新高考物理一轮复习考点讲义第4章第18课时　抛体运动（含答案）

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考点一 平抛运动基本规律的应用
1.定义：将物体以一定的初速度沿 方向抛出，物体只在 作用下的运动。
2.性质：平抛运动是加速度为g的 曲线运动，运动轨迹是 。
3.研究方法：化曲为直
(1)水平方向： 运动；
(2)竖直方向： 运动。
4.规律
(1)基本规律
如图，以抛出点O为坐标原点，以初速度v0方向(水平方向)为x轴正方向，竖直向下为y轴正方向，建立平面直角坐标系xOy。
(2)平抛运动物体的速度变化量
因为平抛运动的加速度为恒定的重力加速度g，所以做平抛运动的物体在任意相等时间间隔Δt内的速度变化量Δv＝gΔt是相同的，方向恒为竖直向下，如图所示。
(3)两个推论
①做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点。
②做平抛运动的物体在任意时刻任意位置处，速度方向与水平方向的夹角θ和位移方向与水平方向的夹角α的关系为：tan θ＝2tan α。
1.平抛运动的加速度方向与速度方向的夹角逐渐变小。( )
2.做平抛运动的物体单位时间内速度变化量越来越大。( )
3.相等时间内，做平抛运动的物体速度大小变化相同。( )
例1 (2024·浙江1月选考·8)如图所示，小明取山泉水时发现水平细水管到水平地面的距离为水桶高的两倍，在地面上平移水桶，水恰好从桶口中心无阻挡地落到桶底边沿A。已知桶高为h，直径为D，重力加速度为g，则水离开出水口的速度大小为( )
A.D4gℎB.D4g2ℎ
C.(2+1)D2g2ℎD.(2+1)Dg2ℎ
例2 (2024·山东省一模)如图所示是运动员将网球在边界A处正上方B点正对球网水平向右击出，恰好过网的上边沿C点落在D点的示意图，不计空气阻力，已知AB=h1，网高h2=59h1，A、C两点间的水平距离为x，重力加速度为g，下列说法中正确的是( )
A.落点D距离网的水平距离为14x
B.网球的初速度大小为x2gℎ1
C.若击球高度低于h1，应减小击球速度，才能让球落在对方界内
D.若击球高度低于2027h1，无论球的初速度多大，球都不可能落在对方界内
求解平抛运动临界问题的一般思路
(1)确定临界状态，若有必要，画出临界轨迹。
(2)找出临界状态对应的临界条件。
(3)根据平抛运动的规律列方程求解。
考点二 斜抛运动
1.定义：将物体以初速度v0 或斜向下方抛出，物体只在 作用下的运动。
2.性质：斜抛运动是加速度为g的 曲线运动，运动轨迹是 。
3.研究方法：运动的合成与分解
(1)水平方向： 直线运动；
(2)竖直方向： 直线运动。
4.基本规律
以斜抛运动的抛出点为坐标原点O，水平向右为x轴的正方向，竖直向上为y轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系xOy。
(1)初速度可以分解为v0x＝v0cs θ，v0y＝v0sin θ
在水平方向，物体的位移和速度分别为
x＝v0xt＝(v0cs θ)t，vx＝v0x＝v0cs θ
在竖直方向，物体的位移和速度分别为
y＝v0yt－12gt2＝(v0sin θ)t－12gt2
vy＝v0y－gt＝v0sin θ－gt
(2)当斜抛物体落点位置与抛出点等高时
①射高：h＝v0y22g＝v02sin2θ2g。
②斜抛运动的飞行时间：t＝2v0yg＝2v0sinθg。
③射程：s＝v0cs θ·t＝2v02sinθcsθg＝v02sin2θg，
对于给定的v0，当θ＝45°时，射程达到最大值，smax＝v02g。
例3 在2023年杭州亚运会女子铅球决赛中，我国运动员巩立姣以19.58 m的成绩成功卫冕。运动员为了寻求最佳效果，训练时会尝试用不同质量的铅球分别以不同夹角抛球的感觉。如图，在某次训练中运动员将质量m＝6 kg的铅球斜向上抛出，铅球离开手的瞬间速度大小v0＝10 m/s，方向与水平方向夹角θ＝37°，铅球离开手时离水平地面的高度h＝2.25 m。重力加速度g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8，不计空气阻力。求：
(1)铅球离开手瞬间的水平分速度大小v0x和竖直分速度大小v0y；
(2)铅球上升到最高点的时间t和离地面的最大高度H；
(3)运动员抛出的铅球飞出的水平距离。
逆向思维法处理斜抛问题
对斜上抛运动，从抛出点到最高点的运动可逆过程分析，看成平抛运动，分析完整的斜上抛运动，还可根据对称性求解某些问题。
例4 (多选)(2022·山东卷·11)如图所示，某同学将离地1.25 m的网球以13 m/s的速度斜向上击出，击球点到竖直墙壁的距离为4.8 m。当网球竖直分速度为零时，击中墙壁上离地高度为8.45 m的P点。网球与墙壁碰撞后，垂直墙面速度分量大小变为碰前的0.75倍。平行墙面的速度分量不变。重力加速度g取10 m/s2，网球碰墙后的速度大小v和着地点到墙壁的距离d分别为( )
A.v＝5 m/sB.v＝32 m/s
C.d＝3.6 mD.d＝3.9 m
分析空间中的抛体运动的思路
(1)明确题意，形成运动轨迹在空间分布情况的一个轮廓；
(2)以抛出点为坐标原点，根据运动情景建立三维直角坐标系；
(3)确定每个坐标轴上的受力特点，明确各自的运动性质；
(4)依据已知条件、运动学公式找出在各个坐标轴方向的位移、速度、加速度大小；
(5)利用运动的合成与分解知识确定研究问题或联立求解相关问题。
考点三 与斜面或圆弧面有关的抛体运动
例5 (2024·山东青岛市开学考)如图所示，一小球从一半圆轨道左端A点正上方某处开始做平抛运动(小球可视为质点)，飞行过程中恰好与半圆轨道相切于B点，O为半圆轨道圆心，半圆轨道半径为R，OB与水平方向的夹角为60°，重力加速度为g，不计空气阻力，则小球抛出时的初速度为( )
A.33gR2B.3gR2
C.3gR2D.3gR3
例6 (来自教材改编)(2024·山东青岛市期中)跳台滑雪是一项勇敢者的滑雪运动，运动员在滑雪道上获得一定速度后从跳台飞出，在空中飞一段距离后落地。如图所示，运动员从跳台A处沿水平方向以大小为20 m/s的速度飞出，落在斜坡上的B处，斜坡与水平方向的夹角θ为37°，不计空气阻力(sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8，g取10 m/s2)，求：
(1)运动员在空中飞行的时间；
(2)运动员落在B处时的速度大小；
(3)运动员在空中离坡面的最大距离。
拓展
1.AB的距离l为多少？
2.若运动员从跳台A处沿水平方向飞出的速度变为原来的一半，则运动员在空中飞行时间变为原来的多少倍？在斜面上飞行距离变为原来的多少倍？
3.初速度改变后，落在斜面上，速度方向与斜面夹角变化吗？
［变式］ (2025·山东枣庄市联考)如图所示，工程队向峡谷对岸平台抛射重物，抛出点P和落点Q的连线与水平方向夹角为53°，两点的高度差为20 m。重力加速度大小取10 m/s2，忽略空气阻力。sin 53°=0.8，cs 53°=0.6。求：
(1)在点P以水平方向的初速度抛出的重物，离PQ连线的距离最远时的速度大小；
(2)在点P以垂直于PQ连线方向的初速度抛出的重物，刚要落到Q点的速度大小。
1.与斜面结合的抛体运动分解方法
(1)水平方向：匀速直线运动
竖直方向：匀变速直线运动。
(2)沿斜面方向：加速度为gsin θ的匀变速直线运动。(θ为斜面与水平方向的夹角)
垂直斜面方向：加速度为gcs θ的类竖直上抛运动。
(3)斜抛运动：沿初速度方向的匀速直线运动，沿竖直方向的自由落体运动。
2.几种常见情形
答案精析
考点一
1.水平 重力
2.匀变速 抛物线
3.(1)匀速直线 (2)自由落体
判断正误
1.√ 2.× 3.×
例1 C [设出水口到桶口中心的水平距离为x，则x＝v02ℎg，水落到桶底A点时x+D2＝v02×2ℎg，解得v0＝(2+1)D2g2ℎ，故C正确。]
例2 D [网球做平抛运动，则h1=12gt12，h1-h2=12gt22，x+xCD=v0t1，x=v0t2，解得xCD=12x，v0=x9g8ℎ1，t1=2ℎ1g，t2=8ℎ19g，故A、B错误；任意降低击球高度(仍高于h2)，会有一临界情况，此时球刚好接触网又刚好压界，设击球临界高度为h1'，由平抛运动规律有h1'=12gt1'2，h1'-h2=12gt2'2，2x=v0't1'，x=v0't2'，联立解得h1'=2027h1，若小于该临界高度，速度大会出界，速度小会触网，D正确；若击球高度低于h1(仍高于h2)，则球从被击出到恰好接触网的时间减小，则由x=v0t可知击球速度增加，故C错误。]
考点二
1.斜向上方 重力
2.匀变速 抛物线
3.(1)匀速 (2)匀变速
例3 (1)8 m/s 6 m/s (2)0.6 s
4.05 m (3)12 m
解析 (1)初速度v0的水平分速度大小v0x＝v0cs 37°＝8 m/s
初速度v0的竖直分速度大小
v0y＝v0sin 37°＝6 m/s
(2)由逆向思维，铅球上升到最高点的过程的逆过程为平抛运动，由平抛运动竖直方向速度与时间的关系可得铅球上升到最高点的时间t＝v0yg＝0.6 s，
设铅球从抛出点上升到最高点的距离为h1，则根据竖直方向的运动有h1＝v0y22g
则铅球离地的最大高度H＝h+h1＝4.05 m。
(3)方法一 设铅球从最高点到落地的时间为t'
有H＝12gt'2
解得t'＝0.9 s
铅球飞行总时间t总＝t+t'＝1.5 s
铅球的水平位移x＝v0x·t总＝12 m
方法二 选向上为正方向，铅球从离开手到落地的竖直位移为－h
有－h＝v0yt总－12gt总2
解得t总＝1.5 s
铅球的水平位移x＝v0xt总＝12 m。
例4 BD [设网球飞出时的速度为v0，竖直方向
v0竖直2＝2g(H－h)
代入数据得
v0竖直＝2×10×(8.45−1.25) m/s
＝12 m/s
则v0水平＝132−122 m/s＝5 m/s
网球击出点到P点水平方向的距离
x水平＝v0水平t＝v0水平·v0竖直g＝6 m
根据几何关系可得打在墙面上时，垂直墙面的速度分量v0水平⊥＝v0水平·45＝4 m/s
平行墙面的速度分量v0水平∥＝v0水平·35＝3 m/s
反弹后，垂直墙面的速度分量
v水平⊥'＝0.75·v0水平⊥＝3 m/s
则反弹后的网球速度大小为
v＝v水平＝v水平⊥'2+v0水平∥2
＝32 m/s
网球落到地面的时间
t'＝2Hg＝2×8.4510 s＝1.3 s
着地点到墙壁的距离d＝v水平⊥'t'＝3.9 m
故B、D正确，A、C错误。]
例5 A [小球飞行过程中恰好与半圆轨道相切于B点，可知小球运动到B点时速度方向与水平方向的夹角为30°，设位移方向与水平方向的夹角为θ，则tan θ＝tan30°2＝36，由tan θ＝yx＝y32R，可得竖直方向的位移y＝34R，而vy2＝2gy，tan 30°＝vyv0，
联立解得v0＝33gR2，选项A正确，B、C、D错误。]
例6 (1)3 s (2)1013 m/s
(3)9 m
解析 (1)运动员做平抛运动，设在空中飞行的时间为t，则有x＝v0t，y＝12gt2，由题图可知tan θ＝yx
联立解得t＝2v0gtan θ＝3 s
(2)运动员落在B处时有vx＝v0，
vy＝gt
所以vB＝vx2+vy2＝1013 m/s
(3)取沿斜坡向下方向(x方向)与垂直于斜坡向上方向(y方向)分析运动员的运动，则在垂直于斜坡方向上的初速度为vy'＝v0sin θ＝12 m/s
加速度为ay＝－gcs θ＝－8 m/s2
当垂直于斜坡方向上的速度为0时，运动员在空中离坡面的距离最大，则有d＝0−vy'22ay＝9 m。
拓展
1.由x＝v0t得x＝60 m，l＝xcsθ＝75 m。
2.由(1)问知t＝2v0gtan θ，可知t∝v0，故在空中飞行时间变为原来的12。由l＝xcsθ＝v0tcsθ＝2v02tanθgcsθ可知l∝v02，故在斜面上飞行距离变为原来的14。
3.落在斜面上时，位移方向相同，由平抛运动的推论可知速度方向相同，故速度方向与斜面夹角不变。
变式 (1)12.5 m/s (2)5732 m/s
解析 (1)由题意可知，此时重物做平抛运动，根据平抛运动的规律有
h=12gt2
x=v0t
其中h=20 m
x=ℎtan53°=15 m
可得v0=7.5 m/s
将初速度和重力加速度沿着PQ方向和垂直于PQ方向分解，
得vx=v0cs 53°=4.5 m/s
vy=v0sin 53°=6 m/s
gx=gsin 53°=8 m/s2
gy=gcs 53°=6 m/s2
当垂直于PQ方向的分速度减为0时，重物离PQ连线的距离最远，
则vy=gyt1
vx1=vx+gxt1，联立解得vx1=12.5 m/s
即离PQ连线的距离最远时的速度大小为12.5 m/s。
(2)由题意可知，此时重物做斜上抛运动，将初速度沿着水平方向和竖直方向分解为vx'和vy'。水平方向做匀速直线运动，竖直方向做竖直上抛运动。则x=ℎtan53°=vx't'
-h=vy't'-12gt'2
其中vx'=v0'sin 53°=0.8v0'
vy'=v0'cs 53°=0.6v0'
解得t'=2.5 s
v0'=7.5 m/s
则Q点的速度为vQ=vx'2+vy″2
其中vx'=0.8v0'=6 m/s
vy″=vy'-gt'=0.6v0'-gt'=-20.5 m/s
解得vQ=5732 m/s。
已知条件
情景示例
解题策略
已知速度方向
已知
速度
方向
垂直
从斜面外平抛，垂直落在斜面上，
如图所示。
分解速度tan θ＝v0vy＝v0gt
从斜面外斜抛，垂直落在斜面上，
如图所示。
分解速度
tan θ＝vxvy＝v0csα−v0sinα+gt
从圆弧形轨道外平抛，恰好无碰撞地进入圆弧形轨道，如图所示。
已知速度方向沿该点圆弧的切线方向
分解速度
tan θ＝vyv0＝gtv0
已知位移方向
已知
位移
方向
沿斜
面向
下
从斜面上平抛又落到斜面上，如图所示。
分解位移
tan θ＝yx＝12gt2v0t＝gt2v0
从斜面上斜抛又落到斜面上，如图所示。
分解位移
tan θ＝yx＝−v0sinα·t+12gt2v0csα·t
在斜面外平抛，落在斜面上位移最小，如图所示。
已知位移方向垂直斜面
分解位移
tan θ＝xy＝v0t12gt2＝2v0gt
利用位移关系
从圆心处水平抛出，落到半径为R的圆弧上，如图所示。
已知位移大小等于半径R
x＝v0ty＝12gt2x2+y2＝R2
从与圆心等高的圆弧上水平抛出，落到半径为R的圆弧上，如图所示。
已知水平位移x与半径R的差的平方与竖直位移的平方之和等于半径R的平方
x＝R+Rcsθx＝v0ty＝Rsinθ＝12gt2(x−R)2+y2＝R2