浙江省宁波市慈溪市2025-2026学年高二下学期期末测试数学试卷

这是一份浙江省宁波市慈溪市2025-2026学年高二下学期期末测试数学试卷，共11页。
考试时间 120 分钟，本次考试不得使用计算器，请考生将所有题目都做在答题卡上．
第Ⅰ卷（选择题，共 58 分）
选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
已知1 2i z  3i ，则 z 
15
5
C． 2 5
3
3 5
5
D． 4 15
3
已知命题 p : x  R ， x2  x 1  0 ；命题q : x  R ， x  x  0 ，则
p 和q 都是真命题
p 和q 都是真命题
p 和q 都是真命题
p 和q 都是真命题
已知集合 A  x  Z
A． A ∪ B  1, 3
C． A  B
x 1  2 ， B  y y  2 sin x 1 ，则
B． A ∩ B  1, 2, 3
D． B ; A
x


​
 2
 1
8
x

 的展开式中 x2 的系数为

A．  7
4
C． 7
4
B．  7
16
D． 7
16
一名同学投掷骰子 5 次，分别记录每次出现的点数．现已知平均数和中位数均为 3，则 A．点数 6 可以出现 2 次B．众数不可能为 3
C．极差可能是 5D．方差可能是 1
已知函数 f  x  2
x  2a x
与函数 g  x  x2
2
a
 ax  4 的图象有唯一公共点，则实数a 
4
A．4B．2C．1D．0
在△ABC 中， AB  AC  3 ， BC  4 ，P，Q 是线段 BC 上的动点，且 PQ 的长度不小于 1，则
AP  AQ 的取值范围为
A． 1, 7
C． 19 ,7
B． 1, 9
D． 19 ,9
 4 4
在三棱锥O  ABC 中， OA  AC  4 ， OB  BC  3， AB  5 ，记二面角O  AC  B 的平面角为
 ，记二面角O  BC  A 的平面角为  ，则tan     的最大值为（）
3
A．
C． 3
6
B． 3
3
D． 3
12
选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
下列说法正确的是
若在成对样本数据分析中得到相关系数r  0 ，则表明成对样本数据间没有线性相关关系
10
若一组数据 xi , yi  （ i  1， 2 ， 3 ，…，10 ）的线性回归方程为 ‸y  2x  b ，  xi  20 ，
i1

10
yi  30 ，则b  1
i1
若 X ~ N 30, 62  ， P  X  24  0.16 ，则 P 30  X  36  0.34
设 A ， B 是两个随机事件，记 A 为事件 A 的对立事件，若 P  A  2 ， P B A  1 ，则
52
 
P AB  3
10

已知函数 f  x  csx    （ 0    1， 
A． f 0  1
2


B．  
33
 ）满足 f  x  2 f 0 ，则
2
C．当 f     2 f 0 时，   1
 3 2


D．当  ，且 f  x 在0,  上单调递减时， 2
33
   1
已知 f  x 是定义在R 上的奇函数，满足 f 2  x 
f  x  lg2 x ，则
f  x 的图象关于点4, 0 中心对称
f  x 在2024, 2026 单调递增
f 2  x ，且当 x 0, 2 时，
 
2026
f i  1
i1
f 2026  f 
2x 

 x2 1 
第Ⅱ卷（非选择题，共 92 分）
填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
甲、乙两人各投篮一次，若甲投中的概率是 4 ，乙投中的概率是 2 ，则两人中恰好有 1 人投中的概率
53
为．
已知两个圆锥的母线长相等，它们的侧面展开图中圆心角之和为 5  ，记两个圆锥侧面积分别为 s ，
31
s ，体积分别为v ， v ，若 s1  2 ，则 v1 ．
212
s23v2
x
m
若存在 m， n  R 且 m  0 ，满足对任意 x  R ， x2  mx 1  n 恒成立，则m2  n 的取值范
围为．
解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13 分）为调查某地区水质污染整治情况，研究人员将该区域的 100 个水体样品中的 A 指标值检测数据进行整理，绘成如图所示的频率分布直方图．
求直方图中 a 的值，并估计 A 指标值的中位数；
若从 A 指标值在3, 5 和5, 7 的两组中，用分层随机抽样的方法抽取 10 个样本，求从3, 5 中抽取
的样本数量．
16．（15 分）已知△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且b sin  A     a 3 c ．
3 2

求 B；
3
若b 1，求△ABC 的面积最大值．
3
17．（15 分）如图 1 是由矩形 ABCD 和等腰直角△ADP 组成的一个平面图形，其中 AB ，
2
AD  1 ，将△ADP 沿着 AD 折起使得 PC ，如图 2．若 E 是 PC 的中点．
求证： PC  平面 PAD ；
求直线 BE 与平面 PBD 所成角的余弦值．
18．（17 分）已知函数 f  x  x2  ax  a 1 ， g  x  sin   x    ， a ，  R ．
 2
若a  1 ，求不等式 f  x  0 的解集；
若函数 y  g  x  g  x 1 在区间 0, 1  的最大值为

2
，求 的取值范围；
3 

当  0 时，函数 y 
f  g  x 1 在区间0, 4 至少有 4 个零点，求 a 的取值范围．
19．（17 分）已知在△ABC 中， AB  AC  1， BD  DC ， AE  2EC ， AD 与 BE 交于点 F．
–––→
若CF  AB ，求 AB ；
求 AF 在 AB 上的投影向量的模的最小值；
S
过 F 作直线 l 分别交线段 AB 、 AC 于点 M、N，记△AMN 与△ABC 面积分别为 S ， S ，求 S1
的取值范围．
12
2
2025 学年第二学期高二期末考试数学学科参考答案及评分标准
选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．
选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分；全部选对的得 6 分，部分选对的得部
分分，有选错的得 0 分．
填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
C
A
D
C
B
A
D
题号
9
10
11
答案
ACD
BC
ABC
216 6
 5 1 5  2 3 
12． ；13．
5
81 ；14． 2,2

解答题：本大题共 5 小题，共 77 分．
解：
因为2  0.02  2  0.06  2a  2  0.18  2  0.05  2  0.03  2  0.02  1 ，所以a  0.14 ；4 分
由题意可知：中位数落在7, 9，设中位数为 x，则0.44   x  7 0.18  0.5 ，

22
所以 x；8 分
3
因为 A 指标值在3, 5 中有100  0.12  12 个，
A 指标值在5, 7 中有100  0.28  28 个10 分
12
所以抽取 10 个样本，从3, 5 中抽10  3 个．13 分
12  28
解：
 3
3
由正弦定理得， sin B sin  A    sin A 

sin C ，1 分
2
3
3
3
所以 1 sin B sin A sin B cs A  sin A sin A cs B 
cs Asin B ，
2222
 13
即sin A 2 sin B  2 cs B   sin A ，4 分

13 
因为sin A  0 ，所以 sin B 
2
5
cs B  sin  B    1，6 分
3
2
因为 B 0,  ，所以 B ；8 分
6
因为b2  a2  c2  2ac cs A ，
3
所以4  2
 a2  c2 
3ac  2 
3 ac ，11 分
4  2 3
2  3
所以ac  2 ，
1111
所以 S△ ABC  2 ac sin B  2  2  2  2 ，14 分
1
当且仅当a  c 时， S△ABC 
解：
max
 ．15 分
2
由题意知， AD  DP ， AD  DC ，又 DP ∩ DC  D ，
所以 AD  平面 PDC ，3 分
所以 AD  PC ，
又因为 DC 2  DP2  PC 2 ，所以 PC  DP ，5 分而 DP ∩ AD  D ，
所以 PC  平面 PAD ；7 分
由（1）知， PD  PC ， AD  平面 PDC ，又 AD∥ BC ，所以 BC  平面 PDC ，
所以 BC  DP ，而 PC ∩ BC  C
所以 PD  平面 PBC ，9 分
过点 E 作 EF  PB 于点 F，所以 PD  EF ，
3
2
6
所以 EF  平面 PDB ，所以EBP 就是直线 BE 与平面 PBD 所成角，12 分因为 PB ， PE ， BE ，
22
3  3  1
所以cs EBP  22  2 2 ，
2  3 63
2
2 2
即直线 BE 与平面 PBD 所成角的余弦值为
3
．15 分
解：
因为 f  x  x2  x  2   x  2 x 1  0 ，2 分所以 x  1或 x  2 ，
所以不等式的解集为x x  1或x  2；4 分
    
因为 y  g  x  g  x 1  sin  2 x     sin  2 x  2    2 sin  2 x    4  ，

6 分
1  
所以 x  0, 3  时， 2 x    4   4 ,  12  ，


由题意知，    2k   ， k  Z ，8 分
4212
 

所以12  2k    4  2k， k  Z ，即  12  2k, 4  2k ， k  Z9 分
  
2
当  0 时，令 g  x  sin  x   t ， x 0, 4，

所以t  0 时，x 三解； 1  t  0 或0  t  1 时，x 两解；
t  1时，x 一解； t  1或t  1时，x 无解．12 分
又函数 y  f  g  x 1 在区间0, 4 至少有4个零点，
所以方程 f t  1  0 有两个不同实根t1 ， t2 ，且t1, t2 1,1 或t1  1， t2  0 ．14
分
① t1, t2 1,1 时，令h t  
  a2  4a  0
f t  1  t 2  at  a ，
a
1   11
所以2
，解得： 0  a  ；16 分
2
h 1  1 2a  0

h 1  1  0
② h 0  a  0 时， a  0 ， h t   t 2 不成立．
综上： a  0, 1  ．17 分
2 

解：
–––→–––→–––→
–––→
–––→
因为CF  AB ， CF  AF  AC 
AB 
55
AC ，2 分
–––→ –––→
所以CF  AB 
2 –––→2
AB
3 –––→ –––→
AC  AB  0 ，因为 AB  AC  1，
–––→
所以 AB 
55
6
；5 分
2
由题意得：A，F，D 三点共线，B，F，E 三点共线．
–––→–––→ 1 –––→1 –––→ t –––→t 3 –––→
设 AF  t AD ，则 AF  t AD  t  2 AB  2 AC   2 AB  
AE ，
t3t
2 2
4
所以  1，解得： t  ，
245
–––→2 –––→2 –––→
所以 AF 
AB 
55
AC ，8 分
所以 AF 在 AB 上的投影向量的模为
–––→ –––→
AF  AB
2 –––→2
AB
5
–––→ –––→
 2
AC  AB
5
–––→24
2
5
所以–––→  –––→ AB  –––→  ，
AB
–––→
AB
5 AB5
4
当且仅当 AB  1时， AF 在 AB 上的投影向量的模的最小值为
5
；11 分
设 AM   AB ， AN   AC （  ，  0,1 ）易知  0 ，
–––→
则 AF 
2 –––→
AB 
2 –––→
AC 
2 ––––→
AM 
2 –––→
AN ，
5555
22
因为 M，F，N 三点共线，所以 1 ，
55
2 2

所以   5  2 0,1 ，    3 ,1 ，14 分
S△2 2
216 2 
所以AMN
  
, ．17 分
S△5  2
 15 225
 25 3 
ABC
2 

  

4
8