河南省开封市五校联考2025-2026学年高一下学期5月期中考试数学试题（含解析）

这是一份河南省开封市五校联考2025-2026学年高一下学期5月期中考试数学试题（含解析），共9页。试卷主要包含了本卷命题范围等内容，欢迎下载使用。
考生注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.
4．本卷命题范围：人教A版必修第二册第六章～第八章第4节.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 复数的虚部为（ ）
A. B. 8C. D. 9
【答案】C
【解析】
【详解】，所以复数的虚部为.
2. 已知向量，若，则（ ）
A. -3B. 0C. 3D. 4
【答案】A
【解析】
【详解】由，得，解得.
3. 在平行四边形中，为的中点，点在上，且，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】应用向量的加法减法及线性关系计算求解.
【详解】因为平行四边形中，为的中点，点在上，且，
所以，
则.
故选：B.
4. 下列说法正确的是（ ）
A. 有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫做棱锥
B. 直角三角形绕一条边所在直线旋转一周得到的旋转体是圆锥
C. 如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥不可能为六棱锥
D. 用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体是棱台
【答案】C
【解析】
【分析】利用棱锥、圆锥、棱台的结构特征判断ABD；利用侧棱与其在底面内的射影大小关系推理判断C；
【详解】对于A，有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形的几何体叫做棱锥，A错误；
对于B，直角三角形绕其斜边所在直线旋转一周得到的旋转体是共底面的两个圆锥构成的组合体，B错误；
对于C，假定是六棱锥，则该六棱锥的底面是正六边形，所有侧棱长相等，各侧棱在底面上的射影都相等，
因此该六棱锥是正六棱锥，而正六边形半径等于其边长，则该六棱锥的侧棱长等于它在底面内的射影，
与平面的斜线段大于它在该平面内的射影矛盾，从而该棱锥不可能是六棱锥，C正确；
对于D，用一个与底面平行的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台，D错误.
故选：C
5. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用同角公式及正弦定理列式求解.
【详解】在中，由，得，
由正弦定理得，所以.
故选：A
6. 若水平放置的平面四边形按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中，，则以原四边形的边为轴旋转一周得到的几何体的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根据斜二测图形信息推出原图形的尺寸，再分析旋转后几何体的构成，最后求出体积.
【详解】已知在斜二测图形中，，
根据斜二测画法中平行于轴的线段长度不变的规则，可知在原图形中，，.
又已知，由斜二测画法中平行于轴的线段长度减半的性质，
可得原图形中，且（斜二测画法中轴与轴夹角在原图形中为）.
如图，得到原图.
因为梯形以边为轴旋转一周，所以得到的几何体为圆台.
其中圆台的底面半径，高；
根据圆台体积公式，可得.
故选：B.
7. 任何一个复数（其中a，，i为虚数单位）都可以表示成（其中，）的形式，通常称之为复数z的三角形式，法国数学家棣莫弗发现，我们称这个结论为棣莫弗定理.若复数为纯虚数，则正整数m的最小值为（ ）
A. 4B. 6C. 8D. 10
【答案】A
【解析】
【分析】根据复数新定义计算，再结合纯虚数定义列式求解.
【详解】，
由棣莫弗定理可得，
因为复数为纯虚数，
所以且，所以，，得，，
所以正整数m的最小值为4.
故选：A.
8. 在中，，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，利用向量的运算法则，求得，由余弦定理得，令，结合基本不等式求得的最小值为，利用余弦的倍角公式，即可求解.
【详解】设的三个角所对的边分别为，
由AC⋅AB−CB=AC⋅AB+BC=AC2=AC2=b2，
又由2BA⋅BC+AC=2CA−CB⋅BC+AC=2BC−AC⋅BC+AC，
因为AC⋅AB−CB=2BA⋅BC+AC，所以，即，
由余弦定理得，
令，可得，
由基本不等式，可得，当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为，
又由，即的最小值为，经检验满足题意.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 设A，B，C是三个不同的点，m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列结论错误的是（ ）
A. 若，，则
B. 若，，，，则
C. 若，，则m与n为异面直线
D. 若A，B，C是平面内不共线的三点，，，则
【答案】AC
【解析】
【详解】对于A，当时，满足，，而，A错误；
对于B，由，，，，得，B正确；
对于C，，，若相交，则m与n为平行直线或相交直线或异面直线，
若平行，则m与n为平行直线或异面直线，C错误；
对于D，由A，B，C是平面内不共线的三点，，，得C∉AB,α∩β=AB ，
若，则C∈AB 与C∉AB 矛盾，因此C∉β ，D正确.
10. 已知复数，，为的共轭复数，则下列结论中一定成立的是（ ）
A. 为实数B.
C. 若，则D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】设复数，然后逐个分析判断即可.
【详解】对于A，设复数，则，
则，为实数，故A正确；
对于B，，，则，故B正确；
对于C，若，不妨取，则不成立，故C错误；
对于D，，则
，
，则
，
则，故D正确.
故选：ABD.
11. 数学家欧拉曾提出欧拉线定理：任意三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直线上（重心在外心与垂心之间），且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被称为三角形的欧拉线.已知的外心为O，重心为G，垂心为H，若，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】取的中点M，连接，先由外心得到，再结合投影几何意义即可求解判断A；由G为的重心将转化成表示，同样将转化成表示即可计算求解判断B；先由欧拉线定理得到，再结合重心性质即可求解判断C；求出即可求解判断D.
【详解】对于A，取的中点M，连接，因为为的外心，则，
所以，A正确；
对于B，因为G为的重心，所以，
所以，B错误；
对于C，由欧拉线定理得，即，
又的重心为G，则，
所以，C正确；
对于D，因为，
所以，D正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知向量与的夹角为，且，，则在上的投影向量为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据数量积的定义，利用投影向量的公式，可得答案.
【详解】由题意可得在上的投影向量为.
故答案为：.
13. 如图，在正三棱锥中，，从点拉紧一条无弹性的细绳绕过侧棱，回到点，若细绳的最短长度为，则该三棱锥的侧棱长为__________.
【答案】
【解析】
【详解】依题意，正三棱锥侧面沿剪开，将展开置于同一平面内，连接，
则线段就是绳的最短长度，此时，由，
得，解得，所以该三棱锥的侧棱长为.
14. 如图，某湖泊沿岸有四个镇，已知镇与镇之间的距离为，镇与镇之间的距离为，测得，，，则两镇之间的距离为__________．
【答案】
【解析】
【详解】在中，由余弦定理得
，
所以，在中，，
在中，由正弦定理得，
所以，
所以，
在中，
，故．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知复数.
（1）若在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围；
（2）当时，是关于的方程的一个根，求实数的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）依题意可得，再解一元二次不等式组即可；
（2）将复数代入方程即可.
【小问1详解】
因为复数在复平面内对应的点位于第四象限，则，
解得，即的取值范围是.
【小问2详解】
当时，，
因为是关于的方程的一个根，所以，
即，整理得，
所以，解得，
即的值为，的值为.
16. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求的值；
（2）若，的面积为，求边上的高．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用余弦定理化角为边，推得，代入消元计算即得所求式的值；
（2）由的面积推得，结合（1）的结论求出，利用余弦定理求得，根据三角形面积公式即可求得边上的高.
【小问1详解】
由和余弦定理，
可得：，
化简得，则得，
故；
【小问2详解】
由可得，
由（1）已得，解得，
由余弦定理，
，解得，
设边上的高边上的高为，
则由，解得，
故边上的高为.
17. 如图是3D打印技术打印的一个艺术品，该艺术品外部的圆锥底面半径为，高为，内部挖去一个高的圆柱体.
（1）当时，求该艺术品的体积；
（2）当为何值时，该艺术品的表面积最大？
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先求出圆柱的半径，然后求出体积.
（2）利用圆柱的侧面积公式列出侧面积表达式，然后根据二次函数的性质求出最大值.
【小问1详解】
当时，设圆柱的半径为，则，解得，
此时该艺术品的体积为.
【小问2详解】
设圆柱的半径为，则，解得，
要使该艺术品的表面积最大，则圆柱的侧面积取得最大值即可，
，
当时，取得最大值，
故当时，该艺术品的表面积最大.
18. 如图，在中，，，分别是边上的点，与交于点，且，.
（1）若，.
（i）求的值；
（ii）求的值；
（2）若存在实数，使得，求的取值范围.
【答案】（1）（i）；（ii）
（2）
【解析】
【分析】（1）（i）利用基底表示出，结合向量数量积定义和运算律求解即可；
（ii）利用基底表示出，根据三点共线可求得结果；
（2）利用基底表示出，结合向量数量积定义和运算律可将转化为关于的函数的形式，采用分离常数法可求得结果.
【小问1详解】
（i），，
，
.
（ii），.
设，则，
三点共线，，解得：，即.
【小问2详解】
，，
，
，，
，
，，，
，即的取值范围为.
19. 在中，内角，，的对边分别为，，，若，，且．
（1）求角的大小；
（2）若，点是的中点，且，求的值；
（3）已知的面积为，且所在平面内的点满足，求的值．
【答案】（1）
（2）或
（3）或
【解析】
【分析】(1)根据向量垂直的坐标运算列方程，然后角化边，根据余弦定理求出角的大小.
(2)在三个三角形中分别用余弦定理找出，的关系式解方程即可.
(3)方法一：先确定点的位置分两种情况进行分析，根据余弦定理和面积关系找到的关系即可；方法二：由面积公式求出，再分点与点在直线的异侧与同侧两种情况讨论，设，利用正弦定理表示出线段的长度，再计算可得.
【小问1详解】
因为所以，
角化边可得：，
整理可得，
又因为，
又因为为三角形的内角，所以.
【小问2详解】
在中由余弦定理可得：，
整理得：；
在中由余弦定理可得：，
在中由余弦定理可得：，
又因为，所以，
又因为，所以，
解方程组：，解得或，
所以或.
【小问3详解】
方法一：因为点满足，所以点在的外部，
设，，，
当在直线的异侧时，
在中由余弦定理有：，
又因为的面积为，即，所以，
所以，
在中由余弦定理有：，
在中由余弦定理有：，
在中由余弦定理有：，
所以，
整理得： ，
又因为，
所以，
整理得：，即，
又因为
所以即，
所以；
当在直线的同侧时，
分别在，，，中用余弦定理及的面积为
依然可以得出，
又因为，
即
整理得：，又因为，
所以，
即，
所以.
综上所述的值为或
方法二：因为的面积为，所以，所以，
若点与点在直线的异侧，设，
则，，，
在中由正弦定理，所以，；
在中由正弦定理，所以，；
所以
；
若点与点在直线的同侧，设，
则，，，
在中由正弦定理，所以，；
在中由正弦定理，所以，；
所以
；
综上可得的值为或.