浙江省温州市2025-2026学年高二下学期6月学考模拟测试数学试卷（Word版附解析）

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数学试题
一、单选题
1．已知全集，集合，则集合为（ ）
A．B．C．D．
2．函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
3．已知为虚数单位，复数，则的共轭复数为（ ）
A．B．C．D．
4．已知向量，，且，则x的值是（ ）
A．B．−1C．D．
5．若事件与事件互斥，则（ ）
A．B．
C．D．
6．已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
7．已知，则“”是“是偶函数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
8．已知为锐角，且，则（ ）
A．B．C．D．
9．已知单位圆上两点，，弦，点P为圆上一动点，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
10．已知函数，若，则（ ）
A．B．C．D．
11．已知一个半径为r的球内含于一个封闭的圆锥，该圆锥的侧面展开图是一个面积为的扇形，则r的所有可能取值中最大的是（ ）
A．B．C．D．
12．已知函数的定义域为，且,，则（ ）
A．−1B．0C．D．
二、多选题
13．已知，，则（ ）
A．B．
C．D．
14．如图，在直三棱柱中，，，点为线段的中点，点为线段AC上的动点（不含端点），则（ ）
A．存在点，使得平面
B．存在点，使得平面
C．当点为线段AC的中点时，直线MN与平面所成的角最大
D．当点为线段AC的中点时，三棱锥的外接球半径最小
15．在中，点P是边AB上一点，，，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则的最小值为
D．若，则的最小值为
三、填空题
16．已知幂函数的图象经过点，则_____.
17．温州园博园是温州新晋人气网红打卡胜地，相关部门统计了开园后50天的日游客数量（单位：万人），将样本数据分成，，，，，，七组，绘制频率分布直方图如图所示．估计日游客数量的第75百分位数为____________．
18．已知三棱锥，，点为内部一点，若，，且，则____________．
四、解答题
19．现有一枚质地均匀的正方体骰子，六个面分别标以数字1到6，先后抛掷两次，观察它正面朝上的点数，设事件“第一次骰子的点数为偶数”，事件“两次点数之和为偶数”．
(1)求事件发生的概率；
(2)求事件和事件至少有一个发生的概率．
20．如图，在直四棱柱中，，，．
(1)证明：；
(2)若，求二面角的平面角的余弦值；
(3)求直四棱柱体积的最大值．
21．已知函数，，．
(1)若，判断曲线是否是中心对称图形，若是，求出它的对称中心；若不是，请说明理由；
(2)若函数，
（i）判断的单调性；
（ii）若是的两个零点，且，证明：．
参考答案
1．C
解析：因为全集，则集合为.
2．D
解析：的定义域满足，解得或，
则定义域为．
3．D
解析：复数，则的共轭复数为
4．C
解析：由，得，即，解得.
5．B
解析：对于A：是对立事件（互斥且必有一个发生）的性质，互斥不一定对立，A错误；
对于B：若事件与互斥，即，因此，B正确；
对于C：互斥事件对两个事件的概率大小没有要求，无需满足，C错误；
对于D：是相互独立事件的定义，不是互斥事件的性质，D错误.
6．A
解析：因为在单调递减，，
所以，
因为在上单调递增，，
所以，
因为在上单调递减，，
所以，
即，，，
所以.
7．A
解：，，是偶函数；
∵若是偶函数，，不一定等于，
是充分不必要条件，
故选：A．
8．B
解析：由，两边平方得，
解得；
因为为锐角，且，故，可得，因此，
即在第二象限，；
由同角三角函数关系，得，
结合，得.
9．C
解析：因为是单位圆上两点，且弦，不妨设，如图：
设，则，
所以，
因为，所以，当且仅当时等号成立.
因此的最大值为
10．B
解析：因为，且函数在上单调递增，函数在上单调递减，，
所以一定有，
由
，或，
当时，解得，
当时，因为该一元二次方程根的判别式为，
所以该方程没有实数根，
综上所述：.
11．A
解析：设圆锥母线长为，底面半径为R，高为，
因为圆锥的侧面展开图是一个面积为的扇形，
所以，得，，，
r最大时，球为圆锥的内切球，此时圆锥的轴截面如图：
，即，
将代入化简得：，
因为，所以，，令，，
则，设，则，
，
因为，当且仅当时等号成立，
所以，
12．C
解析：由函数的定义域为，且,
令，得，即，
因为，所以得.
再，得，，
即，所以函数为偶函数.
再令，得，
因为为偶函数，所以，
因此，且，所以.
又令，得，所以，
因为函数为偶函数，所以，因此.
令，得，得.
令，得，即，
用代替x得，
再用代替x得，
即，所以函数的一个周期为.
因为，所以.
因此，
所以
.
因此.
13．ABD
解析：已知，，则，
，故，A正确；
，则，
，
，
，故B正确；
取，满足，，
此时，即，
故不恒成立，故C错误；
，则，
，
则，故，故D正确．
14．AD
解析：对于A，取BC的中点，连接，当为AC的中点时，
，平面，平面，所以平面，
又因为，同理可得平面，
又因为，平面，所以平面平面，
又因为平面，所以平面，故A正确；
对于B，因为三棱柱是直三棱柱，，所以建立如图所示的空间直角坐标系，，
设因为，所以
，设为平面的法向量，
，
所以，则，令，
所以，若平面，则，
即，解得：，不满足，故B错误.
对于C，平面的法向量为，，
设直线MN与平面所成的角为θ，
所以，
当时，最大，即θ最大，故C错误；
对于D，平面的外接圆圆心为斜边的中点，半径，
三棱锥外接球的球心必在过且垂直于平面的直线上，设，
设外接球的半径为R，则，且，
所以，
，
由，可得：，解得：，
将代入可得：，
当时，取得最小值，此时点为线段AC的中点，故D正确.
15．BCD
解析：设，
在中利用余弦定理得，
在中利用余弦定理得，
则，
得，即，
A选项，因为，所以，无法求出，故A错误；
B选项，因为，所以，得，故B正确；
C选项，因为，
所以，即，
则，得，等号成立时，
故的最小值为，故C正确；
D选项，因为，所以，
则，
因为，所以，所以均有意义，
设，
则，
，
同理，，
则可化为，
即，得，
则，等号成立时，
故的最小值为，故D正确.
16．/
解析：由幂函数的图象经过点，则，
所以，
故答案为：
17．9
解析：由频率分布直方图可知，
，，，，，，各组的频率分别为：
，
所以日游客数量少于万人的频率为，日游客数量少于万人的频率为，
所以日游客数量第75百分位数落在这个区间内，
设第75百分位数为x，则，
即.
18．/
解析：由题意是等边三角形，
如图，以AB为x轴，线段AB的中垂线为轴，建立空间直角坐标系（使得点的坐标为正），
则，，，
因为，所以在线段AB的中垂面上，即在坐标平面上，设，
由得，即①，
设，由得，
解得，即，
又，，
，
所以②，③，
由②③解得，，，代入①得，
所以.
19．(1)
(2)
解析：（1）用表示第一次向上的点数为x，第二次向上的点数为，
则样本空间为，总的样本点为，
事件“两次点数之和为偶数”，即的奇偶性相同，
亦即“第一次向上的点数为奇数，第二次向上的点数也为奇数”
或“第一次向上的点数为偶数，第二次向上的点数也为偶数”，
所以，
所以，即事件发生的概率.
（2）方法一：由题意知，
所以.
方法二：“事件和事件至少有一个发生”的对立事件为“事件和事件都不发生”，
即“第一次向上的点数为奇数，第二次向上的点数为偶数”，
所以所求概率为.
20．(1)证明：在直四棱柱中，
因为平面ABCD，平面ABCD，所以，
又因为，平面，
所以平面，又平面，所以．
(2)
(3)
解析：（1）略
（2）连接，记，连接，
易得平面ABCD，则平面ABCD，
又平面ABCD，故，
又因，所以BD是AC的中垂线，得，
因平面ABCD，易得，
又因O是AC中点，所以，
故就是二面角的平面角，
又因，则，
则.
（3）设，，因，
由余弦定理，，
，
因，则，
故当，即时，取得最大值1，
此时的最大值为，
故直四棱柱体积的最大值.
21．(1)是，对称中心为
(2)（i）在上单调递增
（ii），
令，
则.
又，函数在上均单调递增，
在上单调递增.
，
，使得，
又是的两个零点，且，，
又，，
又，在上单调递增，，即，
，
，故，即成立.
解析：（1）是.
当时，，
因为曲线是中心对称图形，根据图形的平移可知曲线也是中心对称图形，下面求其对称中心：
由上知的定义域为， ，
曲线的对称中心为.
（2）（i），，
的定义域为.
又在定义域内单调递增，在上单调递减，
在上单调递增.