浙江省宁波市慈溪市2023-2024学年高二下学期6月期末测试数学试卷（解析版）

这是一份浙江省宁波市慈溪市2023-2024学年高二下学期6月期末测试数学试卷（解析版），共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第I卷（选择题，共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知全集，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】依题，由可得，.
故选：A
2. 已知），若为纯虚数，则（ ）
A. 1B. 2C. 或D. 1或2
【答案】B
【解析】为纯虚数，
故且，解得.
故选：B.
3. 已知函数与是互为反函数，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因为函数与是互为反函数，
所以，则，，
，，
即正确的只有D.
故选：D
4. 已知一个袋子中有大小和质地相同的8个球，其中有3个白球（标号为1~3），5个红球（标号为），现从袋中不放回地依次随机摸出2个球，则两次摸到同种颜色球的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】不放回地依次随机摸出2个球,共有种选择，
则两次都摸到同色球共有种选择，
故两次摸到同种颜色球的概率为，
故选：A
5. 已知三个不同的平面，且，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】若，，则或与相交，故不是充分条件，
反之，若，，则，故是必要条件，
故选：B．
6. 已知向量，的夹角为，，且向量在向量上的投影向量为，则实数（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】向量在向量上的投影向量为，
依题意，，即，
因,代入解得，.
故选：C.
7. 若函数在区间内恰有一个零点，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】若时，，则，满足题意，
若，当，解得且，
此时满足题意，
若时，，此时，
此时方程在只有一根，满足题意，
若时，，此时，
此时方程在只有一根，满足题意，
当，得时，此时，
此时方差的根为，满足题意，
综上可得或
故选：C
8. 在中，内角，，所对的边分别为，，，的面积为，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由可得,
故，
由于,当且仅当,以及时，等号成立，
结合，因此，且,以及，
故,因此，故选：D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 若A，为两个随机事件，且，，则（ ）
A. 当A和互斥时，
B. 当A和互斥时，
C. 当A和相互独立时，
D. 当A和相互独立时，
【答案】ABD
【解析】对于A, 当A和互斥时，,A正确，
对于B, 当A和互斥时，,B正确，
对于C, 当A和相互独立时，,故C错误，
对于D，当A和相互独立时，A和也相互独立，故，D正确，
故选：ABD
10. 若关于的一元二次不等式的解集为，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】对于A，由题意，结合二次函数的图象知，抛物线开口应向下，
则，故A错误；
对于B，依题意，，且一元二次方程的两根为和3，
由韦达定理，，故，，即，故B正确；
对于C，由上分析可得，故C正确；
对于D，由上分析可得，故D正确.
故选：BCD.
11. 已知复变函数是以复数作为自变量和因变量的函数，对任意一个复数，由可以得到，，，…，，….如果存在一个正实数，使得对任意都成立,那么称为函数的收敛点.若是复变函数的收敛点，则复变函数可以是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】A选项，，，……，，
其中，不存在一个正实数，使得对都成立，A错误；
B选项，，，
，
故此时，，，…，，…的周期为3，且，
不妨取，满足要求，B正确；
C选项，，，
故此时，，，…，，…的周期为2，且，
不妨取，满足要求，C正确；
D选项，，
，
，
，
，
……，
依次计算，可以发现的实部和虚部的绝对值均趋向于，
故不存在一个正实数，使得对都成立，D错误；
故选：BC
第II卷（非选择题，共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知幂函数的图象过点，则______.
【答案】
【解析】设，由得，所以.
故答案为：
13. 已知，则__________.
【答案】34
【解析】由
，
故答案为：
14. 已知四棱锥的底面是矩形，平面平面，，，.若四棱锥内存在内切球（球与四棱锥的各个面均相切），则______，该内切球的表面积为______.
【答案】7；
【解析】由于平面平面，，，.为直角三角形，底面为矩形，
所以四棱锥的内切球在的“正投影”是的内切圆，
设的内切圆半径为，
则，
解得，
所以内切球的半径为1，其表面积为．
设，则平面平面，且交线为, 平面,
所以平面，同理平面，平面,
故,故,
由余弦定理可得，
进而可得，
由等体积法可得
，
化简可得，故（舍去），
故答案为：7，
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知向量，是不共线的单位向量，且向量，.
（1）若，求的值；
（2）若，，求.
解：（1）因为，所以存在实数，使得，
即，
，所以；
（2）因为，所以，
即，
所以
即
因为，
所以.
所以
16. 已知函数的最大值为2，其图象相邻的两条对称轴距离为，且图象关于点对称.
（1）求函数解析式；
（2）若，求函数的值域.
解：（1）由题意得，，.
因，则，，
又因为，且，所以.
故.
（2）设，因，则，
而在上递减，在上递增，
且，故，
所以函数的值域为.
17. 为贯彻“阳光体育”计划，促进学生身心素养的提高，某校倡导全校学生积极参与体育运动，并统计学生一周内运动时长，发现时长均在区间之间（单位：小时）.
（1）将全校男生一周内运动时长分为，，，，五组，并绘制如图所示的频率分布直方图（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）.求该校男生一周运动时长的平均数和中位数；
（2）已知高二（1）班男生30人，女生20人，根据数据统计分析，发现该班男生一周内运动时长的平均数为9，方差为2；女生一周内运动时长的平均数为6.5，方差为4.求该班级全体学生一周内运动时长的方差.
解：（1），
即男生一周运动时长的平均数为7.3小时；
中位数为第50百分位数，运动时长为的概率为，
运动时长为的频率为，
所以中位数落在区间内，
由，得到，即中位数为.
（2）该班级全体学生一周内运动时长的平均数，
所以该班级全体学生一周内运动时长的方差
18. 如图，平行四边形中，，，为中点，现将沿折起至，连接，，且.
（1）求证：平面平面；
（2）已知.
（i）若，求证：平面；
（ii）若直线与平面所成角的正弦值为，求的值.
解：（1）由题可知为正三角形，取中点，连接，
则，且，
在中，，，，，所以，
所以在中，，所以，
因为，平面平面，所以平面，
又因为平面，所以平面平面.
（2）①取中点，连接，，
在中，因为，分别为，的中点，
所以，
因为平面，平面，
所以平面，
而，且，所以四边形为平行四边形，
所以，
因为平面，平面，
所以平面，
又因，平面,所以平面平面，
因为平面，所以平面.
②过作交于点，过作交于，
设与交于点，连接，，，
同①，易证平面平面，
又因为平面平面，平面平面，
所以，
由（1）可知平面，所以平面，
所以就是直线与平面所成的角，
所以，
因为，
所以，
在中，，
所以，
在中，，所以，
所以，
所以，
解得或，
因为，故.
19. 已知函数.
（1）若函数是奇函数，求的值；
（2）若，记函数在上的最小值为.
（i）求；
（ii）设函数满足：对任意，均存在，使得，求的取值范围.
解：（1）因为为奇函数，
所以，
所以.
（2）（i）①若，
则，
当时，对称轴，
所以在上单调递增，
当时，若，即，
则在上单调递减，
如图：
所以.
若，即，则，
若，即时，
如图：
则在上单调递增，在上单调递减，
所以，
②若，
则，，对称轴，
如图：
所以在上单调递增，
所以，
综上，.
（ii）若，则，
所以，所以，
若，则，所以，
所以，
综上，的取值范围为.