2026年湖南岳阳市岳阳县第一中学高二下册4月月考试数学试题 [含解析]

这是一份2026年湖南岳阳市岳阳县第一中学高二下册4月月考试数学试题 [含解析]，共6页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合，那么（ ）
A. B. C. D.
2. 若，则复数（ ）
A. B. C. D.
3. 某种植园种植的脐橙单果质量（单位：g）近似服从正态分布，现有10000个该种植园种植的脐橙，估计其中单果质量不低于210g的脐橙个数为（ ）
附：若，则，.
A. 130B. 228C. 260D. 1587
4. 若函数是奇函数，则实数（ ）
A. B. 1C. D. 2
5. 某块农田上播种的一等小麦种子中含有的二等种子.已知一等小麦种子结出的麦穗每穗含有50颗以上麦粒的概率为0.5，若在该块农田种出的小麦中，有的麦穗含有50颗以上麦粒，则二等小麦种子结出的麦穗每穗含有50颗以上的麦粒的概率为（ ）
A. B. C. D.
6. 过直线上的动点向圆引切线，切点为，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
8. 是函数的极值点，则a的值为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题（每题5分，共15分）
9. 市物价部门对5家商场的某商品一天的线上销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x（元）和销售量y（件）之间的一组数据如表所示：
按公式计算，y与x的回归直线方程是：，相关系数，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 变量x，y线性负相关且相关性较强
C. 相应于点的残差约为D. 当时，y的估计值为14.4
10. 已知椭圆的左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，，是上异于，的动点，则下列结论正确的是（ ）
A. 直线和的斜率之积为定值
B. 的最小值为-1
C. 若的面积为5，则
D. 若的角平分线与轴交于点，则内切圆的半径为
11. 已知均为正实数，则下列说法正确的是（ ）
A. 的最小值是2
B. 若，则的最小值为8
C. 若，则的最小值为16
D. 若，则的最小值为
三、填空题（每题5分，共15分）
12. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则的面积为______.
13. 若函数在定义域内单调递增，则实数的取值范围为________
14. 一个袋子里有大小和质地相同的5个球，标号为1，2，3，4，5，从中有放回地随机取球，每次取1个球，共取5次，把每次取出的球的标号排成一列数，则这列数中恰有4个不相同的数的概率为________．
四、解答题（共80分）
15. 在中，角，，所对的边分别为，已知，．
（1）求的值；
（2）若，求边上的高．
16. 国民体质是国家和社会发展的重要基础．为贯彻落实《“健康中国2030”规划纲要》《体育强国建设纲要》，2025年国家体育总局开展了第六次全国国民体质监测工作，旨在提高国民体质和健康水平，促进国家经济建设和社会发展．《国民体质测定标准（2023年修订）》将体质情况综合评级为优秀、良好、合格和不合格四个等级．某地区为了解国民体质情况是否与爱好运动有关，从该地区体质达到“合格”及以上的人群中随机抽取了人进行问卷调查，得到如下列联表：
（1）求的值，并依据小概率值的独立性检验，分析体质情况是否与爱好运动有关；
（2）在体质情况综合评级为“合格”的对象中，按是否爱好运动进行分层，用比例分配的分层随机抽样方法，从样本中抽取6人作进一步调查，再从这6人中随机抽取2人线下访谈，记这2人中“爱好运动”的人数为X，求X的分布列及数学期望．
附：，其中．
17. 已知椭圆的离心率为，右焦点为，点，点T是椭圆C上位于第四象限内的任意一点.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点P作椭圆C的两条切线，，过点T作椭圆C的切线l，l与，的交点分别为M，N，
（ⅰ）求切线，的方程：
（ⅱ）问是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，说明理由.
18. 设函数，曲线在点处的切线方程为.
（1）求的值；
（2）若在定义域内恰有2个零点，求的取值范围；
（3）记点，当时，曲线在点处的切线与轴交于点，求三角形面积的最大值.
19. 已知函数，其中a为常数.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若对任意的，都有恒成立，求实数a的取值范围；
（3）设，求证：当时，.
数学
一、单选题（每题5分，共40分）
1. 已知集合，那么（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：利用集合的交集运算即可求解.
解答过程：因为，所以．
2. 若，则复数（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
解答过程：由得.
3. 某种植园种植的脐橙单果质量（单位：g）近似服从正态分布，现有10000个该种植园种植的脐橙，估计其中单果质量不低于210g的脐橙个数为（ ）
附：若，则，.
A. 130B. 228C. 260D. 1587
答案：B
解析：
思路：由条件求出和值，依据正态分布的对称性可得质量不低于210g的概率，即可得解.
解答过程：由可知，
，
故估计其中单果质量不低于210g的脐橙个数为.
故选：B.
4. 若函数是奇函数，则实数（ ）
A. B. 1C. D. 2
答案：A
解析：
思路：由奇函数得，解出，根据奇函数的定义验证即可求解.
解答过程：因为函数是奇函数，定义域为，所以，所以，
解得．当时，验证得是奇函数．
5. 某块农田上播种的一等小麦种子中含有的二等种子.已知一等小麦种子结出的麦穗每穗含有50颗以上麦粒的概率为0.5，若在该块农田种出的小麦中，有的麦穗含有50颗以上麦粒，则二等小麦种子结出的麦穗每穗含有50颗以上的麦粒的概率为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
解答过程：设“二等小麦种子结出的麦穗每穗含有颗以上的麦粒”的概率为，麦穗含有颗以上麦粒为事件，种子为一等种子为事件，种子为二等种子为事件
根据题目条件可知，，，，
根据全概率公式，可得，解得.
6. 过直线上的动点向圆引切线，切点为，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：分析可知当与直线垂直时，取最小值，利用点到直线的距离公式可求出的最小值，结合勾股定理可求得的最小值.
解答过程：连接，则，如下图所示：
圆的圆心为坐标原点，半径为，由勾股定理可得，
所以当取最小值时，取最小值，
故当与直线垂直时，取最小值，
即的最小值为，
所以.
故选：B.
7. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：根据同角的三角函数关系及两角和与差的余弦公式求解即可.
解答过程：由题意得，所以，
即，又，
所以，，所以．
8. 是函数的极值点，则a的值为（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
解答过程：求导得：，
因为是极值点，所以，
即，
代入 ​得，
在左右导数符号改变，确实是极值点，符合条件，
因此的值为.
二、多选题（每题5分，共15分）
9. 市物价部门对5家商场的某商品一天的线上销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x（元）和销售量y（件）之间的一组数据如表所示：
按公式计算，y与x的回归直线方程是：，相关系数，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 变量x，y线性负相关且相关性较强
C. 相应于点的残差约为D. 当时，y的估计值为14.4
答案：BD
解析：
思路：A选项，计算出样本中心点，代入回归直线方程得；B选项，随着的增大而减小，又，B正确；C选项，当时，，从而计算出残差约为0.4；D选项，代入，得到答案.
解答过程：A选项，，，
将代入回归直线方程得，，解得，A错误；
B选项，从表可以看出，随着的增大而减小，又，接近于1，
所以变量x，y线性负相关且相关性较强，B正确；
C选项，回归直线方程为，当时，，
，故相应于点的残差约为0.4，C错误；
D选项，当时，y的估计值为，D正确.
故选：BD
10. 已知椭圆的左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，，是上异于，的动点，则下列结论正确的是（ ）
A. 直线和的斜率之积为定值
B. 的最小值为-1
C. 若的面积为5，则
D. 若的角平分线与轴交于点，则内切圆的半径为
答案：ACD
解析：
解答过程：由题可得，，，.
设，则，，A正确；
，，，B不正确；
若的面积为5，则，
根据对称性，不妨令位于第一象限，可得，
则，，，
由，得，C正确；
由点可得，，因为平分，所以；
又，所以，，
在中，以为底，点到的距离为，
所以的面积为，
设内切圆的半径为，则，解得，D正确.
11. 已知均为正实数，则下列说法正确的是（ ）
A. 的最小值是2
B. 若，则的最小值为8
C. 若，则的最小值为16
D. 若，则的最小值为
答案：BCD
解析：
思路：利用基本不等式即可判定ABC，设，利用导数研究单调性得，进而利用基本不等式即可判定D.
解答过程：对于A：，当且仅当时取等号，但不成立，故A错误；
对于B：x，y均为正实数，满足，因为，所以，
又因为，解得，同理，，
当且仅当时取等号（此时），所以的最小值为8，故B正确；
对于C：因为，，，所以，
当时，即，即，时等号成立，所以的最小值为16，故C正确；
对于D：由题意可得，
设，则在上恒成立，
则在上单调递增，且，
由的单调性可得，，
则，又因为，则有，
当且仅当时等号成立，即因此的最小值为，故D正确．
三、填空题（每题5分，共15分）
12. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则的面积为______.
答案：
解析：
解答过程：由余弦定理可得，，
因为，所以，
故的面积为.
13. 若函数在定义域内单调递增，则实数的取值范围为________
答案：
解析：
思路：由恒成立，使用分离参数方法，再利用基本不等式求得的取值范围即可.
解答过程：依题意知，
因为函数在单调递增，
所以，即对任意恒成立，
所以对任意恒成立，
又因为（当且仅当时取“”），
所以.
故
14. 一个袋子里有大小和质地相同的5个球，标号为1，2，3，4，5，从中有放回地随机取球，每次取1个球，共取5次，把每次取出的球的标号排成一列数，则这列数中恰有4个不相同的数的概率为________．
答案：
解析：
思路：求得总的取法数及符合条件的取法数，利用古典概型概率公式可求解.
解答过程：由题知是有放回地取球，所以每次都有5种不同取法，总取法有种，
而这列数中恰有4个不相同的数的取法有种，
故这列数中恰有4个不相同的数的概率为．
四、解答题（共80分）
15. 在中，角，，所对的边分别为，已知，．
（1）求的值；
（2）若，求边上的高．
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）利用余弦定理求解即可.
（2）利用三角形面积公式，利用等积法求解即可．
（1）在中，，，
由余弦定理得，
得到，故.
（2）由（1）可知，因为，所以，，
设边上的高为h，则，可得，
故边上的高为．
16. 国民体质是国家和社会发展的重要基础．为贯彻落实《“健康中国2030”规划纲要》《体育强国建设纲要》，2025年国家体育总局开展了第六次全国国民体质监测工作，旨在提高国民体质和健康水平，促进国家经济建设和社会发展．《国民体质测定标准（2023年修订）》将体质情况综合评级为优秀、良好、合格和不合格四个等级．某地区为了解国民体质情况是否与爱好运动有关，从该地区体质达到“合格”及以上的人群中随机抽取了人进行问卷调查，得到如下列联表：
（1）求的值，并依据小概率值的独立性检验，分析体质情况是否与爱好运动有关；
（2）在体质情况综合评级为“合格”的对象中，按是否爱好运动进行分层，用比例分配的分层随机抽样方法，从样本中抽取6人作进一步调查，再从这6人中随机抽取2人线下访谈，记这2人中“爱好运动”的人数为X，求X的分布列及数学期望．
附：，其中．
答案：（1），体质情况与爱好运动有关.
（2）的分布列为：
.
解析：
思路：（1）求出参数值并完善表格，根据公式计算的值后可得正确判断；
（2）先确定的所有可能取值，根据超几何分布计算概率后结合期望公式可求.
（1）由表中数据可得，表格完善如下：
设：体质情况与爱好运动无关，
则，
根据依据小概率值的独立性检验，否定，故体质情况与爱好运动有关.
（2）易知名体质情况“合格”对象中有人爱好运动，人不爱好运动，
故的所有可能取值为0，1，2，
，，，
即所求分布列为
所以的期望.
17. 已知椭圆的离心率为，右焦点为，点，点T是椭圆C上位于第四象限内的任意一点.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点P作椭圆C的两条切线，，过点T作椭圆C的切线l，l与，的交点分别为M，N，
（ⅰ）求切线，的方程：
（ⅱ）问是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，说明理由.
答案：（1）
（2）（ⅰ），；（ⅱ）为定值，定值为90°.
解析：
思路：（1）根据离心率、焦点坐标确定椭圆的参数，即可得；
（2）（i）设过点P的直线方程为，联立椭圆并结合相切关系得求直线的斜率，即可得；（ii）利用相切关系求得，结合（2）所得，求交点坐标，再应用向量数量积的坐标运算求得，即可得.
（1）由题意得，，解得，，所以椭圆C的标准方程为.
（2）（ⅰ）由题意，设过点P的直线方程为，联立，
消去y并整理得，
由，即，解得，.
所以切线方程分别为，.
（ⅱ）设且，则且，联立，
所以，则，
由相切关系知，则，
所以，则，
由，则，
所以，则，得，
所以，即，
由，联立直线得，则，
由，联立直线得，，则，
因为，，，
所以，即，
故为定值，且定值为90°.
18. 设函数，曲线在点处的切线方程为.
（1）求的值；
（2）若在定义域内恰有2个零点，求的取值范围；
（3）记点，当时，曲线在点处的切线与轴交于点，求三角形面积的最大值.
答案：（1）
（2） （3）
解析：
思路：（1）利用导数的几何意义求出方程组即可解得；
（2）转化为与有2个交点，然后利用判断单调性、得出极值和值域，最后得出的取值范围；
（3）求出切线方程并求得三角形面积，再构造函数利用导数求出的最大值即可；
（1）因为，所以，
因为在处的切线方程为，
所以，
则，解得，
所以；
（2）在定义域内恰有2个零点等价于与有2个交点
由（1）可得，故，
当时，，即在上单调递减；
当时，，即在上单调递增；
又因为，所以当时，；
当时，有最大值；
当时，
所以的取值范围为.
（3）当时，因为在点处的切线方程为：，
令，得，所以，
所以
由，得，由，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以时，取得极大值，也是最大值为.
即三角形面积的最大值为
19. 已知函数，其中a为常数.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若对任意的，都有恒成立，求实数a的取值范围；
（3）设，求证：当时，.
答案：（1）函数的单调递增区间为，，单调递减区间为
（2） （3）证明见详解
解析：
思路：（1）求导，根据导数的符号判断函数的单调区间；
（2）根据题意分析可知，利用导数分析可知在内单调递减，结合恒成立问题运算求解即可；
（3）令，利用导数分析的单调性可得，结合，可得，即可得结果.
（1）当时，则的定义域为，且，
令，解得或；令，解得；
所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为.
（2）因为，
若，当趋近于时，趋近于，不合题意，所以，
因为，
且，则，，则，
可知在内单调递减，则，
可得，解得，
所以实数a的取值范围为.
（3）令，
则，
因为，，则，，
令，解得；令，解得；
可知在内单调递增，在内单调递减，
则，
因为，则，可得，
即，所以当时，.价格x
9
9.5
10
10.5
11
销售量y
11
10
8
6
5
体质情况
组别
合格
良好及以上
合计
爱好运动
不爱好运动
合计
价格x
9
9.5
10
10.5
11
销售量y
11
10
8
6
5
体质情况
组别
合格
良好及以上
合计
爱好运动
不爱好运动
合计
0
1
2
体质情况
组别
合格
良好及以上
合计
爱好运动
不爱好运动
合计
0
1
2