江苏省苏州市2025-2026学年高一下学期期末考试数学试卷

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A. −1−?B. −1 + ?C. 1−?D. 1 + ?
2.已知向量? = (2,4),? = (?,1)，且 ，则?的值为
−
−2B. 2C.1
2
D. 1
2
3.已知圆锥的底面半径为4，高为3，则该圆锥的侧面积为()
A. 40?B. 24?C. 20?D. 10?
4.在平面直角坐标系???中，已知等腰????的底边??在?轴上，?? = 2，?? =5，按斜二测画法所得
????的直观图为 △ ?′?′?′，则 △ ?′?′?′的面积为()
2
4
2
2
2D. 4
2
若平面? ∩ 平面? = ?，? ∈ ?，? ∈ ?，? ∈ ?，? ∈ ?，? ∉ ?，则直线??与??不可能()
A. 相交B. 垂直C. 平行D. 异面
已知sin ? +
1
?
6
= 3，则sin
? −2? = ()
6
7
A. −
9
B.1
−
9
C. 1
9
D. 7
9
如图，在正方体????−?1?1?1?1中，已知?，?分别为棱??1，?1?1的中点，过?，?，?三点的平面交棱?1?1于点?，设?1? = ???1，则? = ()
1
2
1C. 2D. 3
8.已知梯形????中，??//??，?? = 1??，动点?在边??上(不含端点?，?)，??交??于点?，过?作
2
?? ⊥ ??于点?，若|??| = 4，则?? ⋅ ?? = ()
A. −8B. −4C. 4D. 8
多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设?为虚数单位，已知复数? = −1 +??(? ∈ ?)，若? ⋅ ? = 1，则()
2
? = 1
2
?3 = 1C.
1
?−? ∈ ?
D. |?−1| > 1
10.设?是????所在平面内一点，记?? = ??? +???(?,? ∈ ?)，则()
211
当? = 3，? = 3时，?? = 2??
当? = 2，? = −1时，?是线段??的中点
11
当? = 3，? = 3时，?是????的重心
31
4
当? + ? = 4时，????的面积是????面积的
11.如图，在正四棱柱????−?1?1?1?1中，已知?? = 2，??1 = 3，点?在棱??1上，?1? = 2??，动点?
在线段??上(不含端点?)，平面?1??与平面???1?1交于直线?，则()
A. ?//??1B. 不存在点?，使得?1? ⊥ ?1?
??
∠?1??的最大值为6D. ?与平面?1??所成角的最大值为4
填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.在复数范围内写出符合方程?2 +4 = 0的一个解? = ．
131
|?|
|?−2?|
|?|
.已知向量?，?满足?在?方向上的投影向量为2?，若
= 1，
= 3，则=．
14.记????的内角?，?，?的对边分别为?，?，?，若?(sin?−cs?) = ?(cs?−sin?)，? = 2 2，则
????的面积为．
解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
记????的内角?、?、?的对边分别为?、?、?，已知?2 + ?2 = ?2 +2??．
(1)求?；
(2)若? = 1，sin? =2cs?，求????的周长．
16.(本小题15分)
?|?||?|
已知向量?与?的夹角为3，= 2，= 1．
(1)求? ⋅ ?和|? + ?|的值；
(2)若向量?? + ?与? +2?的夹角为锐角，求实数?的取值范围．
17.(本小题15分)
如图，已知四棱台????−?1?1?1?1的底面是平行四边形，?? = 2?1?1，?为??的中点，??1?1?为钝角三角形．
(1)求证：?1?//平面?1??1；
(2)若平面?1??1 ⊥ 平面???1?1，?1?1 ⊥ ??1，求证：?? ⊥ 平面???1?1．
18.(本小题17分)
?
记????的内角?,?,?的对边分别为?,?,?，已知∠??? = 3．
(1)当点?满足?? = 2??时．
①若?? = 1，? = 2?，求?；
?
②若∠? + ∠??? = 2，求?．
(2)当?? ⋅ ?? =3??时，判断????的形状并证明．
19.(本小题17分)
?
如图，已知菱形????的边长为2，∠??? = 3，将????沿??翻折至??′??．
1
(1)若二面角?′−??−?的余弦值等于−3，求三棱锥?′−???的体积；
3
3
(2)若二面角?′−??−?的正切值的取值范围是 2 3 ,2，?′，?，?，?在同一个球面上，求该球的表面积的取值范围．
【答案】?
【答案】?
【答案】?
【答案】?
【答案】?
【答案】?
【答案】?
【答案】?
【答案】??
【答案】???
【答案】???
【答案】2?/(答案不唯一，也可填−2?)
2
【答案】 10
【答案】2
15.【答案】解：(1)由余弦定理可得cs? = ?2+?2−?2 = 2?? = 2，
2??
2??2
?
因为? ∈ (0,?)，故? = 4．
(2)因为 2cs? = sin? = sin(? + ?) = sin?cs? + cs?sin? = 2cs? + 2sin?，
22
整理可得sin? = cs?，可得tan? = 1，
?
因为? ∈ (0,?)，故? = 4．
??
因为? = 4，所以? = ?−?−? = 2，故????是等腰直角三角形，
?2 + ?2
因为? = 1，所以? = 1，? =
=
=2，
1 + 1
故????的周长为? + ? + ? = 2 +2．
【答案】解：(1)由题意? ⋅ ? = |?| ⋅ |?| ⋅ cs? = 2 × 1 × 1 = 1，
32
?
因为|? + ?|2 =
+
222
?
|? + ?|
= ? +2? ⋅ ? + ? = 4 + 2 × 1 + 1 = 7，所以=7．
?
(2)由?? +
⋅
22
?
+ 2? > 0⇒?? + (2? + 1)? ⋅ ? +2? > 0，
1
所以4? + (2? + 1) +2 > 0，解得? > −2．
?
由?? +
//
1
?
2
+ 2? ⇒2?−1 = 0⇒? = 2．
1
2
综上，当? ∈ − 1 ,
2
∪ 1 , + ∞ 时，向量?? + ?与? +2?的夹角为锐角．
【答案】解：(1)由四棱台????−?1?1?1?1的结构可知??//?1?1，因为?为??的中点，?? = 2?1?1，
则??//?1?1,?? = ?1?1，
又四边形?1?1?1?1是平行四边形，?1?1//?1?1,?1?1 = ?1?1，所以?1?1//??,?1?1 = ??，
所以四边形?1???1为平行四边形，
所以?1?//??1，又??1 ⊂ 平面?1??1，?1?⊄平面?1??1，所以?1?//平面?1??1；
(2)作?1? ⊥ ?1?，垂足为?，
因为平面?1??1 ⊥ 平面???1?1，平面?1??1 ∩ 平面???1?1 = ?1?，?1? ⊂ 平面???1?1，所以?1? ⊥ 平面?1??1，又?1?1 ⊂ 平面?1??1，
所以?1? ⊥ ?1?1，
由棱台的性质可知，侧棱??1,??1相交于一点，即??1,??1共面，因为棱台的底面????//底面?1?1?1?1，
底面???? ∩ 平面??1?1? = ??，底面?1?1?1?1 ∩ 平面??1?1? = ?1?1，所以??//?1?1，所以?1? ⊥ ??，
又?1?1 ⊥ ??1，所以?? ⊥ ??1，
又?1? ∩ ??1 = ?1,?1?,??1 ⊂ 平面???1?1，所以?? ⊥ 平面???1?1．
18.【答案】解：(1)①因为?? = 2??，即??−?? = 2??−2??，
即2?? + ?? = 3??，
222
两边平方得：4?? + ?? +4?? ⋅ ?? = 9?? ，
即4?2 + ?2 +4??cs? = 9，又? = 2?，
3
得21?2 = 9，解得? = 21；
7
?
②由∠? + ∠??? = 2，
得∠??? = ?−∠?，又∠??? = ?−∠???，
23
???
所以∠??? = ∠?−6，可得：6 < ? < 2
∠? = ?− ∠? +
= 2?−∠?，
?
3
3
在△ ???, △ ???中，分别由正弦定理得：
??
sin? =
?? 2?
??
=
sin3 −?
sin ?− ?
6
??,
2
sin ? −?
sin ? −?
2
sin ?− ?
6
sin 2? −?
=
两式相比得：3，
sin?
即sin 2? −? sin ?−
3
= sin ? −? sin?，
?
6
?
6
2
?
6
即cs ?−
sin ?−
= cs?sin?，
即sin 2?−
?? + ??，? ∈ ?，
又? ∈ ? ,
6
= sin2?⇒4?−3 = ? + 2??⇒? = 32
?
3
?
2
?
，所以? = 3；
(2)直角三角形，
由?? ⋅ ?? =3??，可得??cs? =3??，由余弦定理可得：?2 + ?2−?2 = 2 3??，
?
又∠??? = 3，由余弦定理得：?2
= ?2
+ ?
2−??，
两式联立可得：2?2−?? = 2 3??，
平方得：4?4 + ?2?2−4??3 = 12?2?2，又?2 = ?2 + ?2−??，得4?4 + ?2?2−4??3 = 12(?2 + ?2−??)?2，
即4?4−4??3−11?2?2 +12?3?−12?4 = 0，即(?−2?)(4?3 + 4??2−3?2? + 6?3) = 0，
即(?−2?) 4?3 + 4?2 − 3? + 6 = 0，
4?3
4?2
?3
3?
?2
?
2?
?
3
4
4?329
又?3 + ?2 − ? +6 =
+
?3
−
+6−> 0，
16
所以?−2? = 0，即? = 2?， 所以?2 = ?2 + ?2−?? = 3?2，所以?2 + ?2 = 4?2 = ?2，
故????是直角三角形．
19.?
【答案】解：(1)菱形????边长为2，∠??? = 3，故?? = 2，
记??交??于?，得?? ⊥ ??，?? ⊥ ??，翻折后?′? ⊥ ??，
因此∠?′??就是二面角?′−??−?的平面角，即∠?′?? = ?，且?′? = ?? =3．
1
已知cs? = −3，得sin? =
2 2．
3
过?′作?′? ⊥ ??交??延长线于?，由?? ⊥ 面?′??得?′? ⊥ 面???，
3
高ℎ = ?′? = ?′?sin? =
⋅ 2 2 = 2 6，所以????的面积?
= 3 ⋅ 22 =3，
因此体积：?
33
3
11⋅ 2 6 = 2 2
????4
?′−??? = 3????? ⋅ ℎ = 3 ⋅33
2
(2)设二面角?′−??−?平面角为? = ∠?′??，过?′作?′? ⊥ ??于?，得?′? ⊥ 面???，?′? =3sin?；过?作?? ⊥ ??于?，?? =3(1−cs?)，故?? = ?? ⋅ sin30∘ = 3(1−cs?)．
∠?′??是二面角?′−??−?的平面角?，因此：tan? = ?′? = 2sin? = 2ct?．
??1−cs?2
3
3，即
由tan? ∈ 2 3 ,2，代入得 3 ≤ ct? ≤ 1 ≤ tan? ≤3，
33232
?
2
结合? ∈ 0,
???
− 1 ,
2
得6 ≤ 2 ≤ 3，故? ∈
，即cs? ∈
2．
? , 2?
3 3
1
2
??′??和????都是边长为2的正三角形，设外心分别为? ,? ，??
= ??
= 3，
1 2123
球心?′是过?1,?2分别垂直两个面的直线交点，由?? ⊥ 面?′??得?2 = ??2 +??′2，
结合几何关系推导得：?2 = 1 +2，
3(1+cs?)
代入cs? ∈ − 1 , 1 ，得?2 ∈ 13 , 7 ，外接球表面积? = 4??2，因此：? ∈ 52? , 28? ．
2 29 393