广东省惠州市博罗县2025--2026学年春季学期期末诊断八年级数学试卷（含解析）期末下学期试卷

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1. 下列根式中，是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据最简二次根式的定义判断，最简二次根式需满足两个条件，一是被开方数不含分母，二是被开方数不含能开得尽方的因数或因式，逐一验证选项即可．
【详解】解：∵ ，被开方数含能开得尽方的因数，
∴A不是最简二次根式；
∵ 满足两个判定条件，
∴B是最简二次根式；
∵ 的被开方数含分母，
∴C不是最简二次根式；
∵ ，被开方数含分母，
∴D不是最简二次根式．
2. 下列曲线中不能表示y是x的函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】一般地，在某一变化过程中，有x和y两个变量，如果对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，那么就说y是x的函数．
【详解】解：A、C、D中的曲线都满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，能表示y是x的函数，不符合题意；
B中的曲线对于x的每一个取值，y与之对应的值不唯一，不能表示y是x的函数，符合题意．
3. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列每一组数据中不能构成直角三角形的是（ ）
A. ，，B. ，，
C. ，，D. ，，
【答案】D
【解析】
【分析】根据勾股定理的逆定理，若三角形两短边的平方和等于最长边的平方，则可构成直角三角形，否则不能，逐一验证即可得到答案．
【详解】解：A、∵，
∴能构成直角三角形，故A不符合题意；
B、∵，
∴能构成直角三角形，故B不符合题意；
C、∵，
∴能构成直角三角形，故C不符合题意；
D、∵，，，
∴不能构成直角三角形，故D符合题意．
4. 下列各式中，运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次根式的运算法则，逐一判断选项正误．
【详解】解：、∵，
∴该选项运算错误，不符合题意；
、∵，
∴该选项运算正确，符合题意；
、∵与不是同类二次根式，无法合并，
∴，该选项运算错误，不符合题意；
、∵，
∴该选项运算错误，不符合题意．
5. 如图，在中，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查平行四边形的性质，熟知是解题的关键．
根据求解即可．
【详解】由题知，，
．
故选：B．
6. 某校九年级（1）班7名选报篮球专项的同学在一次1分钟投篮测试中，成绩如下（单位：个）：4，5，6，7，7，8，9，这组数据的众数、中位数分别是（ ）
A. 7，5B. 7，7C. 8，5D. 8，7
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查众数和中位数的定义，熟练掌握定义是解题的关键．根据众数是出现次数最多的数据，中位数是按顺序排列后中间位置的数，据此解答即可．
【详解】解：数据按从小到大排序为：4，5，6，7，7，8，9，
∵ 众数为出现次数最多的数，7出现2次，次数最多，
∴ 众数为7；
∵ 数据个数为7，中位数为第4个数，
∴ 中位数为7，
∴这组数据的众数、中位数分别是7，7．
故选：B．
7. 已知一次函数的图像经过点、，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据一次函数的性质判断即可．
【详解】解：∵一次函数，
∴y随着x的增大而减小．
又∵5＞－2，
∴．
故选：A．
本题考查一次函数的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
8. 如图，在矩形中，点E在边上，连接，将沿翻折得到，点D的对应点为点，交于点F．若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，平行线的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
根据折叠的性质，得，根据矩形的性质得，代入解答即可．
【详解】解：根据折叠的性质，得，
∵矩形，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
9. 某天上午，小明从家出发跑步去公园，在公园停留了一会然后乘坐出租车回家．图中折线表示小明离开家的路程和所用时间之间的函数关系，下列说法中错误的是( )
A. 小明跑步的平均速度是
B. 小明在公园休息了5分钟
C. 小明乘出租车用了17分钟
D. 出租车的平均速度是小明跑步的平均速度的5倍
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了函数图象，关键是读懂函数图象，数形结合．A．根据速度路程时间计算即可；B、C．观察图象即可；D．根据速度路程时间求出出租车的平均速度，再由出租车的平均速度小明跑步的平均速度列式计算即可．
【详解】解：A、由图象知，小明10分钟跑了1800米，其跑步的速度为：(米/分)，故选项A正确，不符合题意；
B、由图象知，小明在公园休息的时间为：(分钟)，故选项B正确，不符合题意；
C、小明乘出租车的时间为：(分钟)，故C选项错误，符合题意；
D、出租车2分钟行驶了1800米，出租车的平均速度为：(米/分钟)，，
出租车的平均速度是小明跑步的平均速度的5倍，
故选项D正确，不符合题意；
故选：C．
10. 如图，正方形中，F为上一点，E是延长线上一点，且，连接，，，M是的中点，连接，若，设与交于点N，与交于点G，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】取的中点，连接，由题意得是的中位线，根据中位线的性质得到的值，最后根据勾股定理即可求解．
【详解】取的中点，连接，
四边形是正方形，，
，
M是的中点，是的中点，
是的中位线，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分．）
11. 要使有意义，x的取值应满足的条件是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解不等式，根据二次根式有意义的条件得出，然后解不等式即可．
【详解】解∶根据题意，得，
∴，
故答案为：．
12. 直角三角形的两直角边长为5和12，则该三角形的斜边长为____________．
【答案】13
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．由勾股定理得出斜边长，即可得解．
【详解】解：∵直角三角形的两直角边长为5和12，
∴该三角形的斜边长为．
故答案为：13．
13. 冰裂纹是我国古典园林的铺装纹样之一，被广泛的应用于建筑装饰．图2是从图1中提取的多边形，则这个多边形的内角和是______．．
【答案】##720度
【解析】
【分析】本题主要考查了多边形内角和定理，熟练掌握多边形内角和计算公式是关键．
根据n边形内角和为，求解即可．
【详解】解：这个多边形为六边形，它的内角和为：．
故答案为：．
14. 如图，在中，对角线、相交于点，，点、分别为 、的中点，连接、，若，则___________．
【答案】
【解析】
【分析】先由平行四边形对角线互相平分、中位线定理得，再根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，求出．
【详解】解：四边形是平行四边形，
点是的中点，
又点为的中点，
是的中位线，
，
，
，
，
是直角三角形，，
点为的中点，
是斜边上的中线，
．
15. 如图①，在中，，点从点出发沿以的速度匀速运动至点，图②是点运动时的面积随时间变化的函数图象，则的边的长为________．
【答案】
【解析】
【分析】先从函数图像中，利用面积最大值和总运动时间，求出直角三角形两条直角边的长度，再用勾股定理计算斜边的长．
【详解】解：根据题图可知，当点运动到点时，的面积最大，最大值为，
当点运动到点时，的面积为，
可得即，，
则 ，
故．
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分．）
16. 计算：
【答案】
【解析】
【详解】解：原式
．
17. 已知关于x的一次函数．
（1）当y随x的增大而减小时，求m的取值范围；
（2）当该函数图象经过第一、三、四象限时，求m的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查一次函数的图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，解一元一次不等式组，熟练掌握一次函数的性质是解此题的关键．
（1）根据一次函数的性质可得当时，函数值y随x的增大而减小，求解即可；
（2）根据一次函数的图象经过第一、三、四象限，列出关于m的不等式组，求出m的取值范围即可．
【小问1详解】
解：∵y随x的增大而减小
∴
∴；
【小问2详解】
∵该函数图象经过第一、三、四象限
∴
∴．
18. 已知：如图，在平行四边形中，E，F分别是，的中点．求证：．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质可得，，结合线段中点的定义，可证明，再根据平行四边形的判定，即可证明结论．
【详解】证明：四边形是平行四边形，
，，
，F分别是，的中点，
，，
，
四边形是平行四边形，
．
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分．）
19. 物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮．一端拴在滑块上，另一端拴在物体上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体的升降．实验初始状态如图1所示，物体静止在直轨道上，物体到滑块的水平距离是，物体到定滑轮的垂直距离是．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计）
（1）求绳子的总长度；
（2）如图2，若物体升高，求滑块向左滑动的距离．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
（1）在中利用勾股定理直接计算即可；
（2）由（1）得绳子的总长度为，得到，在中利用勾股定理求出，再利用线段和差即可解答．
【小问1详解】
解：由题意得，，，，
在中，，
，
．
答：绳子的总长度为．
【小问2详解】
解：如图，
由题意得，，，
，
由（1）得，绳子的总长度为，
，
在中，，
，
，
答：滑块向左滑动的距离为．
20. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．
（1）求证：四边形OEFG是矩形；
（2）若AD=10，EF=4，求OE和BG的长．

【答案】
(1)证明:∵四边形ABCD为菱形，
∴点O为BD的中点，
∵点E为AD中点，
∴OE为△ABD的中位线，
∴OE∥FG，
∵OG∥EF，∴四边形OEFG为平行四边形
∵EF⊥AB，∴平行四边形OEFG为矩形．
(2)OE=5，BG=2.
【解析】
【分析】(1)先证明EO是△DAB的中位线，再结合已知条件OG∥EF，得到四边形OEFG是平行四边形，再由条件EF⊥AB，得到四边形OEFG是矩形；
(2)先求出AE=5，由勾股定理进而得到AF=3，再由中位线定理得到OE=AB=AD=5，得到FG=5，最后BG=AB-AF-FG=2．
【详解】解：(1)略
(2)∵点E为AD的中点，AD=10，
∴AE=
∵∠EFA=90°，EF=4，
∴在Rt△AEF中，．
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=AD=10，
∴OE=AB=5，
∵四边形OEFG为矩形，
∴FG=OE=5，
∴BG=AB-AF-FG=10-3-5=2．
故答案为：OE=5，BG=2．
本题考查了矩形的性质和判定，菱形的性质、勾股定理等知识点，解题的关键是掌握特殊四边形的性质和判定属于中考常考题型，需要重点掌握．
21. 某服装品牌专柜招聘销售人员，提供了如下两种月工资方案：
方案一：没有底薪，每售出一件商品提成15元；
方案二：底薪2000元，售出的前100件商品没有提成，超过100件的部分，每售出一件商品提成10元．
设销售人员每月售出x件，方案一、方案二中销售人员的月工资分别为，（单位：元）．
（1）分别直接写出，关于x的函数解析式；
（2）根据每月销售量情况，销售人员小王应如何选择方案，才能使月工资更高？
【答案】（1），
（2）当时，，选择方案二，能使月工资更高；
当时，，选择方案一或方案二工资相同；
当时，，选择方案一，能使月工资更高．
【解析】
【分析】（1）根据题意列出表达式进行化简即可；
（2）先画出函数图象，求出交点坐标，结合图象分析即可．
【小问1详解】
解：根据题意可得：，
，
即．
【小问2详解】
解：根据，关于x的函数关系式作图，如图所示，
当时，，
解得，
则，
∴与的交点坐标为，
即当时，，选择方案二，能使月工资更高；
当时，，选择方案一或方案二工资相同；
当时，，选择方案一，能使月工资更高．
五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分．）
22. 【数据收集】某市射击队为了从A，B两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，现组织两人在相同的条件下进行8轮射击比赛，每轮每人射靶一次，并对A，B两名选手每轮的射击成绩进行了数据收集．
【数据整理】如图1，将A，B两名选手8轮射击成绩绘制成如下统计图．
（1）小华利用平均数和方差进行分析．①处应填________环，由表格中的数据可以看出________（填“A”或“B”）的发挥更稳定．
（2）小颖利用四分位数、箱线图（如图2）进行分析．下表中一部分数据被污染了，请你帮她计算出A选手8轮射击成绩的四分位数．
（3）根据小华和小颖的分析，A，B两名选手中应选拔________（填“A”或“B”）参加青少年射击比赛．
【答案】（1）9，B （2）环，环，环．
（3）B
【解析】
【分析】本题考查了求一组数据的平均数，求中位数，利用合适的统计量做决策，求四分位数，根据方差判断稳定性，运用方差做决策等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解．
（1）根据折线统计图中的数据求选手B的平均成绩，比较两个选手的方差，来确定选手的射击成绩的稳定性；
（2）根据四分位数的意义，结合折线统计图中的数据求解；
（3）通过分析比较两选手的射击成绩的方差、四分位数、平均数，综合后作出决策．
【小问1详解】
解：选手B的平均成绩：，
①处应填9环．
选手A的方差为，选手B的方差为，
由于，因此B的发挥更稳定．
故答案为：9，B；
【小问2详解】
解：将A选手的成绩排序：6，7，8，9，9，9，，，
数据个数为偶数，取第4和第5个数据的平均值．
第4个数据为9，第5个数据为9，
因此环．
下四分位数()是下半部分数据(前4个∶6，7，8，9)的中位数，
取第2和第3个数据的平均值∶环．
上四分位数()∶上半部分数据(后4个∶9，9，，)的中位数，
取第6和第7个数据的平均值∶环．
因此，A选手的四分位数填写如下∶环，环，环．
【小问3详解】
解：小华的分析显示B选手方差更小，更稳定．
小颖的分析显示B选手成绩分布更集中（四分位数范围小），且平均数更高（B为9环，A为环）．
综合来看，B选手成绩更优且更稳定，因此应选拔B参加青少年射击比赛．
故答案为：B．
23. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点，且与直线交于点．
（1）求出点的坐标．
（2）若是线段上的点，且的面积为12，求直线的函数表达式．
（3）在（2）的条件下，设是射线上的点，在轴的上方是否存在点，使以为顶点的四边形是正方形？若存在，试求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）存在满足条件的点的Q，其坐标为或
【解析】
【分析】本题为一次函数的综合应用，涉及一次函数与坐标轴的交点、待定系数法确定一次函数解析式、一次函数图象的交点、一次函数图象与性质、正方形的性质及分类讨论思想等．其中（3），确定出P点的位置是解题的关键．
（1）令，求出的值即可得出点C的坐标；
（2）设点，根据三角形面积公式结合的面积为12列式求出m的值即可得出点D的坐标，再运用待定系数法求出直线的解析式即可；
（3）在（2）的条件下，设P是射线上的点，在平面内存在点Q，使以为顶点的四边形是正方形，如图所示，分两种情况考虑：（i）当四边形为菱形时，由，得到四边形为正方形；（ii）当四边形为正方形时分别求出P坐标即可．
【小问1详解】
解：对于直线，当时，，
∴点C的坐标为
【小问2详解】
解：∵是线段上的点，
∴设，
∵，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∴
设直线的解析式为
把点代入得，
，
解得，，
∴直线的解析式为；
【小问3详解】
解：存在点Q，使以为顶点的四边形是正方形，
如图所示，分两种种情况考虑：
（i）对于，当时，，
∴,
∴
当四边形为正方形，此时，
∴；
（ii）当四边形为正方形时，直线
∵
∴是中点，
∵
∴，即
由对称性可得，
综上可知存在满足条件的点的Q，其坐标为或．选手
平均数
方差
A
8.5环
1.75
B
①
0.75
选手
最小值、四分位数和最大值
最小值
最大值
A
6
10
B
8
8
9
10
10