2025--2026学年陕西省汉中市仁德学校高一下册第一次月考数学试题 [含答案]

这是一份2025--2026学年陕西省汉中市仁德学校高一下册第一次月考数学试题 [含答案]，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知角的终边过点，若，则（ ）
A. B. C. 10D.
2. 已知一个扇形的半径与弧长相等，且扇形的面积为，则该扇形的周长为（ ）
A. B. C. D.
3. 为了得到函数的图象，只要把函数的图象上所有点（ ）
A. 横坐标缩短到原来的，纵坐标不变B. 横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
C. 纵坐标缩短到原来的，横坐标不变D. 纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变
4. 将函数的图象向左平移个单位后，所得到的图象对应的函数为偶函数，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
5. 下列说法正确的是（ ）
A. 若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等
B. 两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同
C. 若，，则
D. 向量与向量的长度相等
6. 已知，，则，，，的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
7. 已知函数的部分图象如图所示，其中图象最高点和最低点的横坐标分别为和，图象在轴上的截距为，则（ ）
A. 1B. C. D. 0
8. 已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 已知函数，则（ ）．
A. B. 在上单调递增
C. 为的一个对称中心D. 最小正周期为
10. （多选）已知函数，则（ ）
A. 为的一个周期B. 的图象关于直线对称
C. 在上单调递减D. 函数的一个零点为
11. 下列条件中，能使和的终边关于轴对称的是（ ）
A. B.
C. D.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 如图，已知为平行四边形内一点，，则等于______________.（用表示）
13. 若，且，则______.
14. 设函数，若在区间上，函数有4个零点，则实数的取值范围是______．
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 已知角的顶点与坐标原点重合，始边落在轴的正半轴上，终边经过点，其中.
（1）若，求的值；
（2）若，求的值.
16. 已知，
（1）求的值；
（2）求；
17. 已知函数的最小正周期为，且点是该函数图象的一个最高点.
（1）求函数的解析式；
（2）求函数的单调增区间；
（3）若，求函数的值域.
18. 如图所示，某城市中心有一圆形广场，政府计划在广场上用栅栏围一块扇形环面区域（由扇形去掉扇形构成）种植花卉，已知米，米，扇形环面区域面积为100平方米，圆心角为弧度.

（1）当米时，求的长；
（2）记花卉周围栅栏的长度为米，试问取何值时，的值最小？并求出最小值.
19. 已知函数的图象如图所示.
（1）求函数的对称中心和单调递增区间；
（2）先将函数图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），然后将得到的函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），最后将所得图象向左平移个单位后得到函数的图象.若对任意的恒成立，求实数的取值范围.
数学
第一部分（选择题 共58分）
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知角的终边过点，若，则（ ）
A. B. C. 10D.
答案：B
解析：
思路：由诱导公式可知，再由正切函数的定义知，即可求出.
解答过程：，角的终边过点，
由正切函数的定义知，解得.
故选：B.
方法提示：本题考查三角函数定义和诱导公式的应用，属于基础题.
2. 已知一个扇形的半径与弧长相等，且扇形的面积为，则该扇形的周长为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：
由题意利用扇形的面积公式可得，解得的值，即可得解扇形的周长的值．
解答过程：解：设扇形的半径为，则弧长，
又因为扇形的面积为，
所以，
解得，
故扇形的周长为．
故选：．
3. 为了得到函数的图象，只要把函数的图象上所有点（ ）
A. 横坐标缩短到原来的，纵坐标不变B. 横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
C. 纵坐标缩短到原来的，横坐标不变D. 纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变
答案：A
解析：
思路：利用三角函数的图象变换，可得答案.
解答过程：只要将函数图象上所有点的横坐标变成原来的，纵坐标不变，可得函数的图象.
故选：A
4. 将函数的图象向左平移个单位后，所得到的图象对应的函数为偶函数，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
解答过程：将函数的图象向左平移个单位后得到函数.
因为是偶函数，则.
整理得，
因为，取时，得到最小正数.
因此的最小值为.
5. 下列说法正确的是（ ）
A. 若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等
B. 两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同
C. 若，，则
D. 向量与向量的长度相等
答案：D
解析：
思路：本题可根据单位向量、平行向量、相等向量等向量的基本概念，对每个选项逐一进行分析判断.
解答过程：单位向量是指模等于的向量.若两个单位向量平行，它们的方向可能相同或相反.当方向相反时，这两个单位向量并不相等.所以A选项错误.
两个有共同起点且长度相等的向量，它们的方向不一定相同.向量由大小和方向共同决定，方向不同时，终点也不同.比如，以原点为起点，长度都为的向量，一个沿轴正方向，一个沿轴正方向，它们的终点显然不同.所以B选项错误.
当时，对于任意向量和，都有且，但与不一定平行.因为零向量与任意向量都平行.所以C选项错误.
向量与向量是方向相反的向量，但它们的长度是相等的，因为向量的长度只与向量的大小有关，与方向无关.所以D选项正确.
故选：D.
6. 已知，，则，，，的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：先利用诱导公式将不同名化同名比较与的大小，然后再比较与的大小，从而得出结论.
解答过程：因为，且，
所以.
故选.
方法提示：本题考查三角函数值大小的比较，较简单. 注意函数名的转化及三角函数单调性的应用.
7. 已知函数的部分图象如图所示，其中图象最高点和最低点的横坐标分别为和，图象在轴上的截距为，则（ ）
A. 1B. C. D. 0
答案：A
解析：
思路：根据函数的图象可得， ，再由五点法作图得,解得，然后根据图象在轴上的截距为，由求得函数解析式即可.
解答过程：由函数的图象可知，
所以 ， ，
由五点法作图知：,
解得，所以，
又，
所以，
所以,
故选：A
8. 已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：利用正弦型函数的单调性得，即可求.
解答过程：由，则，且，
由函数在区间上单调递增，则，所以.
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 已知函数，则（ ）．
A. B. 在上单调递增
C. 为的一个对称中心D. 最小正周期为
答案：BCD
解析：
思路：直接求解判断A选项；由函数正切函数的单调区间、对称轴公式、周期公式进行求解分别判断B、C、D选项.
解答过程：对于A，已知函数，，故A错误；
对于B，，，解得，当时，，
所以在上单调递增，，故B正确；
对于C，把带代入，，为的一个对称中心，故C正确；
对于D，最小正周期为，故D正确.
故选：BCD.
10. （多选）已知函数，则（ ）
A. 为的一个周期B. 的图象关于直线对称
C. 在上单调递减D. 函数的一个零点为
答案：AD
解析：
思路：本题考查的形如的函数的性质，包裹周期、对称性、单调性以及函数零点等.
解答过程：函数的最小正周期，故A正确；
当时，，由余弦函数图象的对称性知，B错误；
函数在上单调递减，在上单调递增，故C错误；
，，故D正确.
故选：AD．
11. 下列条件中，能使和的终边关于轴对称的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：BD
解析：
思路：根据和的终边关于轴对称时，逐一判断正误即可.
解答过程：根据和的终边关于轴对称时可知，
选项B中，符合题意；选项D中，符合题意；
选项AC中，可取时显然可见和的终边不关于轴对称.
故选：BD.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 如图，已知为平行四边形内一点，，则等于______________.（用表示）
答案：
解析：
解答过程.
13. 若，且，则______.
答案：
解析：
思路：由已知条件知，根据同角平方关系求，结合诱导公式得，即可求.
解答过程：由知：，即，
由且，可得.
∵，
∴.
故答案为.
14. 设函数，若在区间上，函数有4个零点，则实数的取值范围是______．
答案：
解析：
思路：去绝对值，将的解析式化简，作出的图象，函数有4个零点，则与的图象有4个不同的交点，数形结合即可得到答案.
解答过程：当时，，
当时，，作出的图象，如图所示，
函数有4个零点，则与的图象有4个不同的交点，
所以．
故
方法提示：本题考查已知函数的零点个数求参数的取值范围，涉及到正弦型函数的作图，考查学生数形结合思想，转化与化归思想，是一道中档题.
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 已知角的顶点与坐标原点重合，始边落在轴的正半轴上，终边经过点，其中.
（1）若，求的值；
（2）若，求的值.
答案：（1）；（2）.
解析：
思路：（1）用三角函数的定义；
（2）先求正切值，再把弦化切.
解答过程：（1）由题意知，，
因为，
所以.
解得，
所以.
（2）当时，，
所以.
方法提示：本题为基础题，考查三角函数的定义及同角三角函数的关系.
16. 已知，
（1）求的值；
（2）求；
答案：（1）2；（2）.
解析：
思路：（1）由已知，化简整理可得，即可得解；
（2）化简，根据（1）的结果代入即可得解．
解答过程：（1）由已知，
化简得，整理得故
（2）．
方法提示：本题考查了三角函数的运算，考查了知弦求切和知切求弦，主要利用了诱导公式，属于简单题.
17. 已知函数的最小正周期为，且点是该函数图象的一个最高点.
（1）求函数的解析式；
（2）求函数的单调增区间；
（3）若，求函数的值域.
答案：（1）；（2） ；（3），.
解析：
思路：（1）由的最小正周期求出，根据图象上一个最高点，求出与的值，即可求得函数的解析式；
（2）根据正弦函数的单调增区间，得出，即可求得函数的单调增区间；
（3）求出时的取值范围，根据正弦函数的图象和性质，从而求出函数的最大值和最小值，即可得出值域．
解答过程：解：（1）根据的最小正周期为，且，
可得，
再根据是图象的一个最高点，
可得，则，即，
，，
即，，
又由于，解得：，.
（2）令，
由于函数的单调递增区间是：，，，
所以，
则，
所以函数的单调增区间是．
（3）当时，则，则，
而，
故当时，函数取得最大值为：，
当时，函数取得最小值为：，
故函数的值域为，．
方法提示：本题考查由的图象性质确定其解析式，根据正弦函数的图象和性质，求正弦型函数的单调性和值域，考查化简计算能力．
18. 如图所示，某城市中心有一圆形广场，政府计划在广场上用栅栏围一块扇形环面区域（由扇形去掉扇形构成）种植花卉，已知米，米，扇形环面区域面积为100平方米，圆心角为弧度.

（1）当米时，求的长；
（2）记花卉周围栅栏的长度为米，试问取何值时，的值最小？并求出最小值.
答案：（1）
（2）当时取等号，栅栏长度的最小值为40米.
解析：
思路：（1）根据扇形的面积公式列方程得出关于的函数解析式，令，求出，在根据求出答案；
（2）根据弧长公式求出关于的函数表达式，根据均值不等式可得的最小值.
（1）利用扇形的面积公式可得，
所以，
于是米.
（2）依题意可得弧长，弧长，
所以栅栏的长度，将代入上式，整理可得，
当且仅当时取等号，所以栅栏长度的最小值为40米.
19. 已知函数的图象如图所示.
（1）求函数的对称中心和单调递增区间；
（2）先将函数图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），然后将得到的函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），最后将所得图象向左平移个单位后得到函数的图象.若对任意的恒成立，求实数的取值范围.
答案：（1）对称中心为，；单调递增区间为
（2）解析：
思路：（1）根据函数图象求得的解析式，然后利用整体代入法求得的对称中心和单调递增区间；
（2）利用三角函数图象变换的知识求得的解析式，根据在区间上的值域转化不等式，由此求得的取值范围.
（1）由图可知：，所以，所以，，
又，
所以，.
所以.
令，，则，.
所以的对称中心为，.
令，即，
所以函数的单调递增区间为.
（2）由题.
当时，.
因为对任意的恒成立，
则.
所以.