浙江省杭州市2025-2026学年高二下学期期末教学质量检测试题 数学 含答案

这是一份浙江省杭州市2025-2026学年高二下学期期末教学质量检测试题 数学 含答案，共16页。试卷主要包含了考试结束，将答题卡交回等内容，欢迎下载使用。
考生须知：
1．本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟．
2．答题前，请核对考生条码信息，确认无误后，将条码贴在答题卡上的“条码粘贴处”，并
将自己的学校、姓名、试场号、座位号填写在答题卡相应的位置上．
3．回答选择题时，用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干
净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，用黑色水笔将答案写在答题卡相应的答题区
内．答案写在试题卷上一律无效．
4．考试结束，将答题卡交回．
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1．已知 为虚数单位，则复数 在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．下列样本数据散点图中，变量 和变量 的样本相关系数分别为 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．以 ， 为直径的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知直三棱柱 的顶点都在球 上，若 ， ， ， ，则
球 的表面积为（ ）
A． B． C． D．
6．已知 是函数 的极小值点，则（ ）__________
A． B．
C． D．
7． 设 ， 是 函 数 的 两 个 不 同 的 零 点 ． 若 ， 则
（ ）
A． B． C． D．
8．从如图所示的 方格表中随机选 4 个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则事件“选中
方格中的 4 个数之和为 ”的概率为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中，有多项符
合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9．已知事件 ， 的对立事件分别记为 ， ，若 ， ， ，则（ ）
A．事件 与 互斥 B．
C． D．
10．已知数列 的各项均为正数，前 项和为 ，且 ，则（ ）
A． B．
C． D．
11．在区块链中，常用椭圆曲线进行加密．已知椭圆曲线 ，则（ ）
A．曲线 关于 轴对称
B．曲线 与 轴有两个交点
C．曲线 上点 到 轴的最小距离不小于
D．曲线 上点 到原点的最小距离为
三、填空题：本题共 3 个小题，每小题 5 分，共 15 分．
12．《莱茵德纸草书》记载：把 30 个面包分给 5 个人，使得每人所得面包个数成等差数列，且较大的三份
之和是较小的两份之和的 4 倍，则最小的一份为__________．
13．如图，在圆锥 中， ， 是底面圆 的两条互相垂直的直径， 是母线 的中点．已知平面
与圆锥侧面的交线是抛物线的一部分，设该抛物线的焦点为 ．若 ，则
__________．
14．已知空间向量 ， ， 满足 ， ， ， ，则 ，
， 的最小值为__________．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（13 分）
已知空间向量 ， ，设函数 ．
（1）求 的最小正周期；
（2）当 时，求 的值域．
16．（15 分）
如图，在四棱锥 中，平面 平面 ， ， ，
， ．
（1）证明： ；
（2）若 ，
（i）设 ，点 到直线 的距离为 3，求 的值；
（ii）求平面 与平面 的夹角的余弦值．
17．（15 分）
已知双曲线 ，过点 的直线 与 的上、下两支分别交于点 ， ．
（1）若点 是 上的动点，求 的最小值；
（2）设 为坐标原点，直线 ， 的斜率分别为 ， ，
（i）若 ，求直线 的方程；
（ii）求 的取值范围．
18．（17 分）
已知函数 ．
（1）求曲线 在点 处的切线方程；
（2）证明：曲线 是轴对称图形；
（3）若 ， 恒成立，求 的最大值和 的最小值．
19．（17 分）
口袋中装有形状、大小完全相同的 4 只小球，其中红球 1 只、黄球 3 只．现从口袋中有放回地取球，每次
取出 1 球，取到红球得 1 分，取到黄球得 2 分．
（1）在取球过程中，记事件“恰好得 分”的概率为 ，
（i）求 ；
（ii）求 ；
（2）若共取球 次 ， 表示 次取球中取到红球的次数，记 ．求证：
．
2025 学年第二学期杭州市高二年级教学质量检测数学学科参考答案
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．
1 2 3 4 5 6 7 8
C B C A D D B B
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．
9．BD 10．ABC 11．ACD
三、填空题：本题共 3 个小题，每小题 5 分，共 15 分．
12．2 13． 14．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（1）因为 ，
所以 的最小正周期为 ； 7 分
（2）当 时， ，则 ，
所以 ． 13 分
16．（1）因为 ，所以 ，
又平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ．
所以 ． 5 分
（2）因为 ，所以 ，如图建系直角坐标系．
所以 ， ， ， ， ．
（i）因为 ， ，
则直线 的一个单位方向向量为 ，
点 到直线 的距离 ，解得 ． 10 分
（ii）已知平面 的一个法向量为 ，
设平面 的一个法向量为 ，
由 ，取 ．
所以 ． 15 分
17．（1）设 ，则 ，
所以 ，
即当 时， ； 5 分
（2）设 与 联立，有 ，
由 ，得 ，
设 ， ，则 ， ，
得 ，
则 ， 10 分
（i）当 时， ，直线 的方程为 ； 13 分
（ii）因为直线 ， 存在斜率，所以 ，
故 ，
所以 ，
即 的取值范围 ． 15 分
18．（1）由题知 ，
又 ， ，
所以切线方程为 ，即 ． 4 分
（2）令 ，则
，
所以曲线 关于直线 对称； 8 分
（3）（i）先求 的最小值
由题知 ，令 ；
由于 关于直线 对称，故只需考虑 即可．
则 ，令 ，
则 ，
由 ，得 ， ．
在 上单调递增，在 上单调递减，
，
所以当 ， ， ， 单调递增，
所以 ．即 的最小值为 ． 13 分
（ii）再求 的最大值．
由题意， ， 恒成立，令 ， ，
因为 ，所以 ，即 ，即 ，
下面证明 时， 恒成立，
易知 关于 对称，故考虑 即可，
； ；
在 必有一解 ，
且 在 递减，在 递增．
又 ，所以 ，从而 ．
即 ， ．
所以 的最大值为 ． 17 分
19．（1）恰好得 2 分为第一次取到黄球，或者第一次与第二次均取到红球，
故恰好得 2 分的概率为 ． 4 分
（2）在取球过程中不得到 分只有一种可能：得 分后取到黄球得 2 分，
因此 ， ，而 ，且 ， ，
故 ． 10 分
（3）由题知因为 ，所以 ，
由 ， ， ， ， ， ， ．
得
．
因为 ，所以 ，
又 ，
，
所以 ，
故 ．
所以 ． 17 分