江苏省南京市2025届高三下学期第二次模拟考试数学试题（含答案解析）

这是一份江苏省南京市2025届高三下学期第二次模拟考试数学试题（含答案解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分)
1. 已知全集，集合，，则（ ）
2. 已知，其中为虚数单位，是的共轭复数，则（ ）
3. 设是平面，m，n是两条直线，则下列命题正确的是（ ）
4. 把函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ）
5. 展开式中的常数项为（ ）
6. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
7. 在四边形中，，，，E是线段中点，是线段上的动点，则的最小值为（ ）
8. 在平面直角坐标系中，双曲线的右焦点为，点，在的右支上，且，点关于原点的对称点为.若，则的离心率为（ ）
二、多选题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分)
9. 某研究所研究耕种深度（单位：）与水稻每公顷产量（单位：）的关系，所得数据资料如下表：
经计算可知每公顷产量与耕种深度的线性回归方程为，则下列说法中正确的是（ ）
10. 已知数列中，，，，其前项和为，则（ ）
11. 已知定义在上的函数，当时，，且，，则下列说法正确的是（ ）
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 4 分，共 12 分)
12. 若圆心在轴上的圆与直线相切于点，则圆心的坐标为__________.
13. 所有棱长均为2的正三棱柱，它的顶点均在球的表面上，则球的表面积为__________.
14. 英国数学家弗朗西斯·格思里提出四色猜想（四色定理）：任何平面或球面上的地图只需不超过四种颜色即可实现相邻区域颜色不同.该猜想于1976年由阿佩尔和哈肯借助计算机完成证明.如图，一个地区分为6个行政区域，现给地图上的行政区域涂色（注：人工湖不需要涂色），要求：每个区域涂1种颜色，相邻区域不同色.现有红、黄、蓝、绿4种颜色可供选择，则不同的涂色方法有__________种（用数字作答）.
四、解答题(本大题共 5 小题，每小题 10 分，共 50 分)
15. 如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，，点在线段上，平面.
(1)证明：为的中点；
(2)若，二面角的余弦值为，求的长.
16. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.
(1)求；
(2)若，，求.
17. 已知函数,.
(1)当时，设曲线在处的切线为，求与曲线的公共点个数；
(2)当时，若，恒成立，求实数的取值范围.
18. 在平面直角坐标系中，点，，，动点满足，记点的轨迹为.
(1)求的方程；
(2)过点且斜率不为0的直线与相交于两点E，F（在的左侧）.设直线，的斜率分别为，.
①求证：为定值；
②设直线，相交于点，求证：为定值.
19. 不透明的口袋中装有编号分别为的个小球，小球除编号外完全相同.现从中有放回地任取次，每次取1个球，记取出的个球的最大编号为随机变量，则称服从参数为的“”分布，记为.
(1)若，求；
(2)若，且，求的最小值；
(3)若，求证：且，.
江苏省南京市2025届高三下学期第二次模拟考试数学试题
整体难度：适中
考试范围：集合与常用逻辑用语、复数、空间向量与立体几何、三角函数与解三角形、计数原理与概率统计、函数与导数、平面向量、平面解析几何、数列、推理与证明
试卷题型
试卷难度
细目表分析
知识点分析
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
A．
B．
C．
D．
A．
B．2
C．
D．8
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若与所成的角相等，则
A．
B．
C．
D．.
A．160
B．60
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
耕种深度
8
10
12
14
16
每公顷产量
6.0
7.5
7.8
9.2
9.5
A．每公顷产量与耕种深度呈负相关
B．耕种深度的平均数为12
C．每公顷产量的平均数为7.8
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．若，则
C．若，则在上恰有5个零点
D．若，在区间有最大值，则
题型
数量
单选题
8
多选题
3
填空题
3
解答题
5
难度
题数
容易
3
较易
7
适中
4
较难
5
题号
难度系数
详细知识点
一、单选题
1
0.94
交集的概念及运算；根据补集运算确定集合或参数
2
0.94
求复数的模；共轭复数的概念及计算；复数代数形式的乘法运算
3
0.65
线面关系有关命题的判断；判断线面平行；线面角的概念及辨析；线面平行的性质
4
0.94
求图象变化前（后）的解析式
5
0.85
求指定项的系数
6
0.85
对数函数单调性的应用；比较对数式的大小；对数的运算
7
0.65
向量坐标的线性运算解决几何问题；数量积的坐标表示
8
0.4
求双曲线的离心率或离心率的取值范围；利用定义解决双曲线中焦点三角形问题
二、多选题
9
0.85
计算样本的中心点；根据样本中心点求参数；计算几个数的平均数；解释回归直线方程的意义
10
0.65
构造法求数列通项；数列不等式恒成立问题；由递推数列研究数列的有关性质；利用定义求等差数列通项公式
11
0.4
分段函数的性质及应用；函数与方程的综合应用；求分段函数解析式或求函数的值；利用函数单调性求最值或值域
三、填空题
12
0.85
由两条直线垂直求方程；已知切线求参数；求直线交点坐标
13
0.85
球的表面积的有关计算；多面体与球体内切外接问题；棱柱及其有关计算
14
0.85
涂色问题；排列组合综合；分步乘法计数原理及简单应用
四、解答题
15
0.85
已知面面角求其他量；由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置；线面平行的性质
16
0.65
正弦定理边角互化的应用；余弦定理解三角形
17
0.4
函数单调性、极值与最值的综合应用；利用导数研究不等式恒成立问题；求在曲线上一点处的切线方程（斜率）；利用导数求函数（含参）的单调区间
18
0.4
轨迹问题——椭圆；椭圆中的定值问题；求双曲线的轨迹方程
19
0.4
求离散型随机变量的均值；数学归纳法证明恒等式；利用导数证明不等式；由随机变量的分布列求概率
序号
知识点
对应题号
1
集合与常用逻辑用语
1
2
复数
2
3
空间向量与立体几何
3,13,15
4
三角函数与解三角形
4,16
5
计数原理与概率统计
5,9,14,19
6
函数与导数
6,11,17,19
7
平面向量
7
8
平面解析几何
8,12,18
9
数列
10
10
推理与证明
19