浙江省杭州市2025-2026学年高二下学期期末教学质量检测数学试卷（Word版附答案）

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C B C A D D B B
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．
9．BD 10．ABC 11．ACD
三、填空题：本题共 3 个小题，每小题 5 分，共 15 分．
12．2 13． 14．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（1）因为 ，
所以 的最小正周期为 ； 7 分
（2）当 时， ，则 ，
所以 ． 13 分
16．（1）因为 ，所以 ，
又平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ．
所以 ． 5 分
（2）因为 ，所以 ，如图建系直角坐标系．
所以 ， ， ， ， ．
（i）因为 ， ，
则直线 的一个单位方向向量为 ，
点 到直线 的距离 ，解得 ． 10 分
（ii）已知平面 的一个法向量为 ，
设平面 的一个法向量为 ，
由 ，取 ．
所以 ． 15 分
17．（1）设 ，则 ，
所以 ，
即当 时， ； 5 分
（2）设 与 联立，有 ，
由 ，得 ，
设 ， ，则 ， ，
得 ，
则 ， 10 分
（i）当 时， ，直线 的方程为 ； 13 分
（ii）因为直线 ， 存在斜率，所以 ，
故 ，
所以 ，
即 的取值范围 ． 15 分
18．（1）由题知 ，
又 ， ，
所以切线方程为 ，即 ． 4 分
（2）令 ，则
，
所以曲线 关于直线 对称； 8 分
（3）（i）先求 的最小值
由题知 ，令 ；
由于 关于直线 对称，故只需考虑 即可．
则 ，令 ，
则 ，
由 ，得 ， ．
在 上单调递增，在 上单调递减，
，
所以当 ， ， ， 单调递增，
所以 ．即 的最小值为 ． 13 分
（ii）再求 的最大值．
由题意， ， 恒成立，令 ， ，
因为 ，所以 ，即 ，即 ，
下面证明 时， 恒成立，
易知 关于 对称，故考虑 即可，
； ；
在 必有一解 ，
且 在 递减，在 递增．
又 ，所以 ，从而 ．
即 ， ．
所以 的最大值为 ． 17 分
19．（1）恰好得 2 分为第一次取到黄球，或者第一次与第二次均取到红球，
故恰好得 2 分的概率为 ． 4 分
（2）在取球过程中不得到 分只有一种可能：得 分后取到黄球得 2 分，
因此 ， ，而 ，且 ， ，
故 ． 10 分
（3）由题知因为 ，所以 ，
由 ， ， ， ， ， ， ．
得
．
因为 ，所以 ，
又 ，
，
所以 ，
故 ．
所以 ． 17 分