山东省泰安市2023−2024学年高一下学期期末考试 数学试题（含解析）

这是一份山东省泰安市2023−2024学年高一下学期期末考试 数学试题（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．若复数满足，其中为虚数单位，则复数的虚部为（ ）
A．1B．-1C．D．-
2．若，为非零向量，则“”是“”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
3．已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，，则
C．若，，，，则
D．若，，，则
4．已知在中，，，，则（ ）
A．B．C．D．或
5．如图是某公司2023年1月至12月空调销售任务及完成情况的气泡图，气泡的大小表示完成率的高低，如10月份销售任务是台，完成率为，则下列叙述正确的是（ ）

（1）2023年9月的销售量是450台；
（2）2023年月销售任务的平均值不超过600台；
（3）2023年第四季度总销售为800台；
（4）2023年月销售量最大的是6月份．
A．（1）（2）B．（1）（3）C．（1）（3）（4）D．（1）（2）（4）
6．某班共有40名同学，其中12名同学精通乐器，8名同学擅长舞蹈，从该班中任选一名同学了解其艺术特长，设事件 “选中的同学精通乐器”， “选中的同学擅长舞蹈”，若，则（ ）
A．B．C．D．
7．如图，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为，向山顶前进100m到达B处，在B处测得C对于山坡的斜度为，若，山坡与地平面的夹角为θ，则（ ）
A．B．C．D．
8．祖暅是我国南北朝时期杰出的数学家和天文学家祖冲之的儿子，他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异”，这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高．这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等．利用祖暅原理可以将半球的体积转化为与其同底等高的圆柱和圆锥的体积之差．如图1是一种“四脚帐篷”的示意图，其中曲线AOC和BOD均是以为半径的半圆，平面AOC和平面BOD均垂直于平面ABCD，用任意平行于账篷底面ABCD的平面截帐篷，所得截面四边形均为正方形．模仿上述半球的体积计算方法，可以构造一个与帐篷同底等高的正四棱柱，从中挖去一个倒放的同底等高的正四棱锥（如图2），从而求得该帐篷的体积为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知复数，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．若，则
C．D．若，则或
10．已知在直角中，斜边，为所在平面内一点，，则下列结论正确的是（ ）
A．的取值范围是B．点P在斜边AB的中线上
C．点P的轨迹长度是2D．的取值范围是
11．如图所示，在等腰梯形ABCD中，已知，，将沿BD翻折到位置，则下列结论正确的是（ ）

A．翻折过程中存在某个位置，使
B．当二面角为时，点C到平面的距离为
C．直线与CD所成角的取值范围为
D．当三棱锥的体积最大时，以为直径的球被平面所截的截面面积为π
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知单位向量，的夹角为，，则 ．
13．某班学生分成了A，B两个数学兴趣小组，A组20人，B组30人，经过一周的学习后进行了一次测试，在该测试中，A组成绩的平均数为90分，方差为30，B组成绩的平均数为80分，方差为40，则在这次测试中，全班学生成绩的方差为 ．
14．如图，两块直角三角形模具，斜边靠在一起，其中公共斜边，，，交于点，则 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．青少年时期是身心健康和各项身体素质发展的关键时期，青少年的体质健康水平不仅关系个人健康成长和幸福生活，而且关系整个民族健康素质，关系我国人才培养的质量.某高中为了解本校高一年级学生体育锻炼情况，随机抽取100名同学，统计他们每天锻炼的时间作为样本得到如图所示的频率分布直方图．已知样本中体育锻炼时间在的学生有20人.
(1)求频率分布直方图中a和b的值；
(2)估计样本数据的第70百分位数和平均数.
16．如图，在直三棱柱中，D，E分别为，的中点．，，.
(1)求证：平面ABC；
(2)求直线CD与平面所成角的正切值．
17．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，．
(1)求B；
(2)若为锐角三角形，求的取值范围．
18．如图，一个正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间，已知事件 “与地面接触的面上的数字为偶数”，事件 “与地面接触的面上的数字不小于5”．

(1)判断事件与是否相互独立，并证明；
(2)连续抛掷3次这个正八面体，求事件至少发生次的概率；
(3)请构造一个含有2个样本点的事件C，满足①②，，三个事件两两独立③并给出证明．
19．如图，在矩形ABCD中，，，E是线段AB上的一点，将沿DE翻折，使A点到达P的位置，且点P不在平面BCDE内．

(1)若平面平面BCDE，证明：平面平面；
(2)设E为AB的中点，取DE的中点O，连接AO并延长，交BC延长线于点S，设．
①用表示二面角的正切；
②当二面角最大时，求四棱锥的体积．
参考答案
1．【答案】A
【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念得答案.
【详解】由，得，
所以，即复数的虚部为1.
故选A.
2．【答案】B
【分析】根据，两边平方得到，的夹角为0，而，则，的夹角为0或，从而得到答案.
【详解】两边平方得，
又因为，所以，
其中，
所以，所以，的夹角为0，
而，则，的夹角为0或，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选B.
3．【答案】B
【分析】根据空间中线线、线面、面面的位置关系一一判断即可.
【详解】对于A项，若，，则与可能平行、相交、异面，所以A错误；
对于B项，若，，则，又，则在平面存在直线使得，
所以，则，所以B正确；
对于C项，若，，，，当与相交时，
当与不相交（）时或与相交，所以C错误；
对于D项，若，，，则或，为异面直线或与相交或（相交垂直或异面垂直），所以D错误.
故选B.
4．【答案】A
【分析】由正弦定理直接求解．
【详解】在中，由正弦定理得，得，
又因为，所以，而，所以．
故选A．
5．【答案】A
【分析】由图中的信息，结合选项，即可判断.
【详解】（1）9月份的任务是300台，完成率是，所以销售了台，所以（1）正确；
（2）2023年月销售任务的平均值为台，所以（2）正确；
（3）第四季度总销售额为，所以（3）错误；
（4）由销售任务和完成率，比较5月份和6月份，5月份的销售额是800台，6月份的销售额是台，所以销售量最大是5月份，所以（4）错误.
故选A.
6．【答案】D
【分析】首先求出，，再根据计算可得.
【详解】依题意，，
又因为，
所以.
故选D.
7．【答案】C
【分析】首先求，再根据正弦定理求，根据角的关系，即可求解.
【详解】由题意可知，是等腰三角形，所以，
中，，即，得，
.
故选C.
8．【答案】C
【分析】先证明等高处的水平截面截两个几何体的截面的面积相等，由祖暅原理知帐篷体积为正四棱柱的体积减去正四棱锥的体积，计算即可.
【详解】如图1，设截面与底面的距离为，在帐篷中的截面为，
设底面中心为，截面中心为，则，，
所以，所以截面为的面积为，
如图2，设截面截正四棱柱得四边形为，截正四棱锥得四边形为，
底面中心与截面中心之间的距离为，
在正四棱柱中，底面正方形边长为，高为，，
所以，所以，
是等腰直角三角形，
所以，所以四边形的边长为，
所以四边形的面积为，
所以图2中阴影部分的面积为，与截面面积相等，
由祖暅原理知帐篷体积为正四棱柱的体积减去正四棱锥的体积，
即.
故选C.
【思路导引】本题的关键1是理解祖暅原理：两个等高的几何体若在等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.关键2是计算等高处的截面面积相等.
9．【答案】BC
【分析】利用特殊值判断A、D项，根据共轭复数及复数相等的充要条件判断B项，根据复数的模及代数形式的乘法判断C项.
【详解】对于A项，令，则，，
显然，所以A错误；
对于B项，设、，
因为，则，所以，
则，所以B正确；
对于C项，设、，
则
，
，
所以，所以C正确；
对于D项，令，则，
则，所以D错误.
故选BC.
10．【答案】ABC
【分析】首先根据向量的数量积公式，结合直角三角形的性质，判断A项，根据平面向量基本定理判断B、C项，化简向量的数量积，转化为二次函数求值域，判断D项.
【详解】对于A项，，，所以的取值范围是，所以A正确；
对于B项，取的中点，由，
得，
由，可知，三点三点共线，且，，
所以点在斜边的中线上，所以B正确；
对于C项，由以上可知，点的轨迹是斜边的中线，，所以C正确；
对于D项，，设，
，所以函数的值域为，所以D错误.
故选ABC.
11．【答案】BCD
【分析】A项由，即可判断；B项由翻折前的图形关系，可得到翻折后的二面角的平面角，利用垂直关系可得点到平面的距离；C项在旋转过程中，将看成圆锥的母线，即可求解异面直线所成角的范围；D项由体积最大，确定平面平面，再确定截面圆的圆心，即可求解.
【详解】对于A项，因为，所以为锐角，所以A错误；
对于B项，取的中点，连结，，且，
所以四边形是平行四边形，
所以，所以是等边三角形，，，
连结，则，且，，则，
所以，
连结，则四边形是菱形，，且，

上图翻折后，如下图，

，，，平面，
所以平面，且，
平面,所以平面平面，且平面平面，
作，即平面，,
所以点到平面的距离是，所以B正确；
对于C项，由以上证明可知，，
直线与所成的角，即为直线与所成角，
在翻折过程中，绕着旋转，可以看成以为顶点，为轴的圆锥的母线，
为底面圆的直径，
原问题转化为母线与底面直径所成角的取值范围，母线与轴的夹角为,
则母线与所成角的最小值为母线与底面圆所在平面的角，最小值为，最大为，
所以直线与CD所成角的取值范围为，所以C正确；

对于D项，当平面平面时，三棱锥的体积最大，
又，平面平面，平面，
所以平面，
的中点为球心，取的中点，则为的中位线，
所以，平面，

以为直径的球被平面所截的截面为圆面，
由以上分析可知，点为该圆的圆心，其半径，该圆面面积为，所以D正确.
故选BCD.
12．【答案】或.
【分析】首先求出，再将两边平方，由数量积的运算律计算可得.
【详解】因为单位向量，的夹角为，
所以，
又因为，所以，即，
解得或.
故答案为：或.
13．【答案】60.
【分析】利用各层方差与总体方差之间的关系式可求全班学生方差.
【详解】依题意，，，，
所以（分），
所以全班学生的平均成绩为分．
全班学生成绩的方差为
.
故答案为：.
14．【答案】.
【分析】由锐角三角函数求出、，再求出，最后由，利用面积公式计算可得.
【详解】由已知，
，
因为，
因为
，
又因为，
所以，
即，
解得.
故答案为：.
15．【答案】(1)，；
(2)第70百分位数是82，平均数是74.
【分析】（1）首先根据的频数，由频率求，再根据频率和为1，求；
（2）首先估计第70百分位数所在的区间，再代入公式求解，代入平均数公式求平均数.
【详解】（1）由题意可知，时间在的频率为，，
由各组频率之和为1可知，，得；
（2）前4组的频率和为，
前5的频率和为，
所以第70百分位数在第5组，设为，
所以，解得：，
所以样本数据的第70百分位数是，
平均数是.
16．【答案】(1)见解析；
(2).
【分析】（1）根据线面平行的判断定理，构造平行四边形，证明线线平行，即可证明；
（2）根据（1）的结果，构造线面角，即可求解.
【详解】（1）取的中点，连结，
因为分别是的中点，所以，且，
，且，
所以，且，所以四边形是平行四边形，
所以，
平面，平面，
所以平面，
（2）因为平面平面，且平面平面，
且，点是的中点，
所以，所以平面，
又因为，所以平面，
连结，为与平面所成的线面角，
由，，得，，
，所以.
【方法总结】证明线面平行的常用方法
(1)利用线面平行的定义(无公共点)；(2)利用线面平行的判定定理；
(3)利用面面平行的性质定理．
17．【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）首先由，再根据角化为边，并结合余弦定理，即可求解；
（2）首先根据（1）的结果化简，再根据角的范围，结合正弦定理，即可求解.
【详解】（1）由，,
由正弦定理角化边可知，，
即，，又因为，
所以.
（2），得，
所以，
由，且是锐角三角形，所以，
由正弦定理，得，
所以，
所以的取值范围为.
【思路导引】本题的关键在于运用余弦定理，即三角形中一边的平方等于其他两边平方和减去这两边与他们的夹角的余弦的积的两倍.
18．【答案】(1)事件，相互独立，证明见解析；
(2)；
(3)事件可以为，，，中的任意一个，证明见解析.
【分析】（1）列出所对应的基本事件，求出所对应的概率，根据独立事件的概率公式判断即可.
（2）利用独立事件的概率公式即可得解.
（3）事件可以为，，，中的任意一个，以为例（其它证明类似）证明，结合古典概型及相互独立事件的定义证明即可.
【详解】（1）事件，相互独立，证明如下：
因为样本空间为，
所以，，则，
故，，，
所以事件，相互独立.
（2）依题意知每次抛掷这个正八面体的结果都互不影响，即互相独立，
记为第次抛掷这个正八面体发生事件，则，
事件至少发生次为事件，
所以
.
（3）事件可以为，，，中的任意一个，
以为例（其它证明类似）证明如下：
因为，，，，
所以，，，
，
所以，，三个事件两两独立；
又因为，，
所以，所以满足上述三个条件.
19．【答案】(1)证明见解析；
(2)①；②.
【分析】（1）根据面面垂直的性质得平面，再利用面面垂直的判定即可；
（2）①首先根据面面垂直的判定得平面平面，然后通过作辅助线找到二面角，通过三角函数定义得到相关长度，最后得到正切表达式；②利用上述表达式结合基本不等式得到最值，求出最值时的长，再利用椎体体积公式即可.
【详解】（1）因为平面平面，平面平面，
平面，
所以平面，又因为平面，
所以平面平面.
（2）因为在矩形中，为的中点，
所以为等腰直角三角形，所以为等腰直角三角形，
连接，则，

因为，所以，所以.
由条件可得，所以为等腰直角三角形，所以.
因为平面，所以平面，
而平面，所以平面平面.
在平面中，过作的垂线，垂足为，
过作，垂足为，连接，
因为平面平面，平面，所以平面，
而平面，所以，
而平面，
所以平面.
所以为二面角的平面角，
因为，则，
所以，所以
所以；
②因为，所以，所以，
，
当且仅当时等号成立，
此时，
所以当时，二面角的平面角最大，
因为，
所以.
【思路导引】本题第二问的关键是找到该二面角的平面角，而求出该表达式的最值在于利用二倍角公式和基本不等式求取最值，也可通过数形结合转化斜率问题来求最值.