浙江衢州市2025-2026学年高一下学期6月期末数学试题

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1.若复数，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2.已知向量，，若，则（ ）
A. B. C. D.
3.已知直线，和平面，若，，则（ ）
A. B. C. 与相交D. 或
4.抛掷一颗质地均匀的骰子，记事件为“向上的点数为2或3”，事件为“向上的点数为偶数”，则事件与事件（）
A. 互斥B. 相互独立C. 互为对立D. 相等
5.“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
6.有一组样本数据1，2，2，2，3，5，去掉1和5后，相较于原数据不变的是（）
A. 平均数B. 极差C. 方差D. 中位数
7.已知函数的图象向左平移（）个单位长度后关于轴对称，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
8.已知函数，若函数恰有3个不同的零点，则实数的取值范围（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知函数，下列关于函数的说法正确的是（ ）
A. 最小正周期是B. 是对称中心
C. 是对称轴方程D. 在上单调递增
10.若正实数，满足，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 有最大值C. 有最大值D. 有最小值
11.定义在上的函数，满足当时，，且，都有，下列说法正确的是（）
A. B. 是偶函数
C. D. 若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某校有400名男生和200名女生，现采用按比例分配的分层随机抽样方法进行抽取，已知女生抽取20人，则男生抽取 人.
13.已知锐角中，角，，的对边分别是，，，，，则周长的取值范围是 ．
14.矩形中，，，将沿直线翻折至，使得二面角的大小为60°，点是线段的中点，则三棱锥外接球半径为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
近年来人工智能在教育领域的应用越加广泛.某校为了解周末某款AI应用软件在学生中的使用时长（单位：小时）情况，进行了问卷调查，从所有问卷中随机抽取100份作为样本，得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求图中的值与该样本数据的第80百分位数；
(2)根据该频率分布直方图，估计1800名学生中有多少学生使用时长在1小时及以上.
16.(本小题15分)
在中，角，，的对边分别是，，，满足．
(1)求角；
(2)若在线段上，满足，且，求的面积．
17.(本小题15分)
某商场为吸引顾客，开展抽奖送代金券活动，规则如下：，两个箱子中均有若干个小球（除颜色外均相同），其中箱中有2个白球和个黑球，箱中有1个白球和个黑球．顾客每轮抽奖，需从，两个箱子中分别取一个球，按先后的顺序进行，取球结束后将球放回原箱子，且每次取球相互独立．若箱中取出白球，则送面值2元的代金券，否则无奖励；若箱中取出白球，则送面值3元的代金券，否则无奖励．（每位顾客每日至多参与两轮抽奖；代金券可用于商场停车缴费或参与下次消费，可叠加使用）
(1)顾客甲参与一轮取球，求甲在箱中取出白球的概率；（用表示）
(2)已知参与一轮取球后获得5元代金券的概率为，只获得一张代金券且为2元代金券的概率为．
（ⅰ）求，；
（ⅱ）若顾客乙参与两轮抽奖，现需用这两轮抽奖获得的代金券支付8元停车费，求乙可足额支付停车费的概率．
18.(本小题17分)
如图，三棱柱中，，．
(1)求证：平面平面；
(2)若，，，；
（ⅰ）当，求直线与平面所成角的正弦值；
（ⅱ）当为何值时，三棱柱体积最大，并求此最大值．
19.(本小题17分)
已知函数和向量，，定义：，当时，称函数为向量，的相关函数．
(1)若，，函数，求的值；
(2)当（）时，
（ⅰ）证明：为向量，的相关函数；
（ⅱ）若（，）为向量，的相关函数，求所有满足条件的有序数对组成的集合．
1.【答案】D
2.【答案】A
3.【答案】D
4.【答案】B
5.【答案】B
6.【答案】D
7.【答案】D
8.【答案】C
9.【答案】AD
10.【答案】ABD
11.【答案】ACD
12.【答案】40
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解:(1)(2++2a+++)=1，
a=，
[0,)的频率为(++++)=，
[0,3)的频率为(+++++)=，
第80百分位数在[,3)内,为+=；
(2)根据频率分布直方图,使用时长在1小时及以上的频率为1-(+)=，
而1800=1566，
估计1800名学生中有1566名学生使用时长在1小时及以上.
16.【答案】解：（1）由余弦定理知，，
化简为，
化简为，
，
.
（2）由于，，
所以，
在中，，
即，
解得，
.

17.【答案】解：（1）甲在箱中取一个球的试验的样本空间包含个样本点，
事件A：箱取出白球包含个样本点，故甲在箱中取出白球的概率为；
（2）（ⅰ）一轮取球的试验的样本空间包含个样本点，
事件：“获得5元代金券”包含个样本点，事件：“只获得一张代金券且为2元代金券”包含个样本点，
所以，解得；
（ⅱ）乙可足额支付停车费的概率，即乙两轮抽奖获得的代金券面值叠加后大于等于8元的概率，
乙两轮抽奖试验的样本空间包含个样本点，获得的代金券面值叠加后大于等于8元的有：（白，白，白，白），（白，白，黑，白），（黑，白，白，白），
共3个随机事件，均包含4个样本点，所以发生的概率为，
所以乙两轮抽奖获得的代金券面值叠加后大于等于8元的概率为，
即乙可足额支付停车费的概率为．

18.【答案】解：(1)因为，，，平面，
所以平面，又平面，所以平面平面；
（2）（i）由（1）知平面平面，交线为，过作于，连接
则平面，因此就是与平面所成的角，
由，为直角三角形，得；
又，平面，所以平面，
因为平面，所以，
故，得，且，
当时，，，在中由余弦定理： ，得，
面积：，
又，得，
因此直线与平面所成角满足：.
（ii）三棱柱侧棱平面，因此体积：，
在中由余弦定理：，
得，
，
所以.
当且仅当，即时等号成立，因此体积的最大值为.

19.【答案】解：（1）因为，，所以，，，，
由函数可知，，，，，
所以；
(2)（ⅰ）因为，，
，，，
不妨令，，，，，，
故等价于，
当时，成立，
所以为向量，的相关函数；
（ⅱ）由（ⅰ）知当时，有则为向量，的相关函数，
故为向量的相关函数，
由时，恒成立，
化简得，
先寻找满足的必要条件，
令，对任意的都有，
由于，得，所以，
下面证明对满足的任意正实数对及任意非负实数，总有成立，
由，得，所以，
所以
由，得，
所以，且，，，故成立，
综上，