2025--2026学年甘肃徽县第一中学高一下册5月期中考试数学试题 [含答案]

这是一份2025--2026学年甘肃徽县第一中学高一下册5月期中考试数学试题 [含答案]，共5页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知为虚数单位，若复数是纯虚数，则实数等于（ ）
A. B. 2C. D. 6
2. 已知，，若，则实数（ ）
A. B. C. 1D. 2
3. 已知复数，则（ ）
A. 2B. C. 0D.
4. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与C的左、右支分别交于点P、Q.若，且，则C的离心率为（ ）
A. 3B. 2C. D.
5. 如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，则平面图形中对角线的长度为（ ）
A. B. C. D.
6. 在中，是上一点，满足是的中点，若，则（ ）
A. B. 1C. D.
7. 已知向量满足，则（ ）
A. 2B. C. 4D.
8. 正n边形有n条边,它们对应的向量依次为a1,a2,a3,…,an,则这n个向量( )
A. 都相等B. 都共线C. 都不共线D. 模都相等
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 关于复数（为虚数单位），下列说法正确的有（ ）
A.
B. 复数对应的点在第二象限
C.
D. 复数是方程的一个根
10. 已知为两个互相垂直的单位向量，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.
C. 若，则
D. 若，则的最小值为
11. 已知圆柱的轴截面是边长为的正方形，正三棱锥的底面边长为，侧棱长为，则（ ）
A. 正三棱锥与圆柱的体积的比值为
B. 正三棱锥与圆柱的侧面积的比值小于
C. 正三棱锥外接球的体积与圆柱外接球的体积相等
D. 正三棱锥的内切球与圆柱的内切球的半径的比值小于
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，，则__________．
13. 的内角的对边分别为.已知，则的面积为__________.
14. 平面凸四边形中，，，，，若满足上述条件的平面凸四边形有且只有1个，则的取值范围为_______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知函数，（）．
（1）当时，求函数的对称中心；
（2）若为偶函数，不等式在上恒成立，求实数m的取值范围；
（3）若过点，设，若对任意的，，都有，求实数a的取值范围．
16. 如图，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与，轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为仿射坐标系，若在仿射坐标系下，则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为．已知在仿射坐标系下，，．
（1）求向量，的仿射坐标；
（2）若点是线段上的动点（含端点），当时，求的取值范围；
（3）设，若对恒成立，求的最大值．
17. 如图，三棱台中，侧面四边形为等腰梯形，底面三角形为正三角形，且，设为棱上的点.
（1）若为棱的中点，求证；
（2）若三棱台两底面间的距离为，且侧面底面，试探究是否存在点，使直线与平面所成角的正弦值为？若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由.
18. 若，是两个非零向量，求证：当时， 最小.
19. 在中，角所对的边分别为，，，已知.
（1）求；
（2）若的面积为，且，求的最小值.
数学
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合.
1. 已知为虚数单位，若复数是纯虚数，则实数等于（ ）
A. B. 2C. D. 6
答案：C
解析：
思路：根据乘法运算法则，化简整理，结合纯虚数的定义，即可得答案.
解答过程：复数，
因为是纯虚数，所以，解得.
2. 已知，，若，则实数（ ）
A. B. C. 1D. 2
答案：D
解析：
思路：根据向量的线性运算及向量的共线结论可得.
解答过程：因为，，所以，，
由，所以，解得．
3. 已知复数，则（ ）
A. 2B. C. 0D.
答案：A
解析：
解答过程：对于复数，其共轭复数为 ，
故.
4. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与C的左、右支分别交于点P、Q.若，且，则C的离心率为（ ）
A. 3B. 2C. D.
答案：A
解析：
思路：由向量的关系求出线段之间的关系，设，则，，再由双曲线的定义可得，，再由数量积为可得直线的垂直，分别在两个直角三角形中由余弦定理可得，的关系，可求出离心率．
解答过程：，设，则，，
由双曲线的定义可得，，
因为，
在中，由余弦定理有，
即，①
在中，由余弦定理有，
即，②
由②可得，代入①可得，即.
所以C的离心率为：，
故选：A.
5. 如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，则平面图形中对角线的长度为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：根据题意，结合斜二测画法的原几何图形，进而求得其对角线长，得到答案.
解答过程：由梯形的直观图，结合斜二测画法，得到原几何图形是直角梯形，
如图所示，其中，，
所以.
故选：C．
6. 在中，是上一点，满足是的中点，若，则（ ）
A. B. 1C. D.
答案：C
解析：
思路：利用平面向量线性运算计算即可.
解答过程：是的中点，，
又，
从而得到，进而可知.
7. 已知向量满足，则（ ）
A. 2B. C. 4D.
答案：C
解析：
解答过程：由题设有，
故，故，即.
8. 正n边形有n条边,它们对应的向量依次为a1,a2,a3,…,an,则这n个向量( )
A. 都相等B. 都共线C. 都不共线D. 模都相等
答案：D
解析：
解答过程：正n边形n条边相等,故这n个向量的模相等.
故选：D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 关于复数（为虚数单位），下列说法正确的有（ ）
A.
B. 复数对应的点在第二象限
C.
D. 复数是方程的一个根
答案：ACD
解析：
思路：利用复数模公式，共轭复数概念，复数乘法，复数对应点坐标，复数方程根逐项分析即可.
解答过程：对于A，因为复数，所以，故A正确；
对于B，因为复数，
所以对应的点为位于第四象限，故B错误；
对于C，因为复数，
所以，故C正确；
对于D，因为复数，
所以，故D正确.
10. 已知为两个互相垂直的单位向量，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.
C. 若，则
D. 若，则的最小值为
答案：BD
解析：
思路：利用向量的数量积以及向量运算逐项验证即可求解.
解答过程：由题意得，所以，
所以，故A错误；
由，所以，故B正确；
又，
所以，所以，
，故C错误；
，
当时，，所以的最小值为，故D正确.
11. 已知圆柱的轴截面是边长为的正方形，正三棱锥的底面边长为，侧棱长为，则（ ）
A. 正三棱锥与圆柱的体积的比值为
B. 正三棱锥与圆柱的侧面积的比值小于
C. 正三棱锥外接球的体积与圆柱外接球的体积相等
D. 正三棱锥的内切球与圆柱的内切球的半径的比值小于
答案：BC
解析：
思路：分别计算正三棱锥和圆柱的体积、侧面积，求解判断A、B；分别计算正三棱锥和圆柱的外接球、内切球的体积和半径，求解判断C、D.
解答过程：如图，设点在底面ABC内的射影为点，连接CH，则，
则.
正三棱锥的侧面积为.
设正三棱锥的外接球的球心为，外接球的半径为，则在直线SH上，
由，得.设正三棱锥内切球的半径为，则.
对于A：圆柱的体积为，A错误；
对于B：圆柱的侧面积为，B正确；
对于C：圆柱外接球的半径，C正确；
对于D：圆柱内切球的半径，D错误.
故选：BC.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，，则__________．
答案：2
解析：
解答过程：设，.
，，即.
.
13. 的内角的对边分别为.已知，则的面积为__________.
答案：
解析：
解答过程：的内角的对边分别为.
，
利用正弦定理可得，
由于，
所以，
所以，则或
由于，故为锐角，所以，
由，得，解得，
所以.
14. 平面凸四边形中，，，，，若满足上述条件的平面凸四边形有且只有1个，则的取值范围为_______.
答案：
解析：
思路：以为圆心，为半径画圆，观察能使平面凸四边形有且只有1个的点个数，再求解
解答过程：在中，由余弦定理可得，
所以，是直角三角形，，
，
，
如下图，设点到的距离为，，要想构成平面凸四边形，必有，
当，满足条件的平面凸四边形恰好只有1个，

如下图，当，满足条件的平面凸四边形有且只有2个，舍去，
③如下图，延长交于，由图可知，
，
由正弦定理得：
计算得，
，
，
综上所述：的取值范围是.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知函数，（）．
（1）当时，求函数的对称中心；
（2）若为偶函数，不等式在上恒成立，求实数m的取值范围；
（3）若过点，设，若对任意的，，都有，求实数a的取值范围．
答案：（1）
（2） （3）
解析：
思路：（1）结合正弦函数的性质求出；
（2）先求出的解析式，再利用辅助角公式化简，再将问题转化为求的最值即可；
（3）先求出的解析式，求出值域，再将问题转化为对任意的，都有，令，得出对任意的恒成立，再利用参变分离求出即可.
（1）当时，，
令，得，
故函数的对称中心为；
（2）因为为偶函数，所以，
因为，所以，则，
则
，
若，则，则，
因为不等式在上恒成立，
所以，，
得，
故实数m的取值范围为；
（3）因为过点，所以，
因为，所以，则，得，
即，
因为，所以，则，
因为对任意的，，都有，
所以，
则对任意的，都有，
则，
令，则对任意的恒成立，
若，则恒成立；
若，则，
因为在上单调递减，
所以，则，即；
若，则，
因为在上单调递减，
所以，则，
即；
综上，实数a的取值范围是.
16. 如图，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与，轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为仿射坐标系，若在仿射坐标系下，则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为．已知在仿射坐标系下，，．
（1）求向量，的仿射坐标；
（2）若点是线段上的动点（含端点），当时，求的取值范围；
（3）设，若对恒成立，求的最大值．
答案：（1），
（2） （3）
解析：
思路：（1）根据平面向量坐标运算法则计算可得结果；
（2）以，为基底表示出，再由向量数量积的运算律计算可得结果；
（3）将不等式 转化为关于的二次函数形式，利用判别式即可求出的取值范围，可得其最大值.
（1）由，，可得
；；
（2）若，则，
设，，
，
，

；
，．
（3）由 对恒成立，即恒成立；
，
对恒成立，
即对恒成立，
，
即 ，所以的最大值为.
17. 如图，三棱台中，侧面四边形为等腰梯形，底面三角形为正三角形，且，设为棱上的点.
（1）若为棱的中点，求证；
（2）若三棱台两底面间的距离为，且侧面底面，试探究是否存在点，使直线与平面所成角的正弦值为？若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由.
答案：（1）证明见解析
（2）存在，与点重合
解析：
思路：(1)利用线面垂直证明线线垂直；
(2)建立空间直角坐标系，利用坐标法求直线与平面所成角的正弦值为时点的位置.
（1）如图：取中点，连接，因为四边形为等腰梯形，且为中点，所以.
又为正三角形，所以
平面，所以平面
又平面，所以
（2）设中点为，连接，则，
又侧面底面，侧面底面侧面，
所以底面
又底面，所以
又，所以两两垂直，
故可以为原点，所在的直线分别为轴建立如图空间直角坐标系.
因为三棱台两底面间的距离为，即，
又三角形为正三角形，且，
则，设，
则
设平面的法向量为，则，
可取
设直线与平面所成的角为，
则
由
所以，故或（因为，故舍去），此时与点重合，
所以当与点重合时，直线与平面所成角的正弦值为.
18. 若，是两个非零向量，求证：当时， 最小.
答案：证明见解析
解析：
解答过程：当与垂直时， ，即，
又，是两个非零向量，
所以；
所以
，
所以当时， 取得最小值，
所以时， 的值最小.
19. 在中，角所对的边分别为，，，已知.
（1）求；
（2）若的面积为，且，求的最小值.
答案：（1）
（2）.
解析：
思路：（1）利用正弦定理以及余弦定理计算可得，可求；
（2）由三角形面积公式以及向量表示，利用向量数量积的运算律可得的最小值为.
（1）由正弦定理得，
即，
由余弦定理可得，
因为，
所以.
（2）由已知，所以.
因为，所以，
可得，
所以
，
又，
当且仅当，时取等号，
所以的最小值为.