2025--2026学年内蒙古自治区呼和浩特市土默特左旗民族中学高二下册期中考试数学试题 [含答案]

这是一份2025--2026学年内蒙古自治区呼和浩特市土默特左旗民族中学高二下册期中考试数学试题 [含答案]，共5页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知数列的通项公式为，则123是该数列的（ ）
A. 第10项B. 第11项C. 第12项D. 第13项
2. 某人进行投篮训练，最多投篮4次，命中一次就停止投篮，记投篮次数为，则表示的试验结果是（ ）
A. 第2次投篮命中B. 第3次投篮未命中
C. 前3次投篮均未命中D. 前2次投篮均未命中，第3次投篮命中
3. 在等差数列中，，则（ ）
A. 6B. 10C. 12D. 18
4. 已知是等差数列的前项和，若，，则等于（ ）
A. B. 2026C. D. 4052
5. 已知随机变量服从正态分布，且，则（ ）
A. B. C. D.
6. 假设书包里仅有4支水笔和6支铅笔，现从该书包中不放回地依次（每次取一支）取出两支笔，记事件表示“第一次取出的笔是铅笔”，事件表示“第二次取出的笔是水笔”，则（ ）
A. B. C. D.
7. 设等差数列的前项和分别为，若，则（ ）
A. B. C. D.
8. 设数列的前n项和为，且对任意正整数n，点都在直线上，则的值是（ ）
A. B. 16C. D. 32
二、多选题
9. 已知是等差数列的前项和，为公差，且，，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 当时，取最小值
C. D.
10. 一个袋子中有 4 个红球和 2 个白球，采用不放回方式依次摸取 2 个球. 设事件 为“第一次摸到红球”，事件 为“第二次摸到红球”，则（ ）
A. B. C. D. 与 相互独立
11. 用数学归纳法证明不等式的过程中，下列说法正确的是（ ）
A. 使不等式成立的第一个自然数
B. 使不等式成立的第一个自然数
C. 推导时，不等式的左边增加的式子是
D. 推导时，不等式的左边增加的式子是
三、填空题
12. 曲线在点处的切线方程为，则___________．
13. 某知识过关题库中有，，三种难度的题目，数量分别为300，200，100.已知小明做对，，型题目的概率分别为，，，若小明从该题库中任选一道题作答，则他做对该题的概率为__________
14. 数列中，，，记数列的前n项和为，则______．
四、解答题
15. 为了解高一（5）班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班48人进行了问卷调查，得到了如下的列联表
已知在全班48人中随机抽取1人，抽到喜爱打篮球的学生的概率为.
（1）请将上面的列联表补充完整（不用写计算过程）；
（2）能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由；
附，.
16. 已知数列，，．
（1）求证：数列为等比数列，并求数列的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
17. 2025年世界人工智能大会于2025年7月26日至28日在上海市举行，大会号召“共商技术创新路线，共促技术成果赋能”.某企业的AI产品销售部门统计了1～5月份的销售量（单位：万件）：
（1）已知可用线性回归模型拟合y与x的关系，求y关于x的经验回归方程；
（2）该企业科研部门从1月份与4月份的客户中分别随机抽取2位客户和6位客户进行电话回访，科研部门的工作人员甲从这8位客户中随机抽取2位进行回访，记甲回访客户中1月份的客户人数为，求的分布列和数学期望.
附：经验回归方程的斜率与截距的最小二乘估计公式分别为，.
18. 已知A、B、C三名同学在体育课上进行投篮比赛，每人进行两次投篮，三名同学第一次投篮命中的概率均为，在第一次投篮命中的条件下第二次投篮命中的概率依次为，，，三名同学投篮互不影响．
（1）求三名同学至少有两名同学在第一轮投中的概率；
（2）设三名同学中两次都投进的人数为随机变量X，求X的分布列；
（3）若三名同学完成投篮后，恰有一名同学投进两次，求该同学是A的概率．
19. 已知公差不为0的等差数列的前n项和为，且，，，成等比数列.
（1）求的通项公式；
（2）求使成立的n的最小值；
（3）令，求数列的前n项和.
数学
一、单选题
1. 已知数列的通项公式为，则123是该数列的（ ）
A. 第10项B. 第11项C. 第12项D. 第13项
答案：B
解析：
解答过程：令，则，所以，解得或（舍去），
所以123是该数列的第11项.
2. 某人进行投篮训练，最多投篮4次，命中一次就停止投篮，记投篮次数为，则表示的试验结果是（ ）
A. 第2次投篮命中B. 第3次投篮未命中
C. 前3次投篮均未命中D. 前2次投篮均未命中，第3次投篮命中
答案：D
解析：
思路：根据随机变量的意义即可判断.
解答过程：根据变量的意义可知：表示前2次投篮均未命中，第3次投篮命中.
故选：D.
3. 在等差数列中，，则（ ）
A. 6B. 10C. 12D. 18
答案：C
解析：
解答过程：由等差数列的性质可得，即，
故.
4. 已知是等差数列的前项和，若，，则等于（ ）
A. B. 2026C. D. 4052
答案：C
解析：
思路：根据是等差数列的前项和，推得数列是等差数列，利用基本量运算即可求解.
解答过程：因为是等差数列的前项和，
所以数列是等差数列.
又，，
则数列的公差，首项为，
所以，.
5. 已知随机变量服从正态分布，且，则（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
解答过程：因为随机变量服从正态分布，
所以.
6. 假设书包里仅有4支水笔和6支铅笔，现从该书包中不放回地依次（每次取一支）取出两支笔，记事件表示“第一次取出的笔是铅笔”，事件表示“第二次取出的笔是水笔”，则（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：根据条件概率计算即可.
解答过程：由题意可得，
，
则．
7. 设等差数列的前项和分别为，若，则（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：利用等差数列前n项和的性质即可求解.
解答过程：由等差数列前n项和公式可得,
,
所以.
8. 设数列的前n项和为，且对任意正整数n，点都在直线上，则的值是（ ）
A. B. 16C. D. 32
答案：C
解析：
解答过程：解法1：因为点都在直线上，
所以①，
当时，②，
①-②得，，即，又，
所以．
解法2：因为点都在直线上，
所以①，
当时，②，
①-②得，，即，
当时，，即，
所以是一个首项和公比都为的等比数列．
所以．
二、多选题
9. 已知是等差数列的前项和，为公差，且，，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 当时，取最小值
C. D.
答案：AD
解析：
思路：根据等差数列性质可得，，即可得，即可判断A；结合单调性分析数列的正负性，即可得的最值，即可判断BCD.
解答过程：因为数列为等差数列，
则，即，
且，即，可得，
所以公差，故A正确；
可知等差数列为递增数列，当时，；当时，；
所以当时，取最小值，故B错误；
所以，，故C错误，D正确．
10. 一个袋子中有 4 个红球和 2 个白球，采用不放回方式依次摸取 2 个球. 设事件 为“第一次摸到红球”，事件 为“第二次摸到红球”，则（ ）
A. B. C. D. 与 相互独立
答案：BC
解析：
思路：根据古典概型、条件概率和独立事件的定义计算判断即可.
解答过程：由题意可得，，所以A错误；
，所以B正确；
，所以，所以C正确；
由于，所以，
所以与不相互独立，所以D错误.
11. 用数学归纳法证明不等式的过程中，下列说法正确的是（ ）
A. 使不等式成立的第一个自然数
B. 使不等式成立的第一个自然数
C. 推导时，不等式的左边增加的式子是
D. 推导时，不等式的左边增加的式子是
答案：BC
解析：
思路：根据数学归纳法逐项分析判断.
解答过程：当时，可得；当时，可得；
即使不等式成立的第一个自然数，故A错误，B正确；
当时，可得；
当时，可得；
两式相减得：，
所以推导时，不等式的左边增加的式子是，故C正确，D错误；
故选：BC.
三、填空题
12. 曲线在点处的切线方程为，则___________．
答案：
解析：
思路：根据切点在切线上，得到，由导数几何意义得到，相加得到答案.
解答过程：曲线在点处的切线方程为，故，
由导数几何意义得到，所以.
13. 某知识过关题库中有，，三种难度的题目，数量分别为300，200，100.已知小明做对，，型题目的概率分别为，，，若小明从该题库中任选一道题作答，则他做对该题的概率为__________
答案：
解析：
思路：根据给定条件，利用全概率公式列式计算即可.
解答过程：设小明选1道类试题为事件，小明选1道类试题为事件，
小明选1道类试题为事件，
设小明答对试题为事件，
则，
而，，，
由全概率公式得：
.
14. 数列中，，，记数列的前n项和为，则______．
答案：
解析：
思路：先根据累乘法求出的通项公式，然后根据裂项法求出，最后再计算.
解答过程：，.
，又，.
.
.
.
四、解答题
15. 为了解高一（5）班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班48人进行了问卷调查，得到了如下的列联表
已知在全班48人中随机抽取1人，抽到喜爱打篮球的学生的概率为.
（1）请将上面的列联表补充完整（不用写计算过程）；
（2）能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由；
附，.
答案：（1）
（2）能，理由见解析解析：
思路：（1）根据抽到喜爱打篮球的学生的概率求出喜爱打篮球的人数，从而可求出不喜爱打篮球的人数，然后结合列联表中的数据可将列联表补充完整；
（2）根据列联表中的数据，结合公式求出，然后根据临界值分析判断即可.
（1）在全班48人中随机抽取1人，抽到喜爱打篮球的学生的概率为，
则喜爱打篮球的有人，则不喜爱打篮球的有人，
所以列联表补充如下：
（2）零假设为：喜爱打篮球与性别无关，
计算得，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为喜爱打篮球与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.05.
16. 已知数列，，．
（1）求证：数列为等比数列，并求数列的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
答案：（1）证明见解析，
（2）解析：
思路：(1)通过配凑可得到；(2)依据数列的特征，用错位相减法即可求得.
（1），且
因此，是以为首项，为公比的等比数列
（2）由（1）：，因此
令
两式相减得：
所以，.
17. 2025年世界人工智能大会于2025年7月26日至28日在上海市举行，大会号召“共商技术创新路线，共促技术成果赋能”.某企业的AI产品销售部门统计了1～5月份的销售量（单位：万件）：
（1）已知可用线性回归模型拟合y与x的关系，求y关于x的经验回归方程；
（2）该企业科研部门从1月份与4月份的客户中分别随机抽取2位客户和6位客户进行电话回访，科研部门的工作人员甲从这8位客户中随机抽取2位进行回访，记甲回访客户中1月份的客户人数为，求的分布列和数学期望.
附：经验回归方程的斜率与截距的最小二乘估计公式分别为，.
答案：（1）
（2）.
解析：
思路：（1）根据最小二乘法可求回归直线方程；
（2）根据超几何分布可求的分布列，再根据期望公式可求数学期望.
（1），，，
，
，
故y关于x的经验回归方程为.
（2）X的取值可能为，
，，，
所以的分布列为
则.
18. 已知A、B、C三名同学在体育课上进行投篮比赛，每人进行两次投篮，三名同学第一次投篮命中的概率均为，在第一次投篮命中的条件下第二次投篮命中的概率依次为，，，三名同学投篮互不影响．
（1）求三名同学至少有两名同学在第一轮投中的概率；
（2）设三名同学中两次都投进的人数为随机变量X，求X的分布列；
（3）若三名同学完成投篮后，恰有一名同学投进两次，求该同学是A的概率．
答案：（1）
（2） （3）解析：
思路：（1）第一轮命中概率相同且独立，用二项分布（两人命中加三人命中）即可；
（2）先由条件概率算出每人两次全中的概率，三名同学投篮互不影响，按独立事件乘法求各概率即可；
（3）条件概率，分子为“只有两次全中”的概率，分母为“恰有一人两次全中”的总概率，两者相除即可.
（1）设三名同学第一次投篮命中分别为事件,,,设至少两人命中为事件.
则,未命中的概率为，利用二项分布计算，
（2）两次都投进的概率为，两次都投进的概率为，两次都投进的概率为.
可取0，1，2，3，因为三名同学投篮互不影响，所以，
，
，
，
.
所以X的分布列为
（3）由第2问可知恰有一人两次都命中的概率为，其中恰有两次都命中的概率为，所以三名同学完成投篮后，恰有一名同学投进两次，该同学是的概率为.
19. 已知公差不为0的等差数列的前n项和为，且，，，成等比数列.
（1）求的通项公式；
（2）求使成立的n的最小值；
（3）令，求数列的前n项和.
答案：（1）
（2）5 （3）
解析：
思路：（1）根据等差数列的通项公式及前n项和公式计算基本量，进而可得；
（2）直接由前n项和公式和通项公式得不等式，解不等式可得；
（3）利用错位相减法求和即可．
（1）解：设等差数列的公差为，首项为，
由题意可得，
化简得，解得，，
所以.
（2）由（1）可知.
由，得，即，
即，解得或.
因为，所以n的最小值是5，
即使成立的n的最小值为5.
（3）由（1）知，所以，
则①，
两边同乘以2，得②，
，得，
所以.
性别
打篮球
合计
喜爱
不喜爱
男生
22
女生
10
合计
48
0.05
0.01
0.005
0.001
3.841
6.635
7.879
10.828
月份x
1
2
3
4
5
销售量y
3
5
6
9
12
性别
打篮球
合计
喜爱
不喜爱
男生
22
女生
10
合计
48
0.05
0.01
0.005
0.001
3.841
6.635
7.879
10.828
性别
打篮球
合计
喜爱
不喜爱
男生
22
6
28
女生
10
10
20
合计
32
16
48
性别
打篮球
合计
喜爱
不喜爱
男生
22
6
28
女生
10
10
20
合计
32
16
48
月份x
1
2
3
4
5
销售量y
3
5
6
9
12
0
1
2
0
1
2