2025--2026学年山东泰安第十九中学高一下册期中考试数学试题 [含答案]

这是一份2025--2026学年山东泰安第十九中学高一下册期中考试数学试题 [含答案]，共4页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 在复平面内，若复数和对应的点分别是和，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知分别为三个内角所对的边，若，则（ ）
A. B. C. 或D.
3. 已知向量，，，则m的值为（ ）
A. 0B. -2C. 0或-2D. 0或2
4. 圆锥的底面半径为1，其侧面展开图是半圆，那么此圆锥的高是（ ）
A. 1B. C. D. 2
5. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则此三角形的形状为（ ）
A. 等腰三角形B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形D. 等腰或直角三角形
6. 若非零向量，满足，则在方向上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知棱长为的正方体的一个面在一半球底面上，且四个顶点都在此半球面上，则此半球的体积为（ ）
A. B. C. D.
8. 中国被称为“制扇王国”，折扇的起源历史悠久，最早可以追溯到西汉时期.现有一把折扇，其结构如图.完全展开后扇环的圆心角为，上板长为，若把该扇环围成一个圆台，则圆台的高为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，
9. 设复数在复平面内对应的点为，原点为，为虚数单位，则下列说法正确的是（ ）
A. 若点的坐标为，则对应的点在第三象限
B. 若，则点的集合所构成的图形的面积为
C. 若，则的模为7
D. 若是关于的方程的一个根，则
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 若非零向量满足，则
B.
C. 若为单位向量，则
D. 向量可以作为平面内的一个基底
11. 对于有如下命题，其中正确的是（ ）
A. 若，则为钝角三角形
B. 若，且有两解，则的取值范围是
C. 在锐角中，不等式恒成立
D. 在中，若，则必是等边三角形
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 在中，，，若，则________.
13. 如图，水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，，则四边形的周长为______.
14. 已知码头B在码头A的正北方向，两码头相距100海里，从码头A测得海上某渔船C位于北偏东方向，从码头B测得渔船C位于北偏东方向，从码头A还测得另一艘货船D位于南偏东方向，且货船D到码头A的距离为海里，则渔船C与货船D之间的距离为______海里．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知复数，根据下列条件求实数的值．
（1）是实数；
（2）是纯虚数；
（3）在复平面内对应的点在第二象限．
16. 已知向量满足，的夹角为．
（1）；
（2）若，求实数；
（3）若与的夹角为钝角，求实数的取值范围．
17. 在中，角、、所对的边分别为、、，且，.
（1）求角的大小；
（2）若的面积为，求的周长．
（3）若，求周长的取值范围.
18. 已知在中，为中点，，，.

（1）若，求；
（2）设和的夹角为，若，求证：；
（3）若线段上一动点满足，试确定点的位置.
19. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
（1）求角B；
（2）如图，的角平分线交于点D，且，，
（i）求的长度；
（ii）若边上的中线与相交于点F，求的余弦值．
数学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 在复平面内，若复数和对应的点分别是和，则（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：由复数的几何意义写出，然后由复数的除法运算法则计算.
解答过程：由题意，，
所以.
2. 已知分别为三个内角所对的边，若，则（ ）
A. B. C. 或D.
答案：A
解析：
思路：利用正弦定理求得，结合三角形边角关系即可求出角.
解答过程：由正弦定理，，可得，
因，则，故.
故选：A.
3. 已知向量，，，则m的值为（ ）
A. 0B. -2C. 0或-2D. 0或2
答案：D
解析：
思路：直接利用向量的坐标运算和向量的模，求出结果
解答过程：向量，，故，
所以，解得或2．
故选：D．
4. 圆锥的底面半径为1，其侧面展开图是半圆，那么此圆锥的高是（ ）
A. 1B. C. D. 2
答案：C
解析：
思路：根据给定条件，求出圆锥母线，进而求出圆锥的高.
解答过程：由圆锥的底面半径为1，得侧面展开图半圆弧长为，因此该半圆半径为2，
即圆锥的母线长为2，所以圆锥的高为.
故选：C
5. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则此三角形的形状为（ ）
A. 等腰三角形B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形D. 等腰或直角三角形
答案：B
解析：
思路：首先边化为角，再结合三角恒等变换，求得，即可判断三角形的形状
解答过程：移项得，可化为
，
展开得，
整理得，又，所以，即，则为直角三角形.
故选：B．
6. 若非零向量，满足，则在方向上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：利用得到，再利用投影向量的公式代入求出的等式即可求得结果.
解答过程：因为，所以两边平方得到：，
在方向上的投影向量为，
故选：D
7. 已知棱长为的正方体的一个面在一半球底面上，且四个顶点都在此半球面上，则此半球的体积为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：根据条件，利用勾股定理直接求出球的半径，再利用球的体积公式，即可求解.
解答过程：如图，设半球的球心为，半径为，连接，
由题易知半球的球心是底面正方形的中心，且，，
在中，，得到，
故半球的体积为，
故选：A.
8. 中国被称为“制扇王国”，折扇的起源历史悠久，最早可以追溯到西汉时期.现有一把折扇，其结构如图.完全展开后扇环的圆心角为，上板长为，若把该扇环围成一个圆台，则圆台的高为（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：先根据弧长公式求出圆台的上下底面半径，再结合圆台的母线长，利用勾股定理求出圆台的高.
解答过程：设小扇形的半径为，则大扇形的半径为，
设圆台的上下底面半径分别为，，则，，
所以，所以，
所以圆台的高为.
故选：D
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，
9. 设复数在复平面内对应的点为，原点为，为虚数单位，则下列说法正确的是（ ）
A. 若点的坐标为，则对应的点在第三象限
B. 若，则点的集合所构成的图形的面积为
C. 若，则的模为7
D. 若是关于的方程的一个根，则
答案：ABD
解析：
思路：本题根据复数的模长，复数的几何意义以及根与系数的关系即可求解.
解答过程：A选项，因为点的坐标为在第二象限，则对应的点为，所以在第三象限，故A选项正确；
B选项，，则依据复数模长的几何意义可知，表示一个圆环，面积为，故B选项正确；
C选项，，则，故C选项错误；
D选项，是关于的方程的一个根，则其共轭复数也是方程的根，则常数项，故D选项正确；
故选：ABD
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 若非零向量满足，则
B.
C. 若为单位向量，则
D. 向量可以作为平面内的一个基底
答案：ABC
解析：
思路：利用平面向量共线定理判断A，D，根据平面向量线性运算法则判断B，根据数量积的运算律判断C.
解答过程：对于A：由，存在实数，使得，
由，存在实数，使得，则，故，A正确；
对于B：由，故B正确；
对于C：由，
，则，故C正确；
对于D：由，所以，即，
故向量不可以作为平面内的一个基底，D错误.
故选：ABC.
11. 对于有如下命题，其中正确的是（ ）
A. 若，则为钝角三角形
B. 若，且有两解，则的取值范围是
C. 在锐角中，不等式恒成立
D. 在中，若，则必是等边三角形
答案：AD
解析：
思路：由正弦定理将角化边，再由余弦定理可得，判断出角为钝角，判断A；由三角形有两解的充要条件列表达式，可得的范围，判断B；由锐角三角形的性质判断出与的关系，判断C；由余弦定理可得，判断出的形状，判断D．
解答过程：A中，，即，
由正弦定理可得，由余弦定理可得，
因为，所以，即为钝角，所以该三角形为钝角三角形，故A正确；
B中，若，且有两解，则，即，
即的范围为，所以B错误；
C中，在锐角中，只有时，不等式才恒成立，所以C不正确；
D中，若，由余弦定理可得，
即，即，所以，所以必是等边三角形，故D正确．
故选：AD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 在中，，，若，则________.
答案：
解析：
思路：根据平面向量线性运算法则及平面向量基本定理计算可得.
解答过程：因为，，
所以，
又且与不共线，
所以，则.
故
13. 如图，水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，，则四边形的周长为______.
答案：10
解析：
思路：根据斜二测画法的原则还原四边形进行求解即可.
解答过程：由题设知：原四边形中且，
所以原四边形为平行四边形，
而，则原四边形中，故，
综上，四边形的周长为.
故10
14. 已知码头B在码头A的正北方向，两码头相距100海里，从码头A测得海上某渔船C位于北偏东方向，从码头B测得渔船C位于北偏东方向，从码头A还测得另一艘货船D位于南偏东方向，且货船D到码头A的距离为海里，则渔船C与货船D之间的距离为______海里．
答案：
解析：
思路：先作示意图，求，在中由正弦定理求，在中由余弦定理求即可.
解答过程：如图所示，，，
，．
在中，由，又海里，
所以，解得（海里），
在中，由余弦定理可得，
又海里，
则（海里）．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知复数，根据下列条件求实数的值．
（1）是实数；
（2）是纯虚数；
（3）在复平面内对应的点在第二象限．
答案：（1）1或2 （2）
（3）解析：
思路：（1）根据题意得，根据复数的概念列式即可求解；
（2）根据复数的概念列式即可求解；
（3）根据复数的几何意义列式即可求解.
（1）由题意
，
若是实数，则，解得或
（2）若是纯虚数，则，解得；
（3）若在复平面内对应的点在第二象限，则，解得.
16. 已知向量满足，的夹角为．
（1）；
（2）若，求实数；
（3）若与的夹角为钝角，求实数的取值范围．
答案：（1）
（2） （3），且
解析：
思路：（1）利用向量的平方，结合数量积运算来求差向量的模即可；
（2）利用垂直向量，转化为数量积为0的运算即可求参数；
（3）利用向量夹角问题转化为数量积的正负和不共线问题来求解即可.
（1），
，
．
（2）．
（3）由已知，且与不共线，
由可得，，
所以，
若与共线，则可得，
所以，即，
所以由与不共线可得，
所以且，所以的取值范围为，且．
17. 在中，角、、所对的边分别为、、，且，.
（1）求角的大小；
（2）若的面积为，求的周长．
（3）若，求周长的取值范围.
答案：（1）
（2） （3）
解析：
思路：（1）由平面向量的数量积坐标公式计算结合两角和正弦公式计算求解即可；
（2）应用余弦定理结合三角形面积公式计算求解即可；
（3）先应用正弦定理结合三角恒等变换计算得到，再应用正弦函数的性质求解即可.
（1），
由正弦定理得，
，
即，
，，
又，则，，
，.
（2）由，则，
由余弦定理，得，即，
则的周长为.
（3）根据正弦定理得，所以，
又因为，所以，
所以三角形周长为
，
因为，所以，则，
所以，
所以周长的取值范围为.
18. 已知在中，为中点，，，.

（1）若，求；
（2）设和的夹角为，若，求证：；
（3）若线段上一动点满足，试确定点的位置.
答案：（1）
（2）证明见解析 （3）点为线段的中点
解析：
思路：（1）将用基底表示，利用平面向量数量积的运算性质可求出的值；
（2）将向量用基底表示，利用平面向量数量积的运算性质计算的值，即可证得结论成立；
（3）设，其中，将用基底表示，利用平面向量的基本定理可求出的值，即可得出结论.
（1）因为，则，可得，
因为，，，
由平面向量数量积的定义可得，
所以，
.
（2）因为为的中点，则，
由平面向量数量积的定义可得，
所以，，
又因为、均为非零向量，故，即.
（3）因为点在线段上的一点，设，其中，
则，所以，，
又因为，且、不共线，
所以，，解得，此时，点为线段的中点.
19. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
（1）求角B；
（2）如图，的角平分线交于点D，且，，
（i）求的长度；
（ii）若边上的中线与相交于点F，求的余弦值．
答案：（1）
（2）（i）；（ii）
解析：
思路：（1）利用正弦定理边化角，再利用余弦定理求出即可得解.
（2）（i）根据角平分线性质和三角形面积的分割关系列出等式，求解BD的长度.
（ii）易知为向量的夹角，利用中线向量运算得，结合角平分线定理利用向量线性运算得，然后利用平面向量的夹角公式求解余弦值即可.
（1）在中，由及正弦定理，得，
即，
由余弦定理得，而，所以.
（2）（i）已知的角平分线交于点D，则，
又在中，，即，
即，解得.
（ii）因为为的中线，
所以，
又，则，
因为，为的角平分线，
在中，因为，得到①，
在中，因为，得到②，
又，由①②得到，
所以，
因为
，
所以，
即的余弦值为.