江苏扬州市2025-2026学年高二第二学期期末调研数学试卷（含解析）

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1．答题前，考生务必在答题卡上将自己的学校、姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“条形码粘贴处”．
2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效．
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 的值是（ ）
A. 11B. 17C. 126D. 132
【答案】B
【解析】
【详解】
2. 下列函数中存在极值点的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出导数，利用极值的定义依次判断可解．
【详解】对于A，的定义域为，
因为，当且仅当时等号成立，
所以在上单调递增，不存在极值点，故A不符合题意；
对于B，的定义域为，
因为，所以在上单调递增，不存在极值点，故B不符合题意；
对于C，的定义域为，
因为，所以在上单调递增，不存在极值点，故C不符合题意；
对于D，因为是周期函数，不妨取其中一个周期，
而，当时，，当时，，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以在处取到极大值，在处取得极小值，
所以存在极值点，故D符合题意.
3. 若水池的排水量（单位：）与时间（单位：）满足函数关系式，则的实际意义是（ ）
A. 4秒时水池的排水量B. 4秒内水池的排水总量
C. 4秒时水池排水量的瞬时变化率D. 4秒内水池排水量的平均变化率
【答案】C
【解析】
【分析】根据导数的实际意义即可得解.
【详解】由导数的实际意义可知，的实际意义是4秒时水池排水量的瞬时变化率.
4. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由关于平面对称的点的坐标的特点可得结果.
【详解】点关于平面对称的点的坐标为.
5. 如图，从甲地到乙地有3条路，从乙地到丁地有2条路，从甲地到丙地有2条路，从丙地到丁地有4条路，则从甲地到丁地不同的走法总数为（ ）
A. 11B. 14C. 30D. 48
【答案】B
【解析】
【分析】根据分类加法和分步乘法计数原理计算求解.
【详解】第一类：甲先到乙地再到丁地，此时共有种不同的走法；
第二类：甲先到丙地再到丁地，此时共有种不同的走法；
所以甲地到丁地不同的走法总数为.
6. 在空间直角坐标系中，已知点，，，，则点到平面的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】易得，，
设平面的法向量为，
则，令，则，
则点到平面的距离为.
7. 甲乙两个学习小组，甲小组中有3名男生和4名女生，乙小组中有3名男生和2名女生.先从甲小组中随机抽出1名学生转入乙小组，然后再从乙小组中随机抽出1名学生，则从乙小组中抽出的学生是女生的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设事件后，求出相关事件的概率，再由全概率公式计算即得.
【详解】设从甲小组中抽出1名男生为事件，从甲小组中抽出1名女生为事件，
从乙小组中抽出的学生是女生为事件.
则，
故.
8. 已知函数，若存在唯一整数，使得，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据已知分离参数，求出导函数，进而根据正负得出函数单调性，最后结合根的唯一性得出参数范围.
【详解】由题可得，令,分离参数可得,若存在唯一整数，使得,即存在唯一整数使得，设,则,当时，，当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以函数的极大值也是最大值为，且时，，时，，又因为,如下图
由图可知只有满足条件。
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列选项中正确的有（ ）
A. 若随机变量，，则
B. 若随机变量的数学期望，则
C. 研究两个变量的相关性时，相关系数的绝对值越接近1，两个变量的线性相关性越强
D. 进行独立性检验时，统计量的值越大，判断“两个分类变量相关”犯错误的概率越小
【答案】ACD
【解析】
【详解】选项A：正态分布的对称轴为，由于和关于对称，
根据正态曲线的对称性可得，A正确；
选项B：根据期望的性质得，B错误；
选项C：根据线性相关系数的性质：相关系数的绝对值越接近，两个变量的线性相关性越强，越接近相关性越弱，C正确；
选项D：独立性检验中，统计量越大，说明原假设“两个分类变量无关”成立的概率越小，
因此判断“两个分类变量相关”犯错误的概率越小，D正确.
10. 某班级数学课外活动小组中有男生5人，女生3人，则下列选项中正确的有（ ）
A. 从中选出2人分别担任组长和副组长，共有28种不同的安排方案
B. 从中选4人参加语文、数学、英语知识竞赛，其中语文需要2人，数学和英语各需要1人，共有840种不同的安排方案
C. 8人排成一排，甲乙两人之间恰好间隔2人，共有7200种不同的安排方案
D. 8人排成一排，女生两两不相邻，且女生甲在排头或排尾，共有4800种不同的安排方案
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于A：相当于求从8个人中取2个人的排列数；对于B：先从人中选人参加语文知识竞赛，再选两人参加余下两科竞赛；结合分步乘法计数原理求解，对于C：先排甲乙，再排其余学生；对于D：先排男生，再排女生甲，最后排其余女生即可.
【详解】对于选项A：从个人中选2人，1人做正组长，1人做副组长选法共有种，故A错误；
对于选项B：从个人中选4人参加语文、数学、英语知识竞赛，其中语文需要2人，数学和英语各需要1人
的选法共有种，故B正确；
对于选项C：满足条件的安排方法可分两步完成，
第一步先排甲乙，因为甲乙间隔2人，故甲乙的位置可能为，且甲乙可交换，
故甲和乙的排列方法有种；
第二步，将剩余6人排入余下的位置，满足条件的排法有种；
由分步乘法计数原理可得8人排成一排，甲乙两人之间恰好间隔2人的总方案数为，C正确，
对于选项D：满足条件的安排方法可分三步完成，
第一步，先排名男生，有种排法，个男生产生个空（含两端），
第二步，将女生甲排入两端空位中的一个，共种排法；
第三步，将剩余两名女生从剩下个空位选个排列，共有种排法；
由分步乘法计数原理可得总方案数为，D正确.
11. 如图，已知正方体的棱长为4，点，，分别是棱，，的中点，点在四边形及其内部运动，则下列选项中正确的有（ ）
A. 存在点，使得
B. 存在点，使得
C. 若平面，则直线与所成的角可能为
D. 三棱锥的外接球半径的最小值为
【答案】AD
【解析】
【分析】对于A，建系后利用向量数量积的坐标运算即可判断；对于B，通过对称作图，利用三点共线时线段和最短求出待求式的最小值即可判断；对于C，利用条件运算推得点的轨迹，结合图形找到异面直线所成角，借助于三角函数的值域求出角的范围判断；对于D，依题意设外接球球心为，利用球的半径相等推得，利用该式的几何意义求出的范围即得半径的范围判断即可.
【详解】
如图，以点为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系.
则.依题意，设点.
对于A，因，
则由，可得，
当取时，，即存在点，使得，故A正确；
对于B，如图，作出点关于平面 的对称点，连接，交平面于点，
则，且，于是，
即的最小值为，故B错误；
对于C，因，
则，，
设平面的法向量为，
则，故可取，
因平面，则，即，
分别取的中点，连接，则点的轨迹即线段.
因，则直线与所成的角等于，又因平面，
在中，，易得，则，
因，而，
因在第一象限单调递增，则有，故C错误；
对于D，如图，取的中点为点，则点为的外心，
设三棱锥的外接球球心为点，半径为，则平面，
因，则，故可设，，
又因，则由可得，
化简得，而，设，，
则可理解为如图正方形内（包括边界）的点到点的距离.
由图知，，即，由可得，
故得，即三棱锥的外接球半径的最小值为，故D正确.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 在空间四边形中，，，，若，，则_____（用向量，，表示）．
【答案】
【解析】
【分析】借助空间向量线性运算法则计算即可得.
【详解】由，则，即，
则.
13. 已知函数在上单调递增，则实数的最大值为_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据函数单调性与导函数的关系，求出导函数，条件可转化为导函数大于等于在区间上恒成立，根据恒成立的解法，求出参数范围.
【详解】由题意得，
因为函数在上单调递增，所以在上恒成立，
当时，，变形得，
令，，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
在处取得最小值，，
当在上恒成立，可得，
所以实数a的最大值为.
14. 从所有的四位正整数中随机取一个，记所取正整数的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，则：
（1）_____；
（2）_____．（结果用最简分数表示）
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】应用组合数及古典概型计算求解.
【详解】四位正整数有个，；
满足可以重复不降序的排法为，
．
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知．
（1）求展开式中含项的系数；
（2）求证：能被整除．
【答案】（1）
（2）．
因为上式的每一项都能被整除，所以能够被整除．
【解析】
【分析】（1）利用二项展开式的通项公式，令的指数等于，解出，再代入即可；
（2）将代入后化为，用二项式定理展开，可证得被整除．
【小问1详解】
由二项式定理可知，在的展开式中，
第项为，
令，解得，
因此二项展开式中含的项系数为．
【小问2详解】
略．
16. 为科学评估施肥对某品种农作物发育情况和产量的影响，某研学小组对劳动实践基地中随机抽取的200株该品种农作物进行了观察，并进行数据分析．
（1）将所抽取的农作物按是否施肥分为两类，并将其分为“发育正常”和“发育不正常”两类，整理得到下表：
请补全以上表格，判断能否有99.9%的把握认为“是否施肥”与“该品种农作物是否发育正常”有关，并说明理由．
（2）对施肥的农作物进行观察，发现施肥超过某标准量后，产量反而会迅速下降．从施肥的该品种农作物中随机抽取10株，记录它们的过量施肥量（g）与产量（g），数据如下表：
经计算，，，，，求关于的线性回归方程．
附：，
对于一组数据，，……，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
，．
【答案】（1）
能有的把握认为“是否施肥”与“该品种农作物是否发育正常”有关．
（2）．
【解析】
【分析】（1）补全列表，再计算与临界值比较判断即可；
（2）先根据公式计算，再应用样本中心点计算，最后得出回归直线.
【小问1详解】
补全列联表如下：
所以
所以有99．9%的把握认为“是否施肥”与“该品种农作物是否发育正常”有关．
【小问2详解】
已知，，，
所以，，
则，
所以关于的线性回归方程是．
17. 如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，底面侧面，是正三角形，是的中点．

（1）求证：平面；
（2）若，且直线与平面所成角的正弦值为，
（i）求的值；
（ii）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．
【答案】（1）为正方形，，
又平面平面，平面平面，平面，
平面，又平面，，
又在正中，为的中点，故，
又，平面，，平面．
（2）（i）；（ii）
【解析】
【分析】（1）借助面面垂直的性质定理可得平面，再利用线面垂直性质定理及线面垂直判定定理即可得证；
（2）（i）建立适当空间直角坐标系，再表示出直线的方向向量与平面的法向量，利用空间向量夹角公式计算即可得；（ii）利用的值可求出平面与平面的法向量，再利用空间向量夹角公式计算即可得解.
【小问1详解】
略
【小问2详解】
（i）取的中点，的中点，连接，，
由平面平面，平面平面，
，平面，可得平面，
又由为正方形，，分别为，的中点，可得，
分别以，，所在直线为轴，轴，轴，建立如图所示的坐标系，
则，，，，
由，得，
，
又平面的一个法向量为，
由，
解得或（舍去），即有；
（ii）由，则，，
设面的法向量为，
则，
可取，，，则，
由（1）知，平面的一个法向量为，
设平面与平面所成锐二面角的大小为，
则，
所以平面与平面所成锐二面角大小的余弦值为．

18. 袋中共装有大小相同的个红球和个黑球，现连续从袋中随机取出小球，每次取个．
（1）若每次取出小球后放回，连取次，记取出黑球的次数为，求的概率分布和方差；
（2）若每次取出的小球不放回，
（i）记前次取球中，取出黑球次数为的概率是，求取最大值时的值；
（ii）当取出所有黑球时，记取出的小球总个数是，求的数学期望．
【答案】（1），，，，．
（2）（i）；（ii）
【解析】
【分析】（1）由题意可得，根据二项分布的概率计算公式及方差公式计算求解即可；
（2）（i）根据题意结合超几何分布可得，利用作商法计算可得最大值；（ii）由题意可得，根据期望计算公式计算可解.
【小问1详解】
由题意得，的取值集合是，
，，
，，
．
【小问2详解】
（i）由题意得，
所以，
令，解得，
将，，，代入可得，
将，，代入可得，
综上，取最大值时，．
（ii）的取值集合是，
则，可得，
，
故．
19. 已知函数，．
（1）若，求在点处的切线方程；
（2）若在上存在唯一零点，
（i）求的取值范围；
（ii）求证：．
【答案】（1）
（2）
（i）
（ii）法一：为唯一零点，所以，
，
要证，即证，即证，
即证，即证，
因为，，
令，则，
所以在上单调递增，则，
即，又，所以，
由（i）可知在单调递增，所以，得证．
（ii）法二：为唯一零点，所以，
，
要证，即证，即证，
即证，即证，
即证，
即证，
即证，
即证，
记，则，令，则，
所以在上单调递减，上单调递增，
所以，所以原命题得证．
【解析】
【分析】（1）由导数的几何意义可得切线方程；
（2）（i）分和进行讨论，时在上恒成立，结合易得在上不存在零点，时，令，可得在上单调递增，由可得，使得，即，所以在上单调递减，单调递增，由可得，从而，由零点存在性定理可得结果；
（ii）方法一：由为唯一零点，可得，整理得，将要证的不等式转化为证，即证，由及的单调性可证；
方法二：由为唯一零点，可得，整理得，将要证的转化为证，记，求导分析单调性可证结果．
【小问1详解】
，定义域为，
，
时，，，故切线方程为；
【小问2详解】
，，
（i）当时，，函数在上单调递增，，
所以在上不存在零点，
当时，令，在上单调递增，
，使得，即，
所以时，，时，，
所以在上单调递减，上单调递增，
，，，
（其中，所以），
所以当时，函数在上存在唯一零点，其中．
（ii）略.
施肥
不施肥
合计
发育正常
70
30
发育不正常
40
合计
200
农作物编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
过量施肥量（g）
0
0.5
1
1
1.5
2
2
2
2.5
2.5
产量（g）
100
85
85
85
80
75
75
70
70
75
0．050
0．010
0．001
3．841
6．635
10．828
施肥
不施肥
合计
发育正常
70
30
100
发育不正常
40
60
100
合计
110
90
200
施肥
不施肥
合计
发育正常
70
30
100
发育不正常
40
60
100
合计
110
90
200