2026年四川省内江市中考数学试题（解析版）

这是一份2026年四川省内江市中考数学试题（解析版），共15页。
注意事项：
1．答题前请仔细阅读答题卡上的注意事项．
2．所有试题的答案必须按题号填写在答题卡相应位置上，在试卷和草稿纸上作答无效．
3．考试结束后，监考人员将答题卡、试卷、草稿纸一并收回．
A卷（共100分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 2的相反数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】解：的相反数是．
2. 大米是我国居民最重要的主食之一，与此同时，我国也是世界上最大的大米生产国，水稻产量常年稳定在200000000吨以上，将200000000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，确定和的值即可求解．
【详解】解：．
3. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】解：A、不是轴对称图形；
B、不是轴对称图形；
C、是轴对称图形；
D、不是轴对称图形.
4. 某校开展主题为“防溺水，保安全”的演讲比赛活动，六名参赛者的得分情况如下：、、、、、，这组数据中的众数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】一组数据中出现次数最多的数叫做这组数据的众数，据此可得答案．
【详解】解：∵出现次，出现次，出现次，出现次，
∴是这组数据中出现次数最多的数，
∴这组数据的众数是．
5. 下列实数中，能使函数有意义的的值是（ ）
A. 8B. 6C. 4D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次根式被开方数为非负数求出的取值范围，再判断选项即可．
【详解】解：由题意得，，
，
∴四个选项中，只有D选项中的2满足题意．
6. 如图，若，，，则的度数为（ ）
A. B. C. 50° D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用平行线的性质和三角形的外角的性质，进行求解即可.
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴.
7. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算正确，符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算错误，不符合题意．
8. 内江市小青龙河绿道风光秀丽，适合市民徒步休闲．小林、小明两人在小青龙河6千米长的绿道上快走，小林的速度是小明的1.2倍，小林比小明早15分钟走完全程．设小明的速度为x千米/时，则符合题意的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意得，小明走完全程的时间为小时，小林走完全程的时间为小时，而小林比小明早15分钟走完全程，即小明走完全程的时间比小林多14小时，即可建立方程．
【详解】解：设小明的速度为千米/时，则小林的速度为千米/时，
由题意得，．
9. 如图，在△ABC 中，，若，则与△ABC 的面积之比为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】证明，可得，据此可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
10. 对于实数、，定义运算“☆”如下：，例如：，则方程的根的情况为（ ）
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根D. 无法确定
【答案】A
【解析】
【分析】根据题目给出的新定义，将方程转化为一元二次方程的一般形式，再利用根的判别式判断根的情况即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴原方程有两个不相等的实数根．
11. 如图，正五边形内接于⊙O ，为上的一点（点不与点C 重合），则的度数为（ ）
A. B. C. 60° D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求得中心角，进而根据圆周角定理，即可求解．
【详解】解：∵正五边形内接于⊙O ，
∴，
∵与分别是所对的圆周角和圆心角，
∴．
12. 如图，二次函数的图象经过点、，下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D. 图象的对称轴是直线x=2
【答案】B
【解析】
【详解】解：由函数图象知抛物线与轴交点在原点下方，则，故选项A不符合题意；
当x=−2 时，，即，故选项B符合题意；
由图象知抛物线与轴有两个不同的交点，则，故选项C不符合题意；
图象的对称轴是直线，故选项D不符合题意．
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．）
13. 因式分解：_________．
【答案】
【解析】
【详解】解：．
14. 如图，圆锥的侧面展开图的弧长为，若该圆锥的高为12，则该圆锥母线AB 的长为_________．
【答案】
【解析】
【分析】圆锥的侧面展开图的弧长为该圆锥的底面圆的周长，据此根据圆的周长公式求出的长，再利用勾股定理可求出AB 的长．
【详解】解：设，
∵圆锥的侧面展开图的弧长为，
∴该圆锥的底面圆的周长为，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得．
15. 如图，在平行四边形中，按以下步骤作图：①以点A 为圆心，适当的长为半径画弧，交AB 于点 ，交 于点N ；②分别以点 、N 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点E ；③连接 并延长交线段BC 于点F ，若，，则平行四边形 的周长为_________．
【答案】
【解析】
【分析】先根据平行四边形的性质以及作图证明，再由平行四边形的对边相等即可求解周长．
【详解】解：由作图可得，AF 平分，
∴
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴，，
∴
∴
∴，
∵
∴，
∴平行四边形 的周长为．
16. 南宋时期数学家杨辉的著作《详解九章算法》记载着如下图表，后人把这个图表称作“杨辉三角”．图中两条平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，…，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，…，第个数记为，则_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据杨辉三角中数的排列规律，归纳出第 个数 的通项公式为 ，进而得到 ，最后利用裂项相消法计算求和即可．
【详解】由题意可知：

．
三、解答题（本大题共5小题，共48分．解答应写出必要的文字说明或推演步骤．）
17. 按要求解答下列各题：
（1）计算：；
（2）化简：．
【答案】（1）4
（2）
【解析】
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
18. 如图，在四边形 中， ，点F 是的中点，连接 并延长交BC 的延长线于点E ．
（1）求证：；
（2）若，请判断四边形 的形状，并说明理由．
【答案】（1）证明：∵点F 是的中点，
∴
∵AD∥BC
∴
∵
∴；
（2）四边形是平行四边形，理由如下：
由（1）知
∴
∵
∴，
∵AD∥BC
∴四边形ABCD 是平行四边形．
【解析】
【分析】（1）根据平行线的性质，得到，再结合已知条件，利用即可证明；
（2）根据全等三角形的对应边相等结合已知条件，再利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可．
【小问1详解】
略
【小问2详解】
略
19. 为弘扬内江本土文化，某校开展了以“了解内江，热爱家乡”为主题的知识竞赛活动，组织学生学习内江糖业文化、大千艺术、非遗技艺等本土文化知识，并进行了答题测评．学校从参与测评的学生中，随机抽取部分学生的答题成绩进行统计，将成绩分为四个等级：A．优秀；B．良好；C．一般；D．不合格．根据统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图．
请根据图中信息，解答下列问题：
（1）本次随机抽样调查一共抽取了_________名学生，请把条形统计图补充完整；
（2）在扇形统计图中，表示成绩等级为C的扇形圆心角为_________度；
（3）现从成绩等级为A的甲、乙、丙、丁四名学生中随机抽取2名学生，担任学校的“内江本土文化宣讲员”，请用列表法或画树状图的方法，求恰好同时抽中甲和乙两名学生的概率．
【答案】（1）50； （2）72
（3）16
【解析】
【分析】（1）用B等级的学生人数除以其人数占比可求出参与调查的学生人数，再求出C等级的人数，进而补全条形统计图即可；
（2）用360度乘以C等级的人数占比即可得到答案；
（3）画树状图得到所有等可能性的结果，再确定恰好同时抽中甲和乙两名学生的结果数，最后根据概率公式求解即可．
【小问1详解】
解：名，
∴本次随机抽样调查一共抽取了50名学生；
∴C等级的学生人数为名，
补全条形统计图见答案；
【小问2详解】
解：由（1）得，；
【小问3详解】
解：画树状图如下：
由树状图可知，一共有12种等可能的结果，其中恰好同时抽中甲和乙两名学生的结果有2种，
∴恰好同时抽中甲和乙两名学生的概率为．
20. 某地生态文旅景区内矗立着一座孔子雕像（如图甲）．某数学实践小组开展实地测量活动，探测这座孔子雕像的高度．如图乙，测量人员在雕像前的C 处，测得雕像顶端A 的仰角为，沿水平方向向雕像行走12米到达观测点D 处，测得雕像顶端A 的仰角为 ．雕像底端B 与观测点D 、C 在同一条水平直线上，且 ，求孔子雕像的高度AB ．（结果保留根号）
【答案】
【解析】
【分析】设，解直角三角形得到，根据建立方程求出x的值即可得到答案．
【详解】解：设，
∵，
∴；
在Rt△ABD 中，，
∴；
在中，，
∴；
∵，
∴，
解得，
∴，
答：孔子雕像的高度AB 为．
21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点和点．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）根据图象，直接写出关于 的不等式的解集；
（3）已知点C 是 轴上一点，连接AC 、BC ，若△ABC 的面积为15，求点C 的坐标．
【答案】（1）反比例函数的表达式为；一次函数的表达式为
（2）或
（3）或
【解析】
【分析】（1）把点A的坐标代入反比例函数的表达式中求出反比例函数的表达式，进而求出点B的坐标，再根据点A和点B的坐标利用待定系数法求出一次函数的表达式即可；
（2）根据函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象上方或二者交点处时自变量的取值方式即可得到答案；
（3）设直线AB 交x轴于点D，求出点D的坐标，根据求出CD 的长即可得到答案．
【小问1详解】
解：把点代入反比例函数的表达式得，
∴，
∴反比例函数的表达式为；
把点代入得，
∴，
∴点B的坐标为，
把点A和点B的坐标代入一次函数的表达式得，
∴，
∴一次函数的表达式为；
【小问2详解】
解：由函数图象可得关于 的不等式的解集为或；
【小问3详解】
解：如图所示，设直线AB 交x轴于点D，
在中，当时，，解得x=−2 ，
∴点D的坐标为，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点C的横坐标为或点C的横坐标为，
∴点C的坐标为或．
B卷（共60分）
四、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分．）
22. 若实数 、满足，则代数式的值为_________．
【答案】10
【解析】
【分析】由已知等式得出的值，将所求代数式变形后，整体代入计算即可．
【详解】解：，
，
∴．
23. 若关于 的方程 的解是负数，且一次函数 中，函数值 随 的增大而减小，则所有满足条件的整数 的值之和是______．
【答案】
【解析】
【分析】先求出一元一次方程的解，根据一元一次方程的解为负数得到 的取值范围，再根据一次函数的性质得到 的另一个取值范围，进而得到符合条件的整数 的值，最后相加即可求解．
【详解】解：解方程 ，得，
∵方程的解是负数，
∴，
解得，
∵一次函数中，函数值随的增大而减小，
∴，
解得，
∴的取值范围是，
∴符合条件的整数为，
∴所有满足条件的整数的值之和为．
24. 如图，将反比例函数（，）的图象绕点 顺时针旋转，旋转后的图象与 轴交于点，则_________．
【答案】
【解析】
【分析】作出点A 旋转前的对应点B ，根据旋转的性质可得，过点B 作轴于点C ，根据勾股定理求出，即可得出点B 的坐标，再用待定系数法求解即可．
【详解】解：如图，作出点A 旋转前的对应点B ，，
∵，
∴，
过点B 作轴于点C ，
∴，
∴，
把代入，得．
25. 在边长为6的正方形 中，点、分别为对角线AC 、边上的动点，且，则的最小值为_________．
【答案】
【解析】
【分析】过点作于点E ，交CD 于点F ，证明是等腰直角三角形，四边形是矩形，设，求得，，在中，由勾股定理得，最后利用二次函数的性质求解即可．
【详解】解：过点作于点E ，交CD 于点F ，
∵四边形是正方形，边长为6，
∴，，，
∵，
∴是等腰直角三角形，四边形是矩形，
∴，，，
设，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
在中，
由勾股定理得
，
∵，，
∴当时，有最小值，
∴的最小值为．
五、解答题（本大题共3小题，每小题12分，共36分．解答应写出必要的文字说明或推演步骤．）
26. 某商场准备购进甲、乙两种衬衣进行销售．甲种衬衣每件进价元，售价元；乙种衬衣每件进价元，售价元．现计划购进两种衬衣共件，其中甲种衬衣不少于件．设购进甲种衬衣件，两种衬衣全部售完，商场可获利元．
（1）求与之间的函数关系式；
（2）若商场购进这件衬衣的总费用不超过元，求有哪几种进货方案？
（3）在的条件下，商场准备对甲种衬衣进行优惠促销活动，决定对甲种衬衣每件降价元（）出售，乙种衬衣售价不变，若最大利润为元，求的值．
【答案】（1）（，为整数）；
（2）共有6 种进货方案，分别是购进甲种衬衣件，乙种衬衣件；购进甲种衬衣件，乙种衬衣件；购进甲种衬衣件，乙种衬衣件；购进甲种衬衣件，乙种衬衣件；购进甲种衬衣件，乙种衬衣件；购进甲种衬衣件，乙种衬衣35 件；
（3）
【解析】
【分析】设购进甲种衬衣件，则购进乙种衬衣件，然后根据“总利润甲的利润乙的利润”，列出函数关系式即可；
根据题意，总费用不超过元，可得，结合自变量的取值范围得到所有整数解，即所有进货方案；
根据题意调价后甲每件利润为元，乙每件利润仍为元，则利润，分情况根据一次函数增减性求最大利润，结合给定最大利润求解，舍去不符合范围的解．
【小问1详解】
解：设购进甲种衬衣件，则购进乙种衬衣件，
甲每件利润为元，乙每件利润为元，
根据题意得
由题意得，，
因此，且为整数；
【小问2详解】
解：根据题意，总费用不超过元，可得，
整理得，
解得，
∵，且为正整数，
∴，的取值为，对应乙的数量为，
因此共有6 种进货方案，分别是购进甲种衬衣件，乙种衬衣件；购进甲种衬衣件，乙种衬衣件；购进甲种衬衣件，乙种衬衣件；购进甲种衬衣件，乙种衬衣件；购进甲种衬衣件，乙种衬衣件；购进甲种衬衣件，乙种衬衣35 件；
【小问3详解】
解：根据题意，调价后甲每件利润为元，乙每件利润仍为元，
∴利润，
当时，，
∴随的增大而增大，
∵，
∴当时，利润有最大，此时，
解得；
当时，，不符合题意；
当时，，
∴随的增大而减小，
∵，
∴当时，利润有最大，此时，
解得，不符合题意；
综上可得：最大利润为元时的值为10 ．
27. 如图，在△ABC 中， ，以边AB 为直径作 ，交BC 于点D ，交CA 的延长线于点E ，连接DE 交AB 于点F ．
（1）如图1，过点D 作于点 ．
①求证： 是 的切线；
②若，，求阴影部分的面积；
（2）如图2，连接，若，，求AE 的值．
【答案】（1）①证明：如图1所示，连接AD,OD ，
∵AB 为⊙O 的直径，
∴∠ADB=90° ，即，
∵，
∴，即点D为BC 的中点，
又∵点O为AB 的中点，
∴OD 是△ABC 的中位线，
∴OD∥AC ，
∵，
∴，
∵OD 是⊙O 的半径，
∴ 是 的切线；
②
（2）
【解析】
【分析】（1）①连接AD,OD ，可证明，得到点D为BC 的中点，则OD 是△ABC 的中位线，进而可证明OD∥AC ，进一步可证明，则可证明 是 的切线；②由圆周角定理可得，则可证明是等边三角形，得到，，解直角三角形得到，可求出，根据列式求解即可；
（2）取AC 的中点T，连接，可证明为△ABC 的中位线，则，由平行线分线段成比例定理得到；设，则，由勾股定理得，解方程即可得到答案．
【小问1详解】
①略；
②解：如图1所示，连接AD,OD ，
∵AB 为⊙O 的直径，
∴∠ADB=90° ；
∵，
∴，
∵OA=OD ，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∵点O为AB 的中点，
∴，
∵，
∴；
【小问2详解】
解：如图2所示，取AC 的中点T，连接，
由（1）可得点D为BC 的中点，
∴为△ABC 的中位线，
∴，
∴；
设，则，
∴；
∵AB 是⊙O 的直径，
∴；
在中，由勾股定理得，
∴，
解得x=2 或x=−2 （舍去），
∴．
28. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于、两点，与 轴交于点．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）如图1，点D 是直线AC 下方抛物线上一个动点，求四边形 面积的最大值及此时点D 的坐标；
（3）如图2，点N 为抛物线的顶点，抛物线的对称轴与 轴交于点 ，直线（k 为常数）交抛物线于E 、F 两点（点E 、F 分别在抛物线对称轴的两侧），直线交 轴于点 ，直线NE 交 轴于点．试探究是否为定值？若为定值，求出的值；若不是定值，请说明理由．
【答案】（1）
（2）四边形面积的最大值为；点D 的坐标为
（3）是定值，定值为
【解析】
【分析】（1）先写出交点式，再代入点C坐标求解即可；
（2）过点D 作轴，交AC 于点，可求直线，根据，可得当面积最大时，四边形ABCD 面积最大，设（），则，那么，再由，得到，再利用二次函数的性质求解即可；
（3）不妨设点E 、F 分别位于对称轴的左右两侧，可求顶点，则，设，，联立直线与抛物线，整理得，，则，可求直线，求出，同理可得，则，，即可求解．
【小问1详解】
解：∵抛物线与轴交于、两点，
∴
∵抛物线与轴交于点
∴，
解得
∴抛物线的表达式为；
【小问2详解】
解：过点D 作轴，交AC 于点，
设直线，
代入，可得，
解得
∴直线
∵
∴当面积最大时，四边形ABCD 面积最大，
设（），则
∴，
∴，
即
∵，，
∴当时，的面积最大为，
∴四边形ABCD 面积最大值为，
∴此时点D 纵坐标为，
∴点D 的坐标为；
【小问3详解】
解：是定值，
如图，不妨设点E 、F 分别位于对称轴的左右两侧，
抛物线，
∴顶点
∴
设，
联立直线与抛物线，
则
整理得，，
∴，
设直线，则
解得
∴直线，
令，则，解得，
∴，同理可得，
∴，，
∴．