2025--2026学年山西晋中市介休市第一中学校高二下册4月考试数学试题 [含答案]

这是一份2025--2026学年山西晋中市介休市第一中学校高二下册4月考试数学试题 [含答案]，共4页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有
A. 12种B. 18种C. 36种D. 54种
2. 将1，2，3填入的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，下面是一种填法，则不同的填写方法共有
A. 6种B. 12种C. 24种D. 48种
3. 已知随机变量 的分布列如下：
若，则（ ）
A. B. C. D.
4. 已知离散型随机变量X的分布列如下表：
若离散型随机变量，则（ ）．
A. B. C. D.
5. 设随机变量，满足：，，则（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
6. 已知随机变量的取值为，若，，则（ ）
A. B. C. D.
7. 已知的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式奇数项的二项式系数和为
A. B. C. D.
8. 的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为
A. -40B. -20C. 20D. 40
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 下列表述正确的是（ ）
A. 4名同学分别报名参加足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报一个运动队，不同的报名方法有64种
B. 乒乓球比赛规定团体比赛采取5场单打3胜制，每支球队由3名运动员参赛，前三场各出场1次，其中前2场出场的运动员分别还将参加第4，5场比赛，共有30种安排方法
C. 由数字0，1，2，3，4，5，6可以组成多少个没有重复数字，并且比5000000大的正整数有1420种
D. 从0，2，4，6中任取3个数字，从1，3，5中任取2个数字，一共可以组成1224个没有重复数字的五位数
10. 已知，则（ ）
A. B.
C. D.
11. 在一个有限样本空间中，假设，且与相互独立，与互斥，则（ ）
A.
B.
C.
D. 若，则与互斥
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 在的展开式中，含的项的系数是________.
13. 某种号牌的编号采用5位序号编码，编码具体规则为：由0～9共10个阿拉伯数字和26个英文字母组成，且最多只能含有2个不重复的英文字母.按这种方式可产生_______种号牌.
14. 已知随机事件、满足：，，若与互斥，则_________；若，则_________.
四、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 求的展开式中的系数和常数项.
16. 已知.
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求的值.
17. 有3台车床加工同一型号的零件，第台加工的次品率分别为6%，5%，4%，加工出来的零件混放在一起.已知第台车床加工的零件数的比为，任取一个零件，记事件“零件为第台车床加工”（），事件“零件为次品”.求：
（1）的值；
（2）求的值；
（3）求的值
18. 车间有3台车床各自独立工作.设同时发生故障的车床数为，在下列两种情形下分别求的分布列.
（1）假设这3台车床型号相同，它们发生故障的概率都是30%；
（2）这3台车床中有A型号2台，B型号1台，A型车床发生故障的概率为20%，B型车床发生故障的概率为10%.
19. （1）甲、乙参加围棋比赛，甲每局获胜的概率为，乙每局获胜的概率为，没有平局，赛制分别为三局两胜制和五局三胜制，求甲在两种赛制中获胜的概率？
（2）甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人.求3次传球后球在甲手中的概率.
数学
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有
A. 12种B. 18种C. 36种D. 54种
答案：B
解析：
解答过程：试题分析：由题意知，完成这一件事可分为两步：先将标号1,2的卡片放入同一封信有种方法；再将其他四封信放入两个信封，每个信封两个有种方法，共有种，故选B.
考点：排列与组合
2. 将1，2，3填入的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，下面是一种填法，则不同的填写方法共有
A. 6种B. 12种C. 24种D. 48种
答案：B
解析：
解答过程：先确定第一行的情况一共有种，然后我们再确定第二行第一列的数有种，其余的就是唯一的，由乘法原理可得为12种．
3. 已知随机变量 的分布列如下：
若，则（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：根据分布列的性质以及期望的计算公式列式求解即可.
解答过程：由分布列可得，解得，
由期望可得，解得.
故选：C.
4. 已知离散型随机变量X的分布列如下表：
若离散型随机变量，则（ ）．
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：根据分布列的性质求出a，再根据随机变量之间的函数关系即可求解.
解答过程：由分布列的性质可知： 解得 ，
由 ， 等价于 ，由表可知 ；
故选：A.
5. 设随机变量，满足：，，则（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
答案：A
解析：
思路：二项分布与次独立重复试验的模型．先利用二项分布的数学期望公式求出，再利用方差的性质求解即可．
解答过程：解：因为，则，
又，所以．
故选：A．
6. 已知随机变量的取值为，若，，则（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：设，，则由，，列出方程组，求出，，即可求得．
解答过程：设，，
①，
又②
由①②得，，，
故选：C.
方法提示：本题考查离散型随机变量的方差的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
7. 已知的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式奇数项的二项式系数和为
A. B. C. D.
答案：D
解析：
解答过程：由题设可得，令可得所有项的二项式系数和为，令可得偶数项二项式系数的和与奇数项二项式系数的和相等，即展开式奇数项的二项式系数和为，应选答案D．
8. 的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为
A. -40B. -20C. 20D. 40
答案：D
解析：
思路：
解答过程：令x=1得a=1.故原式=．
的通项，
由5-2r=1得r=2,对应的常数项=80，由5-2r=-1得r=3,对应的常数项=-40，
故所求的常数项为40 ，
故选D
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 下列表述正确的是（ ）
A. 4名同学分别报名参加足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报一个运动队，不同的报名方法有64种
B. 乒乓球比赛规定团体比赛采取5场单打3胜制，每支球队由3名运动员参赛，前三场各出场1次，其中前2场出场的运动员分别还将参加第4，5场比赛，共有30种安排方法
C. 由数字0，1，2，3，4，5，6可以组成多少个没有重复数字，并且比5000000大的正整数有1420种
D. 从0，2，4，6中任取3个数字，从1，3，5中任取2个数字，一共可以组成1224个没有重复数字的五位数
答案：BD
解析：
解答过程：对于A，每名同学都有3种选择，由分步乘法计数原理可知，不同的报名方法种数为种，故A错误.
对于B，若进行3场比赛，有种不同的安排方法，
若进行4场比赛，有种不同的安排方法，
若进行5场比赛，有种不同的安排方法，
故共有种安排方法，故B正确.
对于C，若比5000000大，则有七位数，且首位是5或6，所以由数字0，1，2，3，4，5，6可以组成个没有重复数字，并且比5000000大的正整数，故C错误.
对于D，从0，2，4，6中任取3个数字有种，从1，3，5中任取2个数字有种，
五个数全排列有种，其中首位是零的有种，
所以一共可组成个没有重复数字的五位数，故D正确.
10. 已知，则（ ）
A. B.
C. D.
答案：BCD
解析：
思路：根据条件概率公式、全概率公式、和事件公式可以判断答案.
解答过程：B选项：，对；
C选项：,C对；
A选项：由全概率公式得：
,
,A错；
D选项：D对；
故选：BCD
11. 在一个有限样本空间中，假设，且与相互独立，与互斥，则（ ）
A.
B.
C.
D. 若，则与互斥
答案：BCD
解析：
思路：根据A与B相互独立，则,再由可判断A选项；由条件概率的运算 可判断B选项；因为A与C互斥，即A发生则C一定不发生，故可判断C选项；通过计算得，得B与C互斥即可判断D.
解答过程：对于A，A与B相互独立，则,
，故A错误；
对于B，因为与互斥，所以，所以，
所以，，
所以,故B正确；
对于C，因为与互斥，所以，所以，所以
所以，故C正确；
对于D，显然，即，
由，得，
解得，所以与互斥，故D正确.
故选：BCD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 在的展开式中，含的项的系数是________.
答案：
解析：
思路：要得到必须有4个因式选含的项，一个因式选常数项相乘，由此即可得.
解答过程：要得到必须有4个因式选含的项，一个因式选常数项相乘，
所以的系数为.
13. 某种号牌的编号采用5位序号编码，编码具体规则为：由0～9共10个阿拉伯数字和26个英文字母组成，且最多只能含有2个不重复的英文字母.按这种方式可产生_______种号牌.
答案：7900000
解析：
思路：按编码中含0个、1个、2个不重复英文字母分三类，分别计算每类的编码数量后相加得到总数.
解答过程：根据规则“最多含2个不重复英文字母”，分三类情况计算：
情况1：不含英文字母，全为数字 5个位置每个位置都有10种数字选择，共 105=100000 种；
情况2：含1个英文字母 先从5个位置选1个放字母：，字母共26种选择，剩余4个位置放数字：，
共 5×26×104=1300000 种。
情况3：含2个不重复的英文字母 先从5个位置选2个放字母：，选不重复的2个字母排列：A262=26×25 ，
剩余3个位置放数字：，共 10×26×25×103=6500000 种。
三类相加得总号牌数：
100000+1300000+6500000=7900000 .
14. 已知随机事件、满足：，，若与互斥，则_________；若，则_________.
答案： ①. ②.
解析：
解答过程：空1：若与互斥，则，所以；
空2：因为，所以，
所以，
.
四、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 求的展开式中的系数和常数项.
答案：的系数为，常数项为．
解析：
思路：利用二项式定理写出展开式的通项，确定通项中的指数，再分别令指数为和，即可求出对应的系数和常数项．
解答过程：由二项式定理，展开式的通项为Tr+1=C6r2x6−r−1xr=C6r26−r−1rx3−rr=0,1,2,⋯,6.
令，得，所以的系数为C61⋅25⋅−1=−192 .
令，得，所以常数项为C63⋅23⋅−13=−160 .
综上，展开式中的系数为，常数项为．
16. 已知.
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求的值.
答案：（1）
（2） （3）
解析：
思路：（1）由二项式定理求解；
（2）令可得；
（3）由二项式定理求得，再令求得所有项系数和，然后可得结论.
（1）由已知；
（2）在1−x2024=a0+a1x+a2x2+⋯+a2024x2024中，令得：
；
（3）令得，
在1−x2024=a0+a1x+a2x2+⋯+a2024x2024中，令得：
，
所以.
17. 有3台车床加工同一型号的零件，第台加工的次品率分别为6%，5%，4%，加工出来的零件混放在一起.已知第台车床加工的零件数的比为，任取一个零件，记事件“零件为第台车床加工”（），事件“零件为次品”.求：
（1）的值；
（2）求的值；
（3）求的值
答案：（1）
（2） （3）
解析：
思路：（1）先根据三台车床零件数量占比算出，再结合各自次品率PB∣A1,PB∣A2,PB∣A3，用全概率公式代入求和求出.
（2）直接由题意得到第三台车床的条件次品率PB∣A3.
（3）利用贝叶斯公式，用第二台车床加工次品的概率除以总次品概率，即可算出.
（1）已知，，.
，，.
由全概率公式.
（2）由题意直接得.
（3）由贝叶斯公式.
18. 车间有3台车床各自独立工作.设同时发生故障的车床数为，在下列两种情形下分别求的分布列.
（1）假设这3台车床型号相同，它们发生故障的概率都是30%；
（2）这3台车床中有A型号2台，B型号1台，A型车床发生故障的概率为20%，B型车床发生故障的概率为10%.
答案：（1）答案见解析 （2）答案见解析
解析：
思路：（1）本题中服从参数n=3,p=0.3 的二项分布，利用二项分布概率公式计算取各可能值的概率，即可得到的分布列；
（2）分情况枚举取各可能值时故障车床的型号组合，利用独立事件的概率乘法与加法公式计算对应概率，即可得到的分布列.
（1）易知同时发生故障的车床数X～B3,0.3，
PX=0=C30×0.30×0.73=0.343 ，
PX=1=C31×0.31×0.72=0.441 ，
PX=2=C32×0.32×0.71=0.189 ，
PX=3=C33×0.33×0.70=0.027 ，
X的分布列为：
（2）设2台A型车床故障概率为0.2，1台B型车床故障概率为0.1，各车床故障独立，的可能取值为，
（无故障）：PX=0=1−0.221−0.1=0.576 ，
（仅1台故障）：PX=1=C21⋅0.2⋅0.8⋅0.9+0.82⋅0.1=0.352 ，
（仅2台故障）：PX=2=0.22⋅0.9+C21⋅0.2⋅0.8⋅0.1=0.068 ，
（全故障）：PX=3=0.22⋅0.1=0.004 ，
X的分布列为：
19. （1）甲、乙参加围棋比赛，甲每局获胜的概率为，乙每局获胜的概率为，没有平局，赛制分别为三局两胜制和五局三胜制，求甲在两种赛制中获胜的概率？
（2）甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人.求3次传球后球在甲手中的概率.
答案：（1）甲三局两胜的概率为.甲五局三胜的概率为
（2）3次传球后球在甲手中的概率为
解析：
思路：（1）利用相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式分别求出甲3局2胜和5局3胜的概率即可；
（2）通过定义事件和概率，利用事件之间的关系推导出概率的递推公式，再根据递推公式确定数列的性质，进而求出通项公式，最后代入具体的传球次数求出相应概率..
解答过程：（1）设“甲在三局两胜制比赛中获胜”，
甲获胜的情况分为2局获胜和3局获胜：
甲2局获胜的概率为，
甲3局获胜（即前2局1胜1负且第3局胜）的概率为C210.6×0.4×0.6=0.288 ，
所以PA=0.36+0.144+0.144=0.648 .
设“甲5局3胜”，甲5局3胜的情况有：
前3局胜、前三局胜2场第四局胜、前四局胜2场第五局胜，
其概率分别为，C320.62×0.4×0.6=0.2592 ，
C420.62×0.42×0.6=0.20736 ，
所以PB=0.216+0.2592+0.20736=0.68256 ；
（2）设次传球后球在甲手中的概率为，当时，，
设“次传球后球在甲手中”，则，
则PAn+1=PAnAn+1+PAnAn+1
=PAnPAn+1|An+PAnPAn+1|An，
即pn+1=pn×0+1−pn×12=121−pn，
所以pn+1−13=−12pn−13，且，
所以数列是以为首项为公比的等比数列，
所以，即pn=−13−12n−1+13，
可得3次传球后球在甲手中的概率为p3=−13−122+13=14.
2
3
5
X
0
1
2
3
P
a
2
3
5
X
0
1
2
3
P
a
0
1
2
3
0.343
0.441
0.189
0.027
0
1
2
3
0.576
0.352
0.068
0.004