应用题（专项训练）2026-2027学年五年级上册数学人教版（四）（含答案解析）

这是一份应用题（专项训练）2026-2027学年五年级上册数学人教版（四）（含答案解析），共24页。试卷主要包含了 某科技馆推出“集章”活动等内容，欢迎下载使用。

2. 为了保障自动驾驶车辆的通信信号，某智能园区在一长条直行自动驾驶测试跑道的一侧等距离安装 5G 微型基站（跑道两端起点和终点处均不安装）。已知相邻两个基站之间的距离是 120 米，一共安装了 14 个基站。这条跑道全长是多少米？
3. 先写出题中的等量关系，再列方程解答“鸡兔同笼”问题。(6分)
科技节展台上摆着两轮平衡车模型和四轮越野车模型，共12辆，轮子一共有34个。两轮平衡车模型和四轮越野车模型各有多少辆？
4. 为了迎接科技节，学校在广场上用同样大小的机器人模型摆成了一个实心正方形方阵。已知最外层一共摆放了64个机器人模型。这个方阵最外层每边摆放了多少个机器人模型？整个方阵一共需要多少个机器人模型？
5. 某新能源汽车研学基地举办科技展，计划购进 k 个太阳能车模和 k 个风能车模作纪念品。已知太阳能车模每个售价 85 元，风能车模每个售价 68 元。
购进这批太阳能车模比风能车模多花多少钱？
等量关系式：________________________________________。
用含有字母的式子表示：________________________________________。
6. 王阿姨准备在阳台种植绿植，她去花卉市场购买了一些园艺用品：陶瓷花盆 25.8 元/个，营养土 6.8 元/袋，多肉盆栽 12.2 元/盆。
(1) 王阿姨带了 100 元，买了 2 个陶瓷花盆和 3 袋营养土，剩下的钱够买 3 盆多肉盆栽吗？(4分)
(2) 你能用列表法估算解决上面的问题吗？请将下表补充完整并写出估算过程。(4分)
| 园艺用品 | 估算单价 | 数量 | 估算总价 |
| :--- | :--- | :--- | :--- |
| 陶瓷花盆 | | | |
| 营养土 | | | |
| 多肉盆栽 | | | |
7. 一个梯形，如果上底增加 4 厘米，就变成了一个平行四边形，面积比原来增加了 16 平方厘米；如果高减少 2 厘米，面积就减少了 12 平方厘米。小明认为原梯形的面积是 48 平方厘米，小红认为原梯形的面积是 24 平方厘米。你觉得他们俩谁算错了？请说明理由。
8. 在一条长 288 km 的输油管线两端，甲、乙两架巡检无人机同时从两端起飞，相向飞行。甲无人机的速度是乙无人机的 1.4 倍，4 小时后两机相遇。
（1）乙无人机的速度是多少？
（2）甲无人机比乙无人机每小时快多少千米？
9. 某科技馆推出“集章”活动。完成一项体验后，可掷同一枚均匀的六面骰子（6个面分别写有1～6），根据点数决定是否获得纪念章1枚。现有三种发放规则。
掷骰子得纪念章
方案甲：掷到点数为2、3、4或5，获得纪念章1枚
方案乙：掷到点数为1或6，获得纪念章1枚
方案丙：掷到点数是质数，获得纪念章1枚
(1) 分别求三种方案中，一次掷骰子获得纪念章的概率。
(2) 若有90名同学每人只掷一次，为了准备纪念章，三种方案下分别预计需要准备多少枚纪念章？
10. 为了推广绿色低碳出行，某社区团购了一批可折叠环保布袋，单价是 12.5 元。商家推出了“买3送1”的优惠活动（即每买3个就免费赠送1个）。李阿姨因为活动需要，一共拿到了 24 个这样的环保布袋。请问，相比于没有优惠时的原价，李阿姨这次购买一共节省了多少元？
附：试卷深度教研解析与思路
■ 第 1 题 深度解析：
1. 为了备战全国青少年航模比赛，学校航模社团要给一架新组装的固定翼飞机模型喷涂保护漆。该模型的机翼单面面积为 18.5 平方分米，需要对机翼的正反两面都进行全面喷涂。已知这种保护漆每平方分米大约需要消耗 1.4 克，但目前社团的库存里只剩下一罐标注内含 50 克保护漆的喷雾。请问这罐保护漆够用吗？如果不够，还差多少克？如果够，还能剩余多少克？
【考点】小数乘法, 问题解决, 隐藏条件提取 【难度】中等
最终答案
不够，还差 1.8 克
思路起点
看到题目中要求对“机翼的正反两面”进行喷涂，应该立刻警觉到这是一个隐藏条件，意味着实际需要喷涂的总面积是单面面积的 2 倍（这与生活中的往返路程乘 2 原理一致）。接着梳理核心数量关系：提取到“总耗漆量 = 实际喷涂总面积 × 每平方分米耗漆量”。算出所需漆量后，再将其与现有的 50 克库存进行比较，最后根据要求用减法算出具体的差值。
详细解答
首先，计算出机翼正反两面需要喷涂的总面积：
18.5 × 2 = 37（平方分米）
其次，计算喷涂整个机翼实际需要的保护漆总质量：
37 × 1.4 = 51.8（克）
然后，将需要的保护漆总质量与现有剩余量进行比较判定：
因为 51.8 > 50，所以这罐保护漆不够用。
最后，计算还差多少克保护漆：
51.8 - 50 = 1.8（克）
答：这罐保护漆不够用，还差 1.8 克。
学生易错
1. 审题不细致：漏掉“正反两面”这个核心条件，直接用单面面积 18.5 乘 1.4，得出只需要 25.9 克的错误结论，导致全盘皆错。
2. 计算基本功不扎实：在脱式计算 37 × 1.4 时出错，或者最后结果点错小数点位置。
3. 答题不完整：题目是一道连环追问的综合应用题，部分同学可能只回答了“不够”，却忘记进一步用减法计算并回答“还差多少克”，从而导致丢分。
变式拓展
为了倡导全民健身，社区在小广场修建了一条长 45.5 米的直行健身步道，准备在步道的两侧都种上绿篱。已知种植这种绿篱每米的综合成本约为 12.4 元。社区居委会准备了 1200 元的专项绿化资金，这笔钱够不够支付绿篱的种植费用？如果不够，资金缺口是多少元？如果够用，还能结余多少元？
■ 第 2 题 深度解析：
2. 为了保障自动驾驶车辆的通信信号，某智能园区在一长条直行自动驾驶测试跑道的一侧等距离安装 5G 微型基站（跑道两端起点和终点处均不安装）。已知相邻两个基站之间的距离是 120 米，一共安装了 14 个基站。这条跑道全长是多少米？
【考点】植树问题, 两端不植树 【难度】中等
最终答案
1800 米
思路起点
引导学生将实际生活场景抽象为数学模型。题目中“在跑道的一侧等距离安装基站，跑道两端起点和终点处均不安装”，这属于植树问题中的“两端不植树”类型。其核心数量关系是：间隔数 = 基站数 + 1。因此，可先通过已知的基站数量计算出间隔数，再结合每个间隔的距离，求得测试跑道的总长度。
详细解答
第一步，分析题意。跑道两端起点和终点处均不安装基站，说明这属于“两端不植树”的植树问题。
第二步，计算间隔数。已知一共安装了 14 个基站，根据“间隔数 = 基站数 + 1”的规律，间隔数为：
14 + 1 = 15（个）
第三步，计算跑道全长。已知相邻两个基站之间的距离是 120 米，则 15 个间隔的总长度为：
15 × 120 = 1800（米）
答：这条跑道全长是 1800 米。
学生易错
学生在解决此类问题时，容易生搬硬套公式，混淆“两端都植树”、“一端植树”和“两端不植树”的三种基本情况。常犯的错误是直接用基站个数乘以间隔距离（即 14 × 120 = 1680 米），忽略了“跑道两端不安装”这一关键限定条件，导致少算了一个间隔数。
变式拓展
某城市计划在一条长为 2400 米的新建景观步道一侧等距离摆放分类垃圾箱（步道两端起点和终点处均不摆放）。已知共摆放了 19 个垃圾箱，现在由于规划调整，需要将相邻两个垃圾箱之间的距离增加 30 米，在两端仍不摆放的前提下，调整后一共需要摆放多少个垃圾箱？
■ 第 3 题 深度解析：
3. 先写出题中的等量关系，再列方程解答“鸡兔同笼”问题。(6分)
科技节展台上摆着两轮平衡车模型和四轮越野车模型，共12辆，轮子一共有34个。两轮平衡车模型和四轮越野车模型各有多少辆？
【考点】二元一次方程组, 鸡兔同笼模型 【难度】中等
最终答案
两轮平衡车模型7辆，四轮越野车模型5辆
思路起点
先把情境“模型、轮子”抽象成“2和4两种单位量”的数量问题：两轮模型每辆2个轮子，四轮模型每辆4个轮子。题目同时给了“总辆数”和“总轮数”，因此可以建立两个等量关系（两个方程），用方程组求出两种模型的数量。
详细解答
【一、写等量关系】
(1) 两轮模型辆数 + 四轮模型辆数 = 总辆数（12辆）
(2) 两轮模型轮子数 + 四轮模型轮子数 = 总轮子数（34个）
【二、设未知数】
设两轮平衡车模型有 x 辆，四轮越野车模型有 y 辆。
【三、列方程】
根据等量关系：
① x + y = 12
② 2x + 4y = 34
【四、解方程】
由①得：x = 12 - y
代入②：
2(12 - y) + 4y = 34
24 - 2y + 4y = 34
2y = 10
y = 5
再代回①：
x = 12 - 5 = 7
【五、写结论】
两轮平衡车模型7辆，四轮越野车模型5辆。
【验算】
轮子数：7×2 + 5×4 = 14 + 20 = 34（个），符合题意。
学生易错
1. 只列了“轮子总数”的方程，漏掉“总辆数=12辆”这一关键条件，导致未知数不够无法解。
2. 把轮子数写错：将四轮模型误写成“2y”或把两轮、四轮对应关系搞反。
3. 代入时括号处理出错：2(12−y)写成2×12−y，少乘了y前的2。
4. 求出一个未知数后不回代求另一个，或不验算导致错误未发现。
变式拓展
变式题：某展示区只有两轮滑板车模型和四轮卡丁车模型。已知两轮模型比四轮模型多2辆，轮子一共有52个。两种模型各有多少辆？（要求：先写等量关系，再列方程解答）
■ 第 4 题 深度解析：
4. 为了迎接科技节，学校在广场上用同样大小的机器人模型摆成了一个实心正方形方阵。已知最外层一共摆放了64个机器人模型。这个方阵最外层每边摆放了多少个机器人模型？整个方阵一共需要多少个机器人模型？
【考点】方阵问题, 逆向推导 【难度】中等
最终答案
每边摆放 17 个，整个方阵一共需要 289 个
思路起点
引导学生从正方形的几何特征入手进行思考。正方形方阵有4个顶点和4条边，最外层每个角上的元素都会被相邻的两条边重复计算。因此，已知最外层总人数求每边人数时，不能直接除以4。可以采用“分段法”将最外层看作4条等长的线段（每条线段不包含端点），即“最外层总数 ÷ 4 = 每边人数 - 1”，由此逆向推导出每边的数量。求出每边人数后，再利用实心方阵的整体结构，通过“每边数量 × 每边数量”求得整个方阵的总数量。
详细解答
解：
1. 求解最外层每边摆放的机器人模型数量：
因为正方形方阵最外层的4个角上的模型各被重复计算了1次，所以我们可以将最外层的64个模型平均分成4个部分，每个部分对应“每边数量减去1”的值。
列式计算：
64÷4+1
=16+1
=17（个）
答：这个方阵最外层每边摆放了17个机器人模型。
2. 求解整个方阵一共需要的机器人模型数量：
由于该方阵是一个实心正方形方阵，每边有17个模型，所以模型的总数等于每边模型数量的平方。
列式计算：
17×17=289（个）
答：整个方阵一共需要289个机器人模型。
学生易错
1. 逆向思维混淆：部分学生容易忽略正方形四个角重复计算的特征，直接用 64÷4=16，从而得出每边16个模型的错误结果，漏加了角上的1个。
2. 概念不清：容易混淆“实心方阵”与“空心方阵”的结构特征，在计算总数时误用其他外围周长计算公式。
3. 计算失误：在进行两位数乘两位数（如 17×17）的竖式计算时，由于进位或乘法口诀不熟练导致失分。
变式拓展
学校合唱队排成一个实心正方形方阵，由于新加入了9名同学，方阵的每边都需要多排1人，正好重新组成了一个更大的实心正方形方阵（没有剩余人员）。请问原来这个合唱队一共有多少名同学？
■ 第 5 题 深度解析：
5. 某新能源汽车研学基地举办科技展，计划购进 k 个太阳能车模和 k 个风能车模作纪念品。已知太阳能车模每个售价 85 元，风能车模每个售价 68 元。
购进这批太阳能车模比风能车模多花多少钱？
等量关系式：________________________________________。
用含有字母的式子表示：________________________________________。
【考点】用字母表示数, 等量关系 【难度】基础
最终答案
等量关系式：太阳能车模的总价 - 风能车模的总价 = 多花的钱数（或：(太阳能车模单价 - 风能车模单价) × 购进数量 = 多花的钱数）；含有字母的式子：17k
思路起点
在面对求两类物品花费差额的问题时，我们要剥离情境，提炼出核心的数量关系：“总价 = 单价 × 数量”。求多花的钱，也就是求两者总价的差。我们可以采用两种思考路径：
路径一：先分别求出各自的总价，再求差额；
路径二：先求出一个太阳能车模比一个风能车模贵多少钱（单价差），再乘以总数量。由此可得出相应的等量关系。
详细解答
方法一：基于“总花费之差”列式。
1. 理清等量关系式：
“太阳能车模的总价 - 风能车模的总价 = 多花的钱数”
2. 将已知条件代入式子中：
太阳能车模单价为 85 元，数量为 k 个，总价为 85k 元；
风能车模单价为 68 元，数量为 k 个，总价为 68k 元；
两者相减得到含有字母的式子：85k−68k。
进一步化简：根据乘法分配律得出 (85−68)k=17k。
方法二：基于“单件差价 × 数量”列式。
1. 理清等量关系式：
“(太阳能车模单价 - 风能车模单价) × 数量 = 多花的钱数”
2. 将已知条件代入式子中：
单价之差为 85−68=17 (元)；
数量为 k 个；
两数相乘得到含有字母的式子：17k。
综上所述：
等量关系式填：太阳能车模的总价 - 风能车模的总价 = 多花的钱数
含有字母的式子填：17k (或 85k−68k)
学生易错
1. 缺乏化简意识：虽然写出 85k−68k 也能体现正确的数量关系，但在实际作答中，通常要求将含有字母的同类项式子化简为最简形式 17k。
2. 等量关系式表述不当：等量关系式是用中文文字描述的数量逻辑等式，部分基础薄弱的学生容易直接在横线上填纯算式“85−68=17”而忽略了文字描述。
3. 书写格式不规范：当数字与字母相乘时，数字必须写在字母前面且省略乘号，容易误写成 k17 或 17×k。
变式拓展
某生态农场为了节水灌溉，新购入一批智能喷头和滴灌器。农场采购了 y 个智能喷头，每个售价 120 元；又采购了 y 个滴灌器，每个售价 45 元。如果农场这次采购的总预算为 5000 元，请用等量关系式表达“剩余的预算资金”，并写出对应的含有字母的最简式子。
■ 第 6 题 深度解析：
6. 王阿姨准备在阳台种植绿植，她去花卉市场购买了一些园艺用品：陶瓷花盆 25.8 元/个，营养土 6.8 元/袋，多肉盆栽 12.2 元/盆。
(1) 王阿姨带了 100 元，买了 2 个陶瓷花盆和 3 袋营养土，剩下的钱够买 3 盆多肉盆栽吗？(4分)
(2) 你能用列表法估算解决上面的问题吗？请将下表补充完整并写出估算过程。(4分)
| 园艺用品 | 估算单价 | 数量 | 估算总价 |
| :--- | :--- | :--- | :--- |
| 陶瓷花盆 | | | |
| 营养土 | | | |
| 多肉盆栽 | | | |
【考点】小数乘法应用题, 估算策略, 列表法解决问题 【难度】中等
最终答案
不够
思路起点
本题要求通过精确计算与列表估算两种方法，解决在预算范围内判断资金是否充裕的实际问题。第一问是应用小数乘加、乘减的数量关系进行精确计算：先求出已买物品的总价，再用总钱数减去已花钱数得到剩余钱数，最后与待买物品的总价进行对比。第二问考查估算策略，引导学生利用列表法，将物品单价合理地估算为便于口算的整数，再利用“往小估”或“往大估”的推导逻辑，快速得出结论。
详细解答
(1) 精确计算过程：
第一步：计算购买 2 个陶瓷花盆的实际费用。
25.8×2=51.6（元）
第二步：计算购买 3 袋营养土的实际费用。
6.8×3=20.4（元）
第三步：计算已购买物品的总花费。
51.6+20.4=72（元）
第四步：计算购买后剩余的钱数。
100−72=28（元）
第五步：计算购买 3 盆多肉盆栽所需的实际费用。
12.2×3=36.6（元）
第六步：比较剩余钱数与多肉盆栽总价的大小。
因为 28 元 < 36.6 元，所以剩下的钱不够买 3 盆多肉盆栽。
答：剩下的钱不够买 3 盆多肉盆栽。
(2) 列表估算过程：
我们可以采用“往小估”的策略来快速判断。
将陶瓷花盆、营养土和多肉盆栽的单价都向下估算为较近的整数：
* 陶瓷花盆：单价 25.8 元/个，往小估为 25 元/个；
* 营养土：单价 6.8 元/袋，往小估为 6 元/袋；
* 多肉盆栽：单价 12.2 元/盆，往小估为 12 元/盆。
表格补充如下：
| 园艺用品 | 估算单价 | 数量 | 估算总价 |
| :--- | :--- | :--- | :--- |
| 陶瓷花盆 | 25 元/个 | 2 个 | 50 元 |
| 营养土 | 6 元/袋 | 3 袋 | 18 元 |
| 多肉盆栽 | 12 元/盆 | 3 盆 | 36 元 |
估算推理：
25×2+6×3+12×3
=50+18+36
=104（元）
因为在把每种商品单价都往小估的情况下，估算的总价 104 元依然大于带去的 100 元，这说明实际的总花费必定大于 104 元，更会超过 100 元。
所以，王阿姨带的钱不够买 3 盆多肉盆栽。
学生易错
1. 估算方向偏离数学逻辑：在判断“够不够”问题时，学生容易混淆“估大”与“估小”的临界关系。若把已付费用往小估，所得估算总价若依然超支，则实际必然超支；若随意进行四舍五入，可能导致估算结论无法形成严密的逻辑支撑。
2. 计算细节失误：在精确计算小数乘法时（如 25.8×2=51.6 ），部分学生容易在小数位处理上出现笔误。
3. 表格规范性不足：在补充表格时，容易漏写估算单价和估算总价的单位名称（元）。
变式拓展
学校准备购买一批体育器材。其中羽毛球拍 45.2 元/副，乒乓球拍 29.8 元/副，跳绳 9.6 元/根。李老师带了 300 元，买了 4 副羽毛球拍和 3 副乒乓球拍。
(1) 剩下的钱够买 4 根跳绳吗？
(2) 请采用列表估算的方法写出你的思考过程。
■ 第 7 题 深度解析：
7. 一个梯形，如果上底增加 4 厘米，就变成了一个平行四边形，面积比原来增加了 16 平方厘米；如果高减少 2 厘米，面积就减少了 12 平方厘米。小明认为原梯形的面积是 48 平方厘米，小红认为原梯形的面积是 24 平方厘米。你觉得他们俩谁算错了？请说明理由。
【考点】梯形的面积, 图形的变化, 多边形面积的实际问题 【难度】中等
最终答案
小红算错了
思路起点
本题的思考起点在于分析梯形两次变化对应的几何图形关系：
1. 第一阶段变化：梯形上底增加 4 厘米变成平行四边形，说明增加的部分是一个底为 4 厘米、高与原梯形相同的三角形。通过这个三角形的面积可求出原梯形的高。
2. 第二阶段变化：高减少 2 厘米，面积减少了 12 平方厘米。减少的部分可以看作一个高为 2 厘米、上底和下底与原梯形相同的梯形。由此可以求出原梯形的上下底之和。
3. 最后，根据梯形的面积公式 S=12×(a+b)×h，将求得的“上下底之和”与“高”代入，即可算出原梯形的面积，进而判断谁的结论有误。
详细解答
第一步：求原梯形的高。
由题意可知，上底增加 4 厘米后梯形变成平行四边形，这意味着增加的部分是一个底为 4 厘米、高为原梯形高的三角形。
根据三角形的面积公式：
12×4×h=16
2h=16
h=8（厘米）
所以，原梯形的高为 8 厘米。
第二步：求原梯形的上底与下底之和。
当高减少 2 厘米时，面积减少了 12 平方厘米。减少的部分是一个高为 2 厘米，上底和下底与原梯形相同的梯形。
根据梯形的面积公式，减少的面积为：
12×(上底+下底)×2=12
上底+下底=12（厘米）
所以，原梯形的上下底之和为 12 厘米。
第三步：计算原梯形的面积。
根据梯形的面积计算公式：
S=12×(上底+下底)×高
S=12×12×8=48（平方厘米）
第四步：判断并写出结论。
计算得出原梯形的面积为 48 平方厘米，因此小明说得对，小红算错了。
答：小红算错了。理由是：根据上底增加 4 厘米、面积增加 16 平方厘米，可以求得原梯形的高为 8 厘米；再根据高减少 2 厘米、面积减少 12 平方厘米，可以求得原梯形的上下底之和为 12 厘米。因此，原梯形的面积应为 12×12×8=48 平方厘米。所以小红算错了。
学生易错
1. 几何模型转化错误：部分学生容易将增加的 16 平方厘米直接当成平行四边形的面积，使用 16÷4 求高，从而导致高计算错误。
2. 无法建立整体代换思维：在处理“高减少 2 厘米，面积减少 12 平方厘米”时，部分学生可能会试图去分别求出上底和下底的具体长度，在信息不足的情况下陷入思维死胡同。其实只需将“上底 + 下底”作为一个整体来求解即可。
3. 公式运用不熟练：在求出上下底之和以及高后，计算原梯形面积时容易遗漏公式中的 “×12”，得出 96 平方厘米的错误结果。
变式拓展
一个梯形，如果上底增加 5 厘米，就变成了一个平行四边形，面积比原来增加了 15 平方厘米；如果高增加 3 厘米，面积就增加了 18 平方厘米。求原梯形的面积。
■ 第 8 题 深度解析：
8. 在一条长 288 km 的输油管线两端，甲、乙两架巡检无人机同时从两端起飞，相向飞行。甲无人机的速度是乙无人机的 1.4 倍，4 小时后两机相遇。
（1）乙无人机的速度是多少？
（2）甲无人机比乙无人机每小时快多少千米？
【考点】相遇问题（相向而行）, 速度比与按比例分配, 列方程解应用题 【难度】中等
最终答案
乙无人机 30 千米/时；甲无人机比乙无人机快 12 千米/时（甲无人机 42 千米/时）
思路起点
把情境剥离成“路程—速度—时间”模型：相向而行相遇时，两者4小时一共走完288 km，因此关键等量关系是：
总路程 =（甲速度 + 乙速度）× 相遇时间。
再利用“甲速度是乙速度的1.4倍”把两个速度用同一个未知数表示，就能列方程求出乙速度，进而求甲速度和速度差。
详细解答
草稿验算：总路程288 km，时间4 h，所以合速度=288÷4=72 km/h。若乙=30，则甲=1.4×30=42，合速度42+30=72；4小时路程=72×4=288，吻合。
（1）先求两机的“合速度”（相对速度）：
288 ÷ 4 = 72（千米/时）
说明：4小时相遇，288 km 被两机合走完，所以甲速度 + 乙速度 = 72。
设乙无人机速度为 x 千米/时，则甲无人机速度为 1.4x 千米/时。
列方程：
1.4x + x = 72
2.4x = 72
x = 72 ÷ 2.4 = 30
所以：乙无人机速度是 30 千米/时。
（2）求甲的速度与速度差：
甲速度：1.4 × 30 = 42（千米/时）
速度差：42 − 30 = 12（千米/时）
答：（1）乙无人机速度是 30 千米/时；（2）甲无人机比乙无人机每小时快 12 千米。
学生易错
1. 把“相向而行相遇”误当成“同向追及”，错用“速度差”而不是“速度和”。
2. 合速度求错：把 288 ÷ 4 写成 288 × 4，或忘记单位是“千米/时”。
3. 列方程时把“1.4倍”误写成“+1.4”，或把甲写成 0.4x（把“多40%”和“是1.4倍”混淆）。
4. 解出乙速度后忘了回答第（2）问（速度差），或把差写成 42 ÷ 30 等不符合题意的量。
变式拓展
两列城际列车从相距 360 km 的两站同时相向开出。甲车速度是乙车的 1.2 倍，但乙车在出发后因临时限速停了 0.5 小时（停着不走），之后恢复原速继续行驶。结果两车仍在出发后 5 小时相遇。求甲、乙两车的速度各是多少千米/时？
■ 第 9 题 深度解析：
9. 某科技馆推出“集章”活动。完成一项体验后，可掷同一枚均匀的六面骰子（6个面分别写有1～6），根据点数决定是否获得纪念章1枚。现有三种发放规则。
掷骰子得纪念章
方案甲：掷到点数为2、3、4或5，获得纪念章1枚
方案乙：掷到点数为1或6，获得纪念章1枚
方案丙：掷到点数是质数，获得纪念章1枚
(1) 分别求三种方案中，一次掷骰子获得纪念章的概率。
(2) 若有90名同学每人只掷一次，为了准备纪念章，三种方案下分别预计需要准备多少枚纪念章？
【考点】古典概型（等可能）, 求事件概率（有利情况数/总情况数）, 用概率估计次数（频数预测） 【难度】中等
最终答案
方案甲：2/3；方案乙：1/3；方案丙：1/2；预计分别准备60枚、30枚、45枚
思路起点
先把情境“获得纪念章”抽象成“掷骰子出现某些点数”。因为骰子是均匀的，1～6这6种结果等可能，所以关键是：
1）分别数清每个方案对应的“有利点数”有几个；
2）用“有利情况数 ÷ 总情况数(6)”得到概率；
3）90人各掷一次时，预计获章数≈总次数90×中奖概率。
详细解答
验算要点：总情况数=6。甲有利4个→4/6=2/3；乙有利2个→2/6=1/3；丙质数{2,3,5}共3个→3/6=1/2。90次分别乘：90×2/3=60；90×1/3=30；90×1/2=45。
(1) 求三种方案一次掷骰子获得纪念章的概率
骰子点数1～6等可能出现，共6种结果。
方案甲：点数为2、3、4、5时获章
有利结果数：4个
P(甲)=46=23
方案乙：点数为1或6时获章
有利结果数：2个
P(乙)=26=13
方案丙：点数是质数时获章
1～6中的质数是2、3、5（注意1不是质数）
有利结果数：3个
P(丙)=36=12
答：方案甲的概率是2/3，方案乙的概率是1/3，方案丙的概率是1/2。
(2) 90名同学每人掷一次，预计准备多少枚纪念章
预计获章数≈总次数×获章概率。
方案甲：
列式：90×2/3
计算：90÷3×2=30×2=60（枚）
方案乙：
列式：90×1/3
计算：90÷3=30（枚）
方案丙：
列式：90×1/2
计算：90÷2=45（枚）
答：预计分别准备60枚、30枚、45枚纪念章。
学生易错
1. 把“均匀骰子”忽略，没意识到6种结果等可能，从而不使用“有利/总数”。
2. 方案甲把“2、3、4或5”数错（漏数或多算成5个）。
3. 方案丙对“质数”概念混淆：把1当成质数，或漏掉5，导致有利结果数不为3。
4. 第(2)问把“90×概率”算成“90÷概率”，或乘分数时不先约分，计算出错。
5. 忘写单位（枚）或把“预计需要准备”误解成“最多可能需要”。
变式拓展
变式题（略高）：某游乐园用一个等分转盘，转盘上写着1～8（每个数字被转到的可能性相同）。
规则A：转到的数是6、7或8得奖。
规则B：转到的数是2的倍数但不是4的倍数得奖。
规则C：转到的数是质数得奖。
(1) 分别求三种规则的中奖概率；(2) 若当天有120人各转一次，分别预计会发出多少份奖品？
■ 第 10 题 深度解析：
10. 为了推广绿色低碳出行，某社区团购了一批可折叠环保布袋，单价是 12.5 元。商家推出了“买3送1”的优惠活动（即每买3个就免费赠送1个）。李阿姨因为活动需要，一共拿到了 24 个这样的环保布袋。请问，相比于没有优惠时的原价，李阿姨这次购买一共节省了多少元？
【考点】小数乘法, 最优方案与优惠问题 【难度】中等
最终答案
75 元
思路起点
本题的切入点是理解“买3送1”的优惠机制。每凑齐 4 个布袋（3 个购买 + 1 个赠送）即可看作一个周期组。李阿姨一共拿到了 24 个布袋，我们可以先通过除法计算出 24 个布袋中包含多少个这样的周期组，从而确定其中免费赠送的布袋个数。由于题目问的是“一共节省了多少元”，实际上就是求这些免费赠送的布袋如果按原价购买需要多少钱，以此快速得出答案。
详细解答
我们可以通过以下两种方法进行分步解答：
方法一：通过计算赠送布袋的价值直接求解
1. 计算每个周期组的总个数：
3+1=4（个）
这说明每 4 个布袋为一组，其中有 1 个是免费赠送的。
2. 计算 24 个布袋中一共含有多少组：
24÷4=6（组）
3. 计算免费赠送的布袋总个数：
6×1=6（个）
4. 计算一共节省的金额（即 6 个赠送布袋的原价总和）：
6×12.5=75（元）
方法二：通过总原价与实际付款的差额求解
1. 计算如果没有任何优惠，购买 24 个布袋的总原价：
24×12.5=300（元）
2. 计算 24 个布袋中，实际需要付款的布袋数量。因为 24÷(3+1)=6 组，每组只需付 3 个的钱：
6×3=18（个）
3. 计算实际付款的总金额：
18×12.5=225（元）
4. 计算节省的金额：
300−225=75（元）
答：李阿姨这次购买一共节省了 75 元。
学生易错
1. 概念混淆：误以为“买3送1”是买 3 个只用付 2 个的钱，或者在计算组数时直接用 24÷3 进行计算，忽略了赠送的 1 个也包含在总数 24 个之中。
2. 审题不仔细：没有注意到问题求的是“一共节省了多少元”，而是习惯性地在求出“实际付了 225 元”后直接将其作为答案输出。
变式拓展
为了筹备学校的科学创意节，王老师需要购买一种单价为 16.5 元的科学实验包。商家正在进行“买4送1”的促销活动。如果王老师有 330 元的预算，他利用这个优惠活动最多可以为学生们带回多少套这样的实验包？