定理，求得，
过点作，垂足为，可得，
所以，所以在上的射影向量为，所以D正确.
故选：ACD.
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知向量，则向量在上的投影向量的坐标是__________.
答案：
解析：
思路：根据投影向量的计算公式即可求解.
解答过程：在上的投影向量为，
故
13. 已知是第二象限角，且，则___________．
答案：
解析：
解答过程：由，得，
而是第二象限角，则，，
所以.
14. 在锐角中，，，分别为内角，，的对边，且，若存在最小值，则实数的取值范围是______.
答案：
解析：
思路：由正弦定理化简可得，由正弦定理结合三角恒等变换化简可得，再结合二次函数性质计算求解.
解答过程：由正弦定理可知：
，
故或（舍去），所以，
所以
，
且由，，，可得，
当时，存在最小值，故有.
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. （1）已知，为第三象限角，求的值；
（2）计算： .
答案：（1）；（2）
解析：
思路：（1）先利用诱导公式对原式进行化简，将其转化为关于的表达式，代入求值即可；
（2）利用指数幂运算性质、对数运算法则及换底公式，对原式逐项化简后再合并求值即可.
解答过程：（1）解：原式，
由，代入上式;
（2）解：原式，
，
.
16. 已知向量，满足，，且与的夹角为.
（1）求的值；
（2）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围.
答案：（1）6 （2）
解析：
（1）.
（2）向量与的夹角为锐角需满足，
且向量与不共线，即，由（1）有，所以
，由得，所以的取值范围为.
17. 已知函数的部分图象如图所示．
（1）求的解析式；
（2）求的单调递减区间；
（3）将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象．若函数在上恰有三个零点，求实数的取值范围．
答案：（1）
（2） （3）．
解析：
（1）由函数的最大值为，最小值为，结合，得.
由图象知，最小值点到零点的距离为，对应个周期，即，解得.
由周期公式，得，故，
将最小值点代入，得，解得，
结合，取得，故.
（2）令，解得，
故的单调递减区间为.
（3）由图像左移​个单位得.
在上恰有三个零点，等价于在上恰有三个解，
令，当时，，
的通解为或，
在范围内，从小到大的解为，要恰有三个解，需满足​，解得​，
故实数的取值范围为.
18. 在中，，，为的中点.
（1）求的取值范围；
（2）若，为的中点，为平面上一动点，满足.
（ⅰ）求证：为定值；
（ⅱ）求的最大值.
答案：（1）
（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）10
解析：
思路：（1）设，根据结合的范围即可求出答案；
（2）（ⅰ）取中点，证明为中点，根据得到，进而得到，再求出，再根据即可求出答案；（ⅱ）求出，令，，求出的取值范围，令，再根据求出的范围，，令，根据的范围求出的范围，分为和两种情况，分别求范围，即可求出答案.
（1）设，
则
.
因为，所以，
所以，
所以的取值范围为.
（2）（ⅰ）取中点，
因为，，
所以，即、、三点共线，且为中点，
因为，所以，
故，在以为直径的圆上，
因为，，所以为等边三角形，
所以，所以，
，，
则
为定值.
（ⅱ）由（ⅰ）可知：
，
设，.则，
由，
可知，设，
由，有，
所以
，
令，则，
①当时，，
②当时，，
因为，
所以，
所以，
综上所述，，即，
所以的最大值为10，
当且仅当，即时等号成立，此时，.
19. “星空摩天轮”是某游乐园的标志性观光设施，游客乘坐座舱沿圆形轮盘圆心O匀速转动，可俯瞰城市全景.该设施的轮盘最高点距离地面100m，轮盘直径为90m，开启后按逆时针方向匀速转动，游客在距离地面最近的位置进入座舱，转一周需要20min.以轮盘圆心为原点，与地面平行的直线为轴，上下方向的直线为轴建立平面直角坐标系：
（1）游客甲坐上座舱后，转动时距离地面的高度为（单位：m)，求转动过程中关于的函数解析式；
（2）若游客甲在最低点进入座舱时，游客乙恰好位于x轴负半轴与轮盘的交点A处
（i）转动过程中，两人首次距离地面高度相等的时间是多少？
（ii）当座舱距离地面高度不低于m时，可清晰地看到城市的“灯光秀”这段时间称为“观秀时段”，求游客甲在转动一周过程中，位于“观秀时段”的时长.
答案：（1），；
（2）（i）；（ii）
解析：
思路：（1）根据题意设，，再结合题意求解对应的参数即可得答案；
（2）（i）结合（1）考虑游客乙的初始位置得游客乙距离地面的高度关于的关系为，，再解方程即可得答案；
（ii）结合题意，解不等式得，进而求时间差即可得答案.
（1）根据题意，设关于的函数解析式为，
由题知，轮盘最高点距地面100m，直径90m，最低点距离地面为10m，
时，游客甲从最低点逆时针匀速转动，即时，
周期，
所以，解得，
，解得，
所以，当，，即，解得，
所以，，整理得，；
所以，关于的函数解析式为：，
（2）（i）由（1）知，游客乙距离地面的高度与时间的关系为：，
考虑游客乙的初始位置，当时，游客乙距离地面的高度为55m，且开始后高度降低，
故，即，解得，
即游客乙距离地面的高度关于的关系为，，
即，
所以，时刻时，游客乙距离地面的距离为；
游客甲距离地面的距离为
所以，即，
所以，首次相等对应最小正解,即，即
所以，转动过程中，两人首次距离地面高度相等的时间是.
（ii）由题，，即，
所以，解得，时间间隔为：，
所以游客甲在转动一周过程中，位于“观秀时段”的时长.