新高考物理一轮复习考点精讲精练第3章第04讲 牛顿运动定律的基本运用（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考物理一轮复习考点精讲精练第3章第04讲 牛顿运动定律的基本运用（2份，原卷版+解析版），共7页。
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc28369" 【模型一 运动和力的关系】
\l "_Tc27221" 类型1：牛顿第一定律的理解
类型2：牛顿第二定律的初步运用
\l "_Tc7638" 类型3：牛顿第三定律的理解
\l "_Tc28700" 【模型二 牛顿第二定律】
类型1：求瞬时加速度的两类模型
类型2：动力学的两类基本问题
考向1：由运动情况求受力情况
考向2：由受力情况求运动情况
类型3：超重失重问题
类型4：动力学中的图像问题
类型5：等时圆模型
将运动学和力学结合起来进行分析是学习物理模型的重要途径，牛顿运动学定律是高考常考的题型。高考涉及的题型主要以牛顿第二定律的分析应用为主，其中主要包含瞬时加速的求解，动力学的两类基本问题，超重失重问题，动力学中的图像问题，等时圆等物理模型，需要熟悉掌握力学分析和运动学分析。
【模型一 运动和力的关系】
类型1： \l "_Tc27221" 牛顿第一定律的理解
1.内容
一切物体总保持匀速直线运动状态或静止状态，除非作用在它上面的力迫使它改变这种状态。
2.对牛顿第一定律的理解
3.对惯性的理解
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①一切物体任何时候都具有惯性(静止的物体具有惯性，运动的物体也具有惯性)；
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②惯性是物体本身的属性，惯性的大小只与物体质量大小有关。质量越大，惯性越大；质量越大的物体其运动状态越难改变。惯性的大小与物体的形状、运动状态、位置及受力情况无关；
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③惯性是一种属性，它不是力。惯性只有大小，没有方向，把惯性说成“惯性力”或“受到惯性的作用”都是错误的。
【典例1】（2023·浙江·高考真题）在足球运动中，足球入网如图所示，则（ ）

A．踢香蕉球时足球可视为质点B．足球在飞行和触网时惯性不变
C．足球在飞行时受到脚的作用力和重力D．触网时足球对网的力大于网对足球的力
A．在研究如何踢出“香蕉球”时，需要考虑踢在足球上的位置与角度，所以不可以把足球看作质点，故A错误；
B．惯性只与质量有关，足球在飞行和触网时质量不变，则惯性不变，故B正确；
C．足球在飞行时脚已经离开足球，故在忽略空气阻力的情况下只受重力，故C错误；
D．触网时足球对网的力与网对足球的力是相互作用力，大小相等，故D错误。
【变式1-1】（2025·上海宝山·二模）《中华人民共和国道路交通安全法》第五十一条中规定：机动车行驶时驾驶人、乘坐人员应当按规定使用安全带。这是因为系好安全带（ ）
A．可以减小人的惯性
B．可以减小车的惯性
C．可以减少因人的惯性而造成的伤害
D．可以减少因车的惯性而造成的伤害
【变式1-2】（2024·浙江·二模）2024年8月在巴黎奥运会网球女子单打决赛中，中国选手郑钦文获得冠军。如图所示为郑钦文击球瞬间，则下列说法正确的是（ ）
A．任何情况下均可以将网球视为质点
B．网球在击打时和飞行过程中惯性不变
C．网球在飞行过程中受到重力和球拍的作用力
D．网球受到的弹力是由于网球的形变引起的
【变式1-3】（2024·河北·一模）“天宫课堂”第四课于2023年9月21日15时45分开课，神舟十六号航天员景海鹏、朱杨柱、桂海潮在中国空间站梦天实验舱面向全国青少年进行太空科普授课。在奇妙“乒乓球”实验中，航天员朱杨柱用水袋做了一颗水球，桂海潮用白毛巾包好的球拍击球，水球被弹开。对于该实验下列说法正确的是（ ）
A．梦天实验舱内，水球体积越小其惯性越大
B．击球过程中，水球对“球拍”的作用力与“球拍”对水球的作用力是一对相互作用力
C．击球过程中，水球所受弹力是由于水球发生形变产生的
D．梦天实验舱内可进行牛顿第一定律的实验验证
类型2：牛顿第二定律的初步运用
1.利用牛顿第二定律解题的步骤
2.利用牛顿第二定律解题的常用方法
①矢量合成法
若物体只受两个力作用，应用平行四边形定则求出这两个力的合力，再由牛顿第二定律求出物体的加速度大小, 加速度的方向就是物体所受合外力的方向，或先求出每个分力产生的加速度，再用平行四边形定则求合加速度。
②正交分解法
物体在受到三个或者三个以上的不在同一直线上的力的作用时,一般用正交分解法。
为减少矢量的分解，建立坐标系确定坐标轴时一般有以下两种方法：
【典例2】（2025·甘肃·高考真题）2025年4月24日，在甘肃酒泉卫星发射中心成功发射了搭载神舟二十号载人飞船的长征二号F遥二十运载火箭。若在初始的1s内燃料对火箭的平均推力约为6×106N。火箭质量约为500吨且认为在1s内基本不变，则火箭在初始1s内的加速度大小约为（ ）（重力加速度g取10m/s2）
A．2m/s2B．4m/s2C．6m/s2D．12m/s2
根据题意，由牛顿第二定律有F−mg=ma
代入数据解得a=6×106−5×1065×105ms2=2ms2
【变式2-1】（2024·天津·高考真题）生活中人们经常使用如图所示的小车搬运重物，小车的底板和侧板垂直，底板和侧板对重物的弹力分别为F底、F侧，忽略重物和底板之间的摩擦力。保持底板与水平面之间的夹角不变，重物始终与小车相对静止，小车水平向右运动，由匀速变为加速时（ ）
A．F底增大，F侧增大
B．F底减小，F侧增大
C．F底增大，F侧减小
D．F底减小，F侧减小
【变式2-2】（2024·贵州·高考真题）某研究人员将一铁质小圆盘放入聚苯乙烯颗粒介质中，在下落的某段时间内，小圆盘仅受重力G和颗粒介质对其向上的作用力f。用高速相机记录小圆盘在不同时刻的位置，相邻位置的时间间隔相等，如图所示，则该段时间内下列说法可能正确的是（ ）
A．f一直大于GB．f一直小于G
C．f先小于G，后大于GD．f先大于G，后小于G
【变式2-3】（2022·江苏·高考真题）高铁车厢里的水平桌面上放置一本书，书与桌面间的动摩擦因数为0.4，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度g=10m/s2。若书不滑动，则高铁的最大加速度不超过（ ）
A．2.0m/s2B．4.0m/s2C．6.0m/s2D．8.0m/s2
类型3： \l "_Tc7638" 牛顿第三定律的理解
1.内容
两个物体之间的作用力和反作用力总是大小相等，方向相反，作用在同一条直线上。
2.公式表达
F甲对乙=-F乙对甲
3.对牛顿第三定律的理解
4.作用力和反作用力与一对平衡力的比较
【典例3】（2021·浙江·高考真题）如图所示，电动遥控小车放在水平长木板上面，当它在长木板上水平向左加速运动时，长木板保持静止，此时（ ）
A．小车只受重力、支持力作用
B．木板对小车的作用力方向水平向左
C．木板对小车的作用力大于小车对木板的作用力
D．木板对小车的作用力与小车对木板的作用力大小一定相等
A．小车加速向左运动，受到自身的重力和电机的驱动力，受到长木板对小车的支持力和阻力，A错误；
B．木板对小车的作用力包括竖直向上的支持力和水平方向的阻力，根据平行四边形定则可知合力方向一定不在水平方向，B错误；
CD．木板对小车的作用力与小车对木板的作用力是一对相互作用力，等大反向，C错误，D正确。
【变式3-1】（2025·浙江·二模）如图所示，在水平地面上，一位同学单手倒立斜靠在一大木箱上（木箱侧面光滑），已知同学的质量小于木箱质量，同学和木箱均保持静止状态，则下列说法正确的是（ ）
A．同学受到地面的摩擦力小于木箱受到地面的摩擦力
B．同学受到地面的摩擦力与木箱受到地面的摩擦力是一对平衡力
C．同学受到木箱向右的弹力与地面对人向左的摩擦力是作用力与反作用力
D．同学受到的重力的平衡力是地面对他向上的弹性力
【变式3-2】（2025·浙江金华·三模）蛇年春晚中的人形机器人与真人舞蹈演员一同表演了一场精彩的“AI机器秧歌”舞。下列说法正确的是（ ）
A．机器人下蹲过程中，总是处于失重状态
B．在研究机器人的舞蹈动作时可将其视为质点
C．机器人手中匀速转动的手绢边缘上的一点始终处于受力平衡状态
D．机器人静止站立时对地面的压力与地面对它的支持力是一对相互作用力
【变式3-3】（2025·江西鹰潭·一模）如图是电影《哪吒之魔童闹海》中哪吒大战土拨鼠时的场景，下列说法中正确的是（ ）

A．哪吒的手指对土拨鼠的弹力作用是因为哪吒的手指发生了形变
B．哪吒对土拨鼠的作用力与土拨鼠对哪吒的作用力是一对平衡力
C．土拨鼠静止不动是因为哪吒对它的作用力小于它所受地面的摩擦力
D．哪吒所受地面的作用力方向竖直向上
【模型二 牛顿第二定律】
类型1：求瞬时加速度的两类模型
1.两种模型
牛顿第二定律F＝ma，其核心是加速度与合外力的瞬时对应关系，两者总是同时产生，同时消失、同时变化，具体可简化为以下两种模型：
2.几种常见情景分析
情景一:在轻弾簧上端物块A与下面物块B质景均为m，系统处于静止状态，突然把下面的木板抽去，则aA=0,aB=2g（方向竖直向下）.
情景二：A、B用水平轻弹簧连接，放在光滑水平面上.在推力F的作用下，以共同的加速度a做匀加速直线运动,某时刻突然撤去推力F,若叫mA=mB，则aA=a（方向向左）， aB = a（方向向右）。
情景三：两小球A、B用轻弹簧连接，通过细线悬挂于天花板上，系统处于静止状态，突然剪断细线，若mA=mB，则: aB = 0, aA=2g（方向竖直向下）。
情景四：用手提一轻弹簧，轻弹簧的下端挂一小球，在将整个装置匀加速上提的过程中，若手突然停止运动，则小球的加速度与原来相同。
情景五:小球用水平轻弹簧系住，并用倾角为θ的光滑挡板AB托着,若突然将挡板AB向下撤离，则小球的加速度a=gcsθ，方向垂直于挡板指向右下方.
3．求解瞬时加速度的一般思路
【典例4】（2024·湖南·高考真题）如图，质量分别为4m、3m、2m、m的四个小球A、B、C、D，通过细线或轻弹簧互相连接，悬挂于O点，处于静止状态，重力加速度为g。若将B、C间的细线剪断，则剪断瞬间B和C的加速度大小分别为（ ）
A．g，1.5gB．2g，1.5gC．2g，0.5gD．g，0.5g
剪断前，对BCD分析
FAB=3m+2m+mg
对D
FCD=mg
剪断后，对B
FAB−3mg=3maB
解得
aB=g
方向竖直向上；对C
FDC+2mg=2maC
解得
aC=1.5g
方向竖直向下。
【变式4-1】（2025·安徽马鞍山·一模）如图所示，质量为2m的木箱用细绳竖直悬挂，质量均为m的物块A、B分别通过轻质弹簧连接木箱的底部和顶部。初始时，A、B和木箱均静止，已知重力加速度为g。某时刻剪断细绳，此瞬间，A、B和木箱的加速度大小分别为（ ）
A．0、0、2gB．g、g、gC．0、g、gD．0、0、g
【变式4-2】（2024·河南信阳·一模）如图所示，用两根轻绳a、b和轻弹簧c悬挂两个相同的小球，其中a绳与竖直方向夹角为30°，c弹簧水平，两小球静止，下列说法正确的是（ ）
A．a绳的弹力是c弹簧弹力的3倍
B．剪断a绳瞬间，2球的加速度为零
C．剪断b绳瞬间，1球的加速度为零
D．剪断b绳瞬间，2球的加速度大小为73g
【变式4-3】（2024·山东·一模）如图所示，吊篮A、物体B、物体C的质量分别为m、2m、3m，B和C分别固定在竖直弹簧两端，弹簧的质量不计。整个系统在轻绳悬挂下处于静止状态，重力加速度为g，现将悬挂吊篮的轻绳剪断，在轻绳刚断的瞬间（ ）
A．吊篮A的加速度大小为gB．物体B的加速度大小为1.5g
C．物体C的加速度大小为1.5gD．A、C间的弹力大小为mg
类型2：动力学的两类基本问题
1.两类动力学问题
（1）动力学的两类基本问题
①由受力情况确定物体的运动情况．
②由运动情况确定物体的受力情况．
2.解决两类基本问题的思路：
以加速度为桥梁，由运动学公式和牛顿第二定律列方程求解．
3.求解两类问题的思路，可用下面的框图来表示：
4.分析解决这两类问题的关键
应抓住受力情况和运动情况之间联系的桥梁——加速度．
考向1：由运动情况求受力情况
【典例5】（2022·浙江·高考真题）第24届冬奥会将在我国举办。钢架雪车比赛的一段赛道如图1所示，长12m水平直道AB与长20m的倾斜直道BC在B点平滑连接，斜道与水平面的夹角为15°。运动员从A点由静止出发，推着雪车匀加速到B点时速度大小为8m/s，紧接着快速俯卧到车上沿BC匀加速下滑（图2所示），到C点共用时5.0s。若雪车（包括运动员）可视为质点，始终在冰面上运动，其总质量为110kg，sin15°=0.26，重力加速度g取10m/s2，求雪车（包括运动员）
（1）在直道AB上的加速度大小；
（2）过C点的速度大小；
（3）在斜道BC上运动时受到的阻力大小。
（1）AB段
v12=2a1x1
解得
a1=83m/s2
（2）AB段
v1=a1t1
解得
t1=3sBC段
x2=v1t2+12a2t22
a2=2m/s2
过C点的速度大小
v=v1+a2t2=12m/s
（3）在BC段有牛顿第二定律
mgsinθ−Ff=ma2
解得
Ff=66N
【变式5-1】（2024·福建宁德·三模）如图甲所示，一质量为m=2kg的小物块从倾角α=37°的斜面上的A点由静止开始滑下，最后停在水平面上的C点。已知小物块与斜面和水平面间的动摩擦因数相同，斜面与水平面在B点处平滑连接，小物块滑过斜面与水平面连接处时无机械能损失。从滑块滑上水平面BC开始计时，其运动的速度图像如图乙所示。已知sin37°=0.6，cs37°=0.8，g=10m/s2。
(1)求物块与水平面间的动摩擦因数；
(2)求A、B两点间的距离。
【变式5-2】（2024·山东·一模）如图所示，斜面ABC中AB段粗糙，BC段光滑。物块以10m/s的初速度从A点沿斜面向上滑行，到达C点速度恰好为零。已知BC段的长度为2m，物块上滑过程中，在AB段的加速度是BC段加速度的1.5倍，且物块在AB段和BC段运动的时间相等，g取10m/s2，求：
(1)斜面AB段的长度；
(2)物块与斜面AB段间的动摩擦因数。
【变式5-3】（2024·贵州铜仁·二模）如图所示，在倾角为θ=37°的足够长斜面上，有一质量m=2kg、可视为质点的物块，在F=20N、方向与斜面夹角α=37°的力的作用下，从静止开始沿斜面向上运动，经t1=12s撤去F，物块在t1时间内的位移为x1=36m。取sin37°=0.6，重力加速度g取10m/s2。求：
（1）物块与斜面间动摩擦因数μ；
（2）撤去F后3s内，物块的位移大小x2。

考向2：由受力情况求运动情况
【典例6】（2022·浙江·高考真题）物流公司通过滑轨把货物直接装运到卡车中。如图所示，倾斜滑轨与水平面成24°角，长度l1=4m，水平滑轨长度可调，两滑轨间平滑连接。若货物从倾斜滑轨顶端由静止开始下滑，其与滑轨间的动摩擦因数均为μ=29，货物可视为质点（取cs24°=0.9，sin24°=0.4，重力加速度g=10m/s2）。
（1）求货物在倾斜滑轨上滑行时加速度a1的大小；
（2）求货物在倾斜滑轨末端时速度v的大小；
（3）若货物滑离水平滑轨末端时的速度不超过2m/s，求水平滑轨的最短长度l2。
（1）根据牛顿第二定律可得
mgsin24°−μmgcs24°=ma1
代入数据解得
a1=2m/s2
（2）根据运动学公式
2a1l1=v2
解得
v=4m/s
（3）根据牛顿第二定律
μmg=ma2
根据运动学公式
−2a2l2=vmax2−v2
代入数据联立解得
l2=2.7m
【变式6-1】（2025·浙江·二模）以6m/s的速度匀速上升的气球，当升到离地面14.5m高时，从气球上落下一小球，小球的质量为0.5kg，假设小球在运动过程所受阻力大小满足f=(1+kv）N，k=0.01kg/s，g取10m/s2。则小球从气球落下后大约经过多长时间到达地面（ ）
A．1.7sB．1.9sC．2.6sD．3.5s
【变式6-2】（2025·江西景德镇·三模）潜艇从高密度海水区域驶入低密度海水区域时，浮力顿减，潜艇如同“汽车掉下悬崖”，称之为“掉深”。我海军某潜艇在执行任务期间，突然遭遇“掉深”，全艇官兵紧急自救脱险，创造了世界潜艇史上的奇迹。总质量为6.0×106kg的某潜艇，在高密度海水区域距海平面200m，距海底112.5m处沿水平方向缓慢潜航，如图所示。当该潜艇驶入低密度海水区域A点时，浮力突然降为5.4×107N，10s后，潜艇官兵迅速对潜艇减重（排水），结果潜艇刚好零速度“坐底”并安全上浮，避免了一起严重事故。已知在整个运动过程中，潜艇所受阻力大小恒为0.6×106N，重力加速度g取10m/s2，假设潜艇减重的时间忽略不计，海底平坦，求：

(1)潜艇“掉深”10s时的速度；
(2)潜艇减重排出水的质量。（结果取2位有效数字）
【变式6-3】（2025·云南红河·二模）如图所示为某种运载无人机，它是一种能够低空运载的遥控飞行器，其动力系统所能提供的最大升力F=900N，一架总质量m=60kg的无人机在地面上从静止开始，以最大升力竖直向上起飞。t=10s时离地面的高度为200m，运动过程中所受空气阻力大小恒定，g取10m/s2。
(1)求运动过程中所受空气阻力大小；
(2)假设无人机竖直向上起飞5s后关闭动力系统，求无人机距地面的最大高度。
类型3：超重和失重问题
1.超重和失重
(1)视重
当物体挂在弹簧测力计下或放在水平台秤上时，弹簧测力计或台秤的示数称为视重．
(2)超重、失重和完全失重的比较
【典例7】（2024·全国甲卷·高考真题）学生小组为了探究超重和失重现象，将弹簧测力计挂在电梯内，测力计下端挂一物体。已知当地重力加速度大小为9.8m/s2。
(1)电梯静止时测力计示数如图所示，读数为 N（结果保留1位小数）；
(2)电梯上行时，一段时间内测力计的示数为4.5N，则此段时间内物体处于 （填“超重”或“失重”）状态，电梯加速度大小为 m/s2 （结果保留1位小数）。
（1）由图可知弹簧测力计的分度值为0.5N，则读数为5.0N。
（2）[1]电梯上行时，一段时间内测力计的示数为4.5N，小于物体的重力可知此段时间内物体处于失重状态；
[2]根据
G=mg=5.0N
根据牛顿第二定律
mg−T=ma
代入数据联立解得电梯加速度大小
a≈1.0m/s2
【变式7-1】（2025·河北石家庄·三模）在第五届中国国际消费品博览会上，全球首款即将量产的分体式飞行汽车成为观众驻足观看的焦点之一、该飞行汽车由陆行体（增程式汽车）和飞行体（纯电动垂直起降飞行器）组成。假设某次飞行体起飞测试时，质量为360kg的飞行体沿竖直方向做直线运动，一段时间内的速度—时间（v−t），图像如图所示，取竖直向上为正方向，下列说法正确的是（ ）
A．0~3s内飞行体处于失重状态B．0~3s内飞行体的加速度大小为83m/s2
C．飞行体在第6s末受到的合力大小为360 ND．第3s末飞行体上升到最高点
【变式7-2】（2025·广东深圳·三模）一木箱置于升降机内的水平地板上，升降机从t=0时刻由静止开始竖直向上运动，其加速度a随时间t的变化规律如图所示。重力加速度大小为g，下列说法正确的是（ ）
A．0~2t0内，木箱处于超重状态
B．2t0时，木箱的速度为4gt0
C．2t0~4t0内，木箱做减速运动
D．4t0时，木箱到达最高点
【变式7-3】（多选）（2025·安徽阜阳·三模）2023年11月26日，在武汉体育中心举行的2023年全国跳水锦标赛的女子双人10米跳台决赛中，全红婵/陈芋汐以354.66分的成绩获得冠军。在女子10 m跳台的决赛中（下面研究过程将全红婵视为质点），全红婵竖直向上跳离跳台的速度为5 m/s，从竖直入水到速度减为0的运动时间是其在空中的运动时间的13，假设全红婵所受水的阻力恒定，不计空气阻力，全红婵的体重为40 kg，重力加速度g取10 m/s2，则
A．跳离跳台后上升阶段，全红婵处于超重状态
B．跳离跳台后下降阶段（落水前），全红婵处于失重状态
C．全红婵在空中运动的时间为2 s
D．入水后全红婵受到水的阻力大小为500 N
类型4：动力学中的图象问题
1.常见的图象
v－t图象：斜率表示加速度的大小和方向，与时间轴围成的面积表示位移。
a－t图象：斜率表示加速度的变化率，与时间轴围成的面积表示速度变化量。
F－t图象：通过图像可以知道每时每刻对应的合外力及加速度，与时间轴围成的面积表示动量变化量或者合外力的冲量。
F－x图象：与时间轴围成的面积表示功。
2.图象间的联系
加速度是联系v－t图象与F－t图象的桥梁．
3.图象的应用
(1)已知物体在一过程中所受的某个力随时间变化的图线，要求分析物体的运动情况．
(2)已知物体在一运动过程中速度、加速度随时间变化的图线，要求分析物体的受力情况．
(3)通过图象对物体的受力与运动情况进行分析．
4.解答图象问题的策略
(1)弄清图象坐标轴、斜率、截距、交点、拐点、面积的物理意义．
(2)应用物理规律列出与图象对应的函数方程式，进而明确“图象与公式”、“图象与物体”间的关系，以便对有关物理问题作出准确判断．
【典例8】（2025·陕晋青宁卷·高考真题）某智能物流系统中，质量为20kg的分拣机器人沿水平直线轨道运动，受到的合力沿轨道方向，合力F随时间t的变化如图所示，则下列图像可能正确的是（ ）
A．B．
C．D．
根据牛顿第二定律和题图的F—t图画出如图所示的a—t图像
可知机器人在0 ~ 1s和2 ~ 3s内加速度大小均为1m/s2，方向相反，由v—t图线的斜率表示加速度可知A正确。
【变式8-1】（2024·安徽·高考真题）倾角为θ的传送带以恒定速率v0顺时针转动。t=0时在传送带底端无初速轻放一小物块，如图所示。t0时刻物块运动到传送带中间某位置，速度达到v0。不计空气阻力，则物块从传送带底端运动到顶端的过程中，加速度a、速度v随时间t变化的关系图线可能正确的是（ ）
A．B．C．D．
【变式8-2】（2024·全国甲卷·高考真题）如图，一轻绳跨过光滑定滑轮，绳的一端系物块P，P置于水平桌面上，与桌面间存在摩擦；绳的另一端悬挂一轻盘（质量可忽略），盘中放置砝码。改变盘中砝码总质量m，并测量P的加速度大小a，得到a−m图像。重力加速度大小为g。在下列a−m图像中，可能正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式8-3】（2024·广东·高考真题）如图所示，轻质弹簧竖直放置，下端固定。木块从弹簧正上方H高度处由静止释放。以木块释放点为原点，取竖直向下为正方向。木块的位移为y。所受合外力为F，运动时间为t。忽略空气阻力，弹簧在弹性限度内。关于木块从释放到第一次回到原点的过程中。其F−y图像或y−t图像可能正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式8-4】（多选）（2025·黑吉辽蒙卷·高考真题）如图（a），倾角为θ的足够长斜面放置在粗糙水平面上。质量相等的小物块甲、乙同时以初速度v0沿斜面下滑，甲、乙与斜面的动摩擦因数分别为μ1、μ2，整个过程中斜面相对地面静止。甲和乙的位置x与时间t的关系曲线如图（b）所示，两条曲线均为抛物线，乙的x−t曲线在t=t0时切线斜率为0，则（ ）
A．μ1+μ2=2tanθ
B．t=t0时，甲的速度大小为3v0
C．t=t0之前，地面对斜面的摩擦力方向向左
D．t=t0之后，地面对斜面的摩擦力方向向左
【变式8-5】（2025·甘肃·高考真题）如图1所示，细杆两端固定，质量为m的物块穿在细杆上。初始时刻。物块刚好能静止在细杆上。现以水平向左的力F作用在物块上，F随时间t的变化如图2所示。开始滑动瞬间的滑动摩擦力等于最大静摩擦力。细杆足够长，重力加速度为g，θ=30°。
求：
(1)t=6s时F的大小，以及t在0~6s内F的冲量大小。
(2)t在0~6s内，摩擦力f随时间t变化的关系式，并作出相应的f−t图像。
(3)t=6s时，物块的速度大小。
类型5：等时圆模型
【典例9】（2025·安徽安庆·二模）如图所示，竖直平面内三个圆的半径之比为3:2:1，它们的最低点相切于P点，有三根光滑细杆AP、BP、CP，杆的最高点分别处于三个圆的圆周上的某一点，杆的最低点都处于圆的最低点P。现各有一小环分别套在细杆上，都从杆的最高点由静止开始沿杆自由下滑至P点，空气阻力不计，则小环在细杆AP、BP、CP上运动的时间之比为（ ）
A．3:2:1B．(3−2):(2−1):1
C．3:2:1D．1:1:1
根据等时圆模型，如图所示
只需要求出A′P、B′P、C′P，的时间之比，设最小圆的直径为d，则tAP:tBP:tCP=tA′P:tB′P:tC′P=2⋅3dg:2⋅2dg:2⋅dg=3:2:1
【变式9-1】（2024·湖北黄石·三模）如图所示，AB是一个倾角为θ的传送带，上方离传送带表面距离为l的P处为原料输入口，为避免粉尘飞扬，在P与AB传送带间建立一直线光滑管道，使原料无初速度地从P处以最短的时间到达传送带上，则最理想管道做好后，原料从P处到达传送带的时间为（ ）
A．2lgcsθB．1csθ2lg
C．2lgcsθ2D．1csθ22lg
【变式9-2】（2024·江苏泰州·一模）如图所示，半球形容器内有三块不同长度的滑板AO'、BO'、CO'，其下端都固定于容器底部O'点，上端搁在容器侧壁上，已知三块滑板的长度BO'>AO'>CO'。若三个滑块同时从A、B、C处开始由静止下滑（忽略阻力），则（ ）
A．A处滑块最先到达O'点B．B处滑块最先到达O'点
C．C处滑块最先到达O'点D．三个滑块同时到达O'点
【变式9-3】（多选）（2023·广西南宁·二模）如图所示，1、2、3、4四小球均由静止开始沿着光滑的斜面从顶端运动到底端，其运动时间分别为t1、t2、t3、t4，已知竖直固定的圆环的半径为r，O为圆心，固定在水平面上的斜面水平底端的长度为3r，重力加速度为g，下列说法正确的是（ ）
A．t1>t2B．t3=t4C．t2