江苏省南京市2024-2025学年高三第二次模拟考试数学试卷含解析

这是一份江苏省南京市2024-2025学年高三第二次模拟考试数学试卷含解析，共6页。试卷主要包含了已知函数，设集合，，若，则，双曲线的渐近线方程为等内容，欢迎下载使用。
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列说法正确的是（ ）
A．“若，则”的否命题是“若，则”
B．在中，“”是“”成立的必要不充分条件
C．“若，则”是真命题
D．存在，使得成立
2．已知复数，则（ ）
A．B．C．D．2
3．已知函数，若关于的不等式恰有1个整数解，则实数的最大值为（ ）
A．2B．3C．5D．8
4．已知函数的图象与直线的相邻交点间的距离为，若定义，则函数，在区间内的图象是( )
A．B．
C．D．
5．如图，正方体的棱长为1，动点在线段上，、分别是、的中点，则下列结论中错误的是（ ）
A．，B．存在点，使得平面平面
C．平面D．三棱锥的体积为定值
6．已知函数（，是常数，其中且）的大致图象如图所示，下列关于，的表述正确的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
7．已知双曲线C的两条渐近线的夹角为60°，则双曲线C的方程不可能为（ ）
A．B．C．D．
8．设集合，，若，则（ ）
A．B．C．D．
9．我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，用现代式子表示即为：在中，角所对的边分别为，则的面积.根据此公式，若，且，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
10．双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
11．如图是一个几何体的三视图,则该几何体的体积为( )
A．B．C．D．
12．已知函数的图象如图所示，则可以为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．西周初数学家商高在公元前1000年发现勾股定理的一个特例：勾三，股四，弦五.此发现早于毕达哥拉斯定理五百到六百年.我们把可以构成一个直角三角形三边的一组正整数称为勾股数.现从3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13这11个数中随机抽取3个数，则这3个数能构成勾股数的概率为__________．
14．若函数为偶函数，则________.
15．在三棱锥中，三条侧棱两两垂直，，则三棱锥外接球的表面积的最小值为________.
16．在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，，则_______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数 ，
（1）求函数的单调区间；
（2）当时，判断函数，（）有几个零点，并证明你的结论；
（3）设函数，若函数在为增函数，求实数的取值范围．
18．（12分）百年大计，教育为本.某校积极响应教育部号召，不断加大拔尖人才的培养力度，为清华、北大等排名前十的名校输送更多的人才.该校成立特长班进行专项培训.据统计有如下表格.（其中表示通过自主招生获得降分资格的学生人数，表示被清华、北大等名校录取的学生人数）
（1）通过画散点图发现与之间具有线性相关关系，求关于的线性回归方程；（保留两位有效数字）
（2）若已知该校2019年通过自主招生获得降分资格的学生人数为61人，预测2019年高考该校考人名校的人数；
（3）若从2014年和2018年考人名校的学生中采用分层抽样的方式抽取出5个人回校宣传，在选取的5个人中再选取2人进行演讲，求进行演讲的两人是2018年毕业的人数的分布列和期望.
参考公式：，
参考数据：，，，
19．（12分）在平面直角坐标系中，，，且满足
（1）求点的轨迹的方程；
（2）过，作直线交轨迹于，两点，若的面积是面积的2倍，求直线的方程．
20．（12分）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，.
（1）证明：平面平面ABCD；
（2）设H在AC上，，若，求PH与平面PBC所成角的正弦值.
21．（12分）已知函数.
（1）讨论函数单调性；
（2）当时，求证：.
22．（10分）曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；
（2）过原点且倾斜角为的射线与曲线分别交于两点（异于原点），求的取值范围.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．C
【解析】
A：否命题既否条件又否结论，故A错.
B：由正弦定理和边角关系可判断B错.
C：可判断其逆否命题的真假，C正确.
D：根据幂函数的性质判断D错.
【详解】
解：A：“若，则”的否命题是“若，则”，故 A错.
B：在中，，故“”是“”成立的必要充分条件，故B错.
C：“若，则”“若，则”，故C正确.
D：由幂函数在递减，故D错.
故选：C
考查判断命题的真假，是基础题.
2．C
【解析】
根据复数模的性质即可求解.
【详解】
,
,
故选：C
本题主要考查了复数模的性质，属于容易题.
3．D
【解析】
画出函数的图象，利用一元二次不等式解法可得解集，再利用数形结合即可得出.
【详解】
解：函数，如图所示
当时，，
由于关于的不等式恰有1个整数解
因此其整数解为3，又
∴，，则
当时，，则不满足题意；
当时，
当时，，没有整数解
当时，，至少有两个整数解
综上，实数的最大值为
故选：D
本题主要考查了根据函数零点的个数求参数范围，属于较难题.
4．A
【解析】
由题知，利用求出，再根据题给定义，化简求出的解析式，结合正弦函数和正切函数图象判断，即可得出答案.
【详解】
根据题意，的图象与直线的相邻交点间的距离为，
所以 的周期为， 则，
所以，
由正弦函数和正切函数图象可知正确.
故选：A.
本题考查三角函数中正切函数的周期和图象，以及正弦函数的图象，解题关键是对新定义的理解.
5．B
【解析】
根据平行的传递性判断A；根据面面平行的定义判断B；根据线面垂直的判定定理判断C；由三棱锥以三角形为底，则高和底面积都为定值，判断D.
【详解】
在A中，因为分别是中点，所以，故A正确；
在B中，由于直线与平面有交点，所以不存在点，使得平面平面，故B错误；
在C中，由平面几何得，根据线面垂直的性质得出，结合线面垂直的判定定理得出平面，故C正确；
在D中，三棱锥以三角形为底，则高和底面积都为定值，即三棱锥的体积为定值，故D正确；
故选：B
本题主要考查了判断面面平行，线面垂直等，属于中档题.
6．D
【解析】
根据指数函数的图象和特征以及图象的平移可得正确的选项.
【详解】
从题设中提供的图像可以看出，
故得，
故选：D．
本题考查图象的平移以及指数函数的图象和特征，本题属于基础题.
7．C
【解析】
判断出已知条件中双曲线的渐近线方程，求得四个选项中双曲线的渐近线方程，由此确定选项.
【详解】
两条渐近线的夹角转化为双曲渐近线与轴的夹角时要分为两种情况．依题意，双曲渐近线与轴的夹角为30°或60°，双曲线的渐近线方程为或.A选项渐近线为，B选项渐近线为，C选项渐近线为，D选项渐近线为.所以双曲线的方程不可能为.
故选：C
本小题主要考查双曲线的渐近线方程，属于基础题.
8．A
【解析】
根据交集的结果可得是集合的元素，代入方程后可求的值，从而可求.
【详解】
依题意可知是集合的元素，即，解得，由，解得.
本题考查集合的交，注意根据交集的结果确定集合中含有的元素，本题属于基础题.
9．A
【解析】
根据，利用正弦定理边化为角得，整理为，根据，得，再由余弦定理得，又，代入公式求解.
【详解】
由得，
即，即，
因为，所以，
由余弦定理，所以，
由的面积公式得
故选：A
本题主要考查正弦定理和余弦定理以及类比推理，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
10．C
【解析】
根据双曲线的标准方程，即可写出渐近线方程.
【详解】
双曲线,
双曲线的渐近线方程为，
故选：C
本题主要考查了双曲线的简单几何性质，属于容易题.
11．A
【解析】
根据三视图可得几何体为直三棱柱，根据三视图中的数据直接利用公式可求体积.
【详解】
由三视图可知几何体为直三棱柱，直观图如图所示：
其中，底面为直角三角形，，，高为.
∴该几何体的体积为
故选：A.
本题考查三视图及棱柱的体积，属于基础题.
12．A
【解析】
根据图象可知，函数为奇函数，以及函数在上单调递增，且有一个零点，即可对选项逐个验证即可得出．
【详解】
首先对4个选项进行奇偶性判断，可知，为偶函数，不符合题意，排除B；
其次，在剩下的3个选项,对其在上的零点个数进行判断, 在上无零点, 不符合题意，排除D；然后,对剩下的2个选项,进行单调性判断, 在上单调递减, 不符合题意，排除C.
故选：A．
本题主要考查图象的识别和函数性质的判断，意在考查学生的直观想象能力和逻辑推理能力，属于容易题．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
由组合数结合古典概型求解即可
【详解】
从11个数中随机抽取3个数有种不同的方法，其中能构成勾股数的有共三种，所以，所求概率为.
故答案为
本题考查古典概型与数学文化，考查组合问题，数据处理能力和应用意识.
14．
【解析】
二次函数为偶函数说明一次项系数为0，求得参数，将代入表达式即可求解
【详解】
由为偶函数，知其一次项的系数为0，所以，，所以，
故答案为：-5
本题考查由奇偶性求解参数，求函数值，属于基础题
15．
【解析】
设，可表示出，由三棱锥性质得这三条棱长的平方和等于外接球直径的平方，从而半径的最小值，得外接球表面积．
【详解】
设则，由两两垂直知三棱锥的三条棱的棱长的平方和等于其外接球的直径的平方．记外接球半径为，
∴
当时，．
故答案为：．
本题考查三棱锥外接球表面积，解题关键是掌握三棱锥的性质：三条侧棱两两垂直的三棱锥的外接球的直径的平方等于这三条侧棱的平方和．
16．9
【解析】
已知由余弦定理即可求得,由可求得,即可求得,利用正弦定理即可求得结果.
【详解】
由余弦定理和，可得，得，由，，，由正弦定理，得.
故答案为:.
本题考查正余弦定理在解三角形中的应用,难度一般.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）单调增区间,单调减区间为,;（2）有2个零点，证明见解析;（3）
【解析】
对函数求导,利用导数的正负判断函数的单调区间即可;
函数有2个零点.根据函数的零点存在性定理即可证明;
记函数,求导后利用单调性求得,由零点存在性定理及单调性知存在唯一的,使，求得为分段函数,求导后分情况讨论：①当时，利用函数的单调性将问题转化为的问题;②当时，当时,在上恒成立，从而求得的取值范围.
【详解】
（1）由题意知,，列表如下：
所以函数的单调增区间为，单调减区间为,.
（2）函数有2个零点.证明如下：
因为时，所以，
因为,所以在恒成立,在上单调递增，
由，，且在上单调递增且连续知,
函数在上仅有一个零点，
由（1）可得时,，
即，故时，，
所以，
由得，平方得，所以，
因为，所以在上恒成立,
所以函数在上单调递减,因为,所以,
由，，且在上单调递减且连续得
在上仅有一个零点，
综上可知：函数有2个零点.
（3）记函数，下面考察的符号．
求导得．
当时恒成立．
当时，因为，
所以．
∴在上恒成立，故在上单调递减．
∵，∴，又因为在上连续，
所以由函数的零点存在性定理得存在唯一的，使，
∴,
因为,所以
∴
因为函数在上单调递增,,
所以在，上恒成立．
①当时，在上恒成立，即在上恒成立．
记，则，
当变化时，，变化情况如下表：
∴，
故，即．
②当时，，当时，在上恒成立．
综合（1）（2）知， 实数的取值范围是．
本题考查利用导数求函数的单调区间、极值、最值和利用零点存在性定理判断函数零点个数、利用分离参数法求参数的取值范围;考查转化与化归能力、逻辑推理能力、运算求解能力;通过构造函数,利用零点存在性定理判断其零点,从而求出函数的表达式是求解本题的关键;属于综合型强、难度大型试题.
18．（1）；（2）117人；（3）分布列见解析，
【解析】
（1）首先求得和，再代入公式即可列方程，由此求得关于的线性回归方程；
（2）根据回归直线方程计算公式，计算可得人数；
（3）和被选中的人数分别为2和3，利用超几何分布分布列的计算公式，计算出的分布列，并求得数学期望.
【详解】
（1）由题，
所以线性回归方程为
（若第一问求出 .）
（2）当时，
所以预测2019年高考该校考入名校的人数约为117人
（3）由题知和被选中的人数分别为2和3，进行演讲的两人是2018年毕业的人数的所有可能取值为0，1，2
，，
的分布列为
本小题主要考查平均数有关计算，考查回归直线方程的计算，考查期望的计算，考查超几何分布和数据处理能力，属于中档题.
19．（1）．（2）的方程为．
【解析】
（1）令，则，由此能求出点C的轨迹方程．
（2）令，令直线，联立，
得，由此利用根的判别式，韦达定理，三角形面积公式，结合已知条件能求出直线的方程。
【详解】
解：（1）因为，即直线的斜率分别为且，
设点，则，
整理得.
（2）令，易知直线不与轴重合，
令直线，与联立得，
所以有，
由，故，即，
从而，
解得，即。
所以直线的方程为。
本题考查椭圆方程、直线方程的求法，考查椭圆方程、椭圆与直线的位置关系，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题。
20．（1）见解析；（2）
【解析】
（1）记，连结，推导出，平面，由此能证明平面平面；（2）推导出，平面，连结，由题意得为的重心，，从而平面平面，进而是与平面所成角，由此能求出与平面所成角的正弦值．
【详解】
（1）证明：记，
连结，中，，，，
，，平面，
平面，平面平面．
（2）中，，，，，
，，
，，
，平面，∴，
连结，由题意得为的重心，
，，，平面
平面平面，∴在平面的射影落在上，
是与平面所成角，
中，，，，
．
与平面所成角的正弦值为．
本题考查面面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查线线、线面、面面的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
21．（1）见解析（2）见解析
【解析】
（1）根据的导函数进行分类讨论单调性
（2）欲证，只需证，构造函数，证明，这时需研究的单调性，求其最大值即可
【详解】
解：（1）的定义域为，
，
① 当时，由得，由，得，
所以在上单调递增，在单调递减；
②当时，由得，由，得，或，
所以在上单调递增，在单调递减，在单调递增；
③当时，，所以在上单调递增；
④当时，由，得，由，得，或，
所以在上单调递增，在单调递减，在单调递增.
（2）当时，欲证，只需证，
令，，则，
因存在，使得成立，即有，使得成立.
当变化时，，的变化如下：
所以.
因为，所以，所以.
即，
所以当时，成立.
考查求函数单调性的方法和用函数的最值证明不等式的方法，难题.
22．（1），；（2）.
【解析】
（1）先将曲线化为普通方程，再由直角坐标系与极坐标系之间的转化关系：，可得极坐标方程和曲线的直角坐标方程；
（2）由已知可得出射线的极坐标方程为，联立和的极坐标方程可得点A和点B的极坐标，从而得出，由的范围可求得的取值范围.
【详解】
（1）曲线的普通方程为，即，
其极坐标方程为；
曲线的极坐标方程为，即，
其直角坐标方程为；
（2）射线的极坐标方程为，
联立，联立
，
的取值范围是
本题考查圆的参数方程与普通方程互化，圆，抛物线的极坐标方程与普通方程的互化，以及在极坐标下的直线与圆和抛物线的位置关系，属于中档题.
年份（届）
2014
2015
2016
2017
2018
41
49
55
57
63
82
96
108
106
123
0
2

0

极小值

极大值


极小值

0
1
2
0
单调递增
单调递减