2025--2026学年江苏省扬州市树人集团高一下册期中考试数学试题 [含解析]

这是一份2025--2026学年江苏省扬州市树人集团高一下册期中考试数学试题 [含解析]，共6页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 化简，得（ ）
A. B. C. D.
2. 已知向量，，若，则锐角α为（ ）
A. 30°B. 60°C. 45°D. 75°
3. 如果直线分别是长方体的相邻两个面的对角线所在的直线，那么与的位置关系是（ ）
A. 相交B. 异面C. 平行D. 相交或异面
4. 已知，则（ ）
A. 4B. 3C. D.
5. 已知=(2,3)，=(3，t)，=1，则=
A. -3B. -2
C. 2D. 3
6. 一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，2小时后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是（ ）
A. 海里B. 海里C. 海里D. 海里
7. 在中，角、、的对边分别为、、，且的面积，则（ ）
A. B. C. D.
8. 已知点，点，点都在单位圆上，且，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
二、多选题（本大题共3小题，共18分）
9. 在△ABC中，， 若△ABC是直角三角形，则k的值可能为（ ）
A. －B.
C. D.
10. 在中，，，，则（ ）
A. B. 的面积为
C. 外接圆直径是D. 内切圆半径是
11. 已知，若，则（ ）
A. B.
C. D. 在上的投影向量为
三、填空题（本大题共3小题，每题5分，共15分）
12. 函数的值域是__________．
13. 如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若＝，则的值是________．
14. 在斜三角形中，角的对边分别为．若，则的最大值为__________．
四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出证明过程或演算步骤）
15. （1）已知，求的值；
（2）已知，求的值．
16. 如图，在菱形中，.
（1）若，求的值；
（2）若，求.
17. 在中，角、、的对边分别为、、．已知．
（1）求的值；
（2）在边上取一点，使得，求的值．
18. 已知，，与的夹角为.
（1）若与共线，求实数的值；
（2）求的值；
（3）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围.
19. 已知向量，函数．
（1）求函数的解析式和单调递增区间；
（2）若分别为三个内角的对边，，试判断这个三角形解的个数，并说明理由；
（3）若时，关于的方程恰有三个不同的实根，求实数的取值范围及的值．
数学
一、选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分）
1. 化简，得（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：由两角和的正弦公式即可求解.
解答过程：
2. 已知向量，，若，则锐角α为（ ）
A. 30°B. 60°C. 45°D. 75°
答案：A
解析：
思路：利用向量平行列方程，即可求出锐角α.
解答过程：因为，所以sin2α，∴sin α＝±．
又α为锐角，所以α＝30°．
故选：A
3. 如果直线分别是长方体的相邻两个面的对角线所在的直线，那么与的位置关系是（ ）
A. 相交B. 异面C. 平行D. 相交或异面
答案：D
解析：
思路：结合图形，分别讨论与是从同一点出发的对角线和与不是从同一点出发的对角线时即可得结论.
解答过程：如图：长方体中，
直线，分别是长方体的相邻两个面的对角线所在的直线，
当与是从同一点出发的对角线时，如图和，此时与相交，
当与不是从同一点出发的对角线时，如图和，此时与异面，
所以与相交或异面.
4. 已知，则（ ）
A. 4B. 3C. D.
答案：C
解析：
解答过程：，；
又，，得；
.
5. 已知=(2,3)，=(3，t)，=1，则=
A. -3B. -2
C. 2D. 3
答案：C
解析：
思路：根据向量三角形法则求出t，再求出向量的数量积.
解答过程：由，，得，则，．故选C．
方法提示：本题考点为平面向量的数量积，侧重基础知识和基本技能，难度不大．
6. 一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，2小时后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是（ ）
A. 海里B. 海里C. 海里D. 海里
答案：A
解析：
思路：由题设作示意图，应用正弦定理求B，C两点间的距离即可.
解答过程：由题设可得如下示意图，且，即，
由图知：，则，又，
所以，则海里.
故选：A
7. 在中，角、、的对边分别为、、，且的面积，则（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：根据已知条件，结合余弦定理，以及三角形的面积公式，即可求解．
解答过程：解：的面积，
，又，
则，
，，
，，，，，
．
8. 已知点，点，点都在单位圆上，且，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
答案：A
解析：
思路：设的中点为，得，，将化为，根据可得结果.
解答过程：设的中点为，因为，，所以，，
，
因为，所以.

故选：A
二、多选题（本大题共3小题，共18分）
9. 在△ABC中，， 若△ABC是直角三角形，则k的值可能为（ ）
A. －B.
C. D.
答案：ABC
解析：
思路：由题意，若是直角三角形，分析三个内有都有可能是直角，分别讨论三个角是直角的情况，根据向量垂直的坐标公式，即可求解.
解答过程：若为直角，则即
解得
若为直角，则即
解得
若为直角，则，即
解得
综合可得，的值可能为
故选：ABC.
方法提示：本题考查向量垂直的坐标公式，考查分类讨论思想和计算能力.
10. 在中，，，，则（ ）
A. B. 的面积为
C. 外接圆直径是D. 内切圆半径是
答案：ACD
解析：
思路：A利用余弦定理计算来判断
B利用三角形的面积公式计算即可；
C利用正弦定理计算即可；
D利用即可求出内切圆半径.
解答过程：解：，
由于在中，则，
故，A正确；
，B错误；
设外接圆半径为，，C正确；
设内切圆半径为，则，
即，解得，D正确.
故选：ACD.
11. 已知，若，则（ ）
A. B.
C. D. 在上的投影向量为
答案：AD
解析：
思路：根据向量线性运算及相等的条件可得，再利用三角恒等变形可得，继而可判断各项.
解答过程：，，故A正确；
，
，即，
相加得，
解得，
，
，故BC错误；
,
在上的投影向量为,故D正确；
故选：AD.
三、填空题（本大题共3小题，每题5分，共15分）
12. 函数的值域是__________．
答案：
解析：
思路：由诱导公式和余弦二倍角公式，通过换元转换成二次函数求值域即可.
解答过程：利用诱导公式 ，二倍角公式 ，
代入原函数得：
换元转化为二次函数： 令 ，
由余弦函数性质得 ，函数转化为：，
该二次函数开口向上，对称轴为 ​，
因此二次函数在 上单调递减，
当 时，取最小值 ，
当 时，取最大值 ，
因此 的值域为.
13. 如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若＝，则的值是________．
答案：
解析：
思路：根据矩形的垂直关系和长度关系，先利用平面向量加法的运算律求解，，再利用运算律转化求即可.
解答过程：∵，，
∴，
∴，，
∴，
∵,
,，
故答案为.
14. 在斜三角形中，角的对边分别为．若，则的最大值为__________．
答案：
解析：
思路：根据已知得到、且，进而有，应用换元法，令，则，结合二次函数的性质即可求解.
解答过程：由三角形为斜三角形且，故，
又，，，
则，而，
所以，则，
所以
令，则，
所以，
当时，取得最大值.
四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出证明过程或演算步骤）
15. （1）已知，求的值；
（2）已知，求的值．
答案：（1）；（2）
解析：
思路：（1）通过对条件平方，相加即可求解；
（2）利用角的变换，结合两角差的正弦公式即可求解；
解答过程：（1）将两个已知等式分别两边平方：
两式相加可得：
，
化简得：，
解得；
（2）因为， ，
因此；
由得，
又，故， ，
因此，
所以
.
16. 如图，在菱形中，.
（1）若，求的值；
（2）若，求.
答案：（1）1 （2）9
解析：
思路：（1）利用向量的线性运算求，结合平面向量的基本定理求得，进而求得.
（2）先求得，然后利用转化法求得.
（1）因为，
所以，
所以，
所以，
故.
（2），
，
为菱形，，
所以，
.
17. 在中，角、、的对边分别为、、．已知．
（1）求的值；
（2）在边上取一点，使得，求的值．
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）利用余弦定理求得，利用正弦定理求得；
（2）根据的值，求得的值，由（1）求得的值，从而求得的值.
（1）由余弦定理得，
所以.
由正弦定理得.
（2）由于，，
所以.
由于，所以，所以.
所以
.
由于，所以.
18. 已知，，与的夹角为.
（1）若与共线，求实数的值；
（2）求的值；
（3）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围.
答案：（1）
（2） （3）
解析：
思路：（1）利用向量共线定理得到方程组，解出即可；
（2）根据向量数量积的运算律和定义计算即可；
（3）根据向量夹角为锐角，则向量数量积大于0，并去掉共线同方向的情况即可.
（1）因为与共线，
所以存在实数使得，
所以，解得，所以；
（2）因为，，与的夹角为，
所以，
所以，
则；
（3）向量与的夹角是锐角，
可得，且与不同向共线，
即为，
即有，解得，
由与共线，可得，
解得，当时，两者同向共线，
则实数的取值范围为.
19. 已知向量，函数．
（1）求函数的解析式和单调递增区间；
（2）若分别为三个内角的对边，，试判断这个三角形解的个数，并说明理由；
（3）若时，关于的方程恰有三个不同的实根，求实数的取值范围及的值．
答案：（1）；
（2）答案见解析 （3）；
解析：
思路：（1）根据题意，利用向量的数量积的运算公式，求得函数的解析式，结合正弦型函数的性质，即可求解；
（2）由（1）得到，根据，求得，结合正弦定理，分类讨论，即可求解；
（3）根据题意，转化为有三个不同的实数根，求得或，结合正弦函数的性质，即可求解.
（1）解：由向量，
可得，
令，解得，
所以函数的单调递增区间为.
（2）由（1）知：，
因为，可得，所以，
解得，因为，所以，
假设三角形存在，由正弦定理，可得，
①当时，可得，因为，此时不存在；
②当时，可得，可得，此时有唯一的解；
③当时，可得，此时，
因为，所以有两个不同的值，所以有两解；
④当时，，所以，此时有唯一的解，
综上可得：当时，不存在；
当时，有唯一的解；
当时，有两解；
当时， 有唯一的解.
（3）解：由（1）知：，
所以方程可化为，
即，整理得，
即，所以或，
因为，所以方程有三个不同的实数根，
当时，；
所以在有两个不同的实数根为，
又因为，可得，
且在单调递增，在单调递减，
要使得在有两个不同于的实数根为，
则满足，解得，
由正弦函数的对称性，可得关于对称，可得，所以，
所以.
注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项：
1．本试卷满分150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将答题卡交回．
2．答题前，请将自己的姓名、考试号用0.5毫米黑色签字笔填涂在答题卡指定的位置．
3．选择题答案用2B铅笔在答题卡上把对应题目的答案标号涂黑，非选择题用0.5mm的黑色签字笔在每题对应的答题区域内做答，在其他位置作答一律无效．
注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项：
1．本试卷满分150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将答题卡交回．
2．答题前，请将自己的姓名、考试号用0.5毫米黑色签字笔填涂在答题卡指定的位置．
3．选择题答案用2B铅笔在答题卡上把对应题目的答案标号涂黑，非选择题用0.5mm的黑色签字笔在每题对应的答题区域内做答，在其他位置作答一律无效．