浙江嘉兴市2025-2026学年高二下学期6月期末检测数学试题

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1.设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知复数，则（ ）
A. B. C. 3D. 5
3.的展开式中常数项为（ ）
A. B. 20C. D. 15
4.已知随机变量服从二项分布，则“”是“方差”的（）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
5.设是定义在上且周期为的函数，当时，，则函数在区间上的零点个数为（ ）
A. B. C. D.
6.在三棱锥中，，，，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
7.长时间玩手机可能影响视力.据调查，某校学生大约的人近视，而该校大约有的学生每天玩手机超过1小时，这些人的近视率约为.现从每天玩手机不超过小时的学生中任意调查一名学生，则该学生近视的概率为（ ）
A. B. C. D.
8.设是定义在上的单调函数，且满足，若是方程的解，且，则（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.下列说法正确的是
A. 已知随机变量，若，则
B. 样本数据23，27，30，31，43，44，55，63，81，87 的第75 百分位数为59
C. 若一组样本数据的对应样本点都在直线上，则这组样本数据的相关系数
D. 对于分类变量与的独立性检验的统计量，若值越大，则判断“与有关系”的把握性越小
10.已知函数，则下列说法正确的是
A. 当时，直线是曲线的一条对称轴
B. 当时，在上单调递增
C. 若是直线与曲线的两个相邻交点，且，则
D. 若在上单调递减，则的最大值为10
11.正方体的棱长为2，点分别是线段上的动点（不含端点），且​​​​​​​平面，则（）
A. 存在某个位置，使得平面
B.
C. 线段的长度的最小值为
D. 存在某个位置，使得直线与平面所成的角为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若平面向量，的夹角为，，，则 .
13.某班一天上午有4 节课，下午有2 节课，该班一天中语文、英语、政治、体育各有一节课，数学有两节课.现安排一个课程表，要求两节数学课相邻（上午最后一节和下午第一节算不相邻），体育课不能排在上午第一节，则不同的排法共有 种.（用数字作答）
14.甲乙两人进行棋类比赛，每局比赛胜者得1 个积分，负者得0 个积分，记两人积分之差的绝对值为3 时比赛结束且积分多者获胜.已知每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，每局比赛结果相互独立，则比赛结束时总局数不多于7 局且甲获胜的概率为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
设函数，已知是的极值点.
(1)求的值及的最小值；
(2)若曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点，求.
16.(本小题15分)
记的内角，，所对的边分别为，，，已知.
(1)求；
(2)若，的面积为，求，.
17.(本小题15分)
如图，在直三棱柱中，，，点，分别为，的中点.

(1)证明：平面；
(2)求三棱锥的体积；
(3)求二面角的余弦值.
18.(本小题17分)
已知甲盒有个红球和4 个黄球，乙盒有个红球和2 个黄球，，小球除颜色外大小质地完全相同.
（1）若，小王从甲盒中任取2 个球，再从乙盒中任取2 个球，记小王取出红球的个数为.
（i）求；
（ii）求的分布列和数学期望；
（2）若，小王从甲盒中有放回地连续取出2 个球，再从乙盒中有放回地连续取出2 个球.设小王恰好取出3 个红球的概率为，求的最大值.
19.(本小题17分)
设函数.
(1)求的最大值；
(2)若函数存在两个极值点.
（i）求的取值范围；
（ii）设的极大值点为，的零点为，求证：.
1.【答案】D
2.【答案】B
3.【答案】A
4.【答案】A
5.【答案】C
6.【答案】D
7.【答案】B
8.【答案】B
9.【答案】AC
10.【答案】ACD
11.【答案】ABD
12.【答案】
13.【答案】78
14.【答案】
15.【答案】解：（1）函数，定义域为，
，当时，，所以，
，所以在上单调递减，
，所以在上单调递增，
故的最小值为．
（2）由（1）得，曲线在处的切线斜率，
，则曲线在处的切线方程为，
由于切线与曲线只有一个公共点，
可联立，
得①有且只有一解，
当时①式变为，则方程①有且只有一解，符合题意；
当时，则，解得，
综上，或．

16.【答案】解：（1）由正弦定理，
得
因为
所以，
，即
所以，
因为，所以，
所以，因为，
所以．
（2）因为，
所以，
又因为，
所以，所以，
由，可得．

17.【答案】解：(1)证明：因为三棱柱为直三棱柱，所以平面平面，
因为，，所以，
因为平面平面，平面，所以平面，
因为平面，所以．
连接，因为，，所以，
因为，所以，
因为，，平面，
所以平面．
（2）由等积法，，过作的垂线，垂足为，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，，所以．

（3）以为原点，建立如图空间直角坐标系，则，，，，，，
设平面的法向量，
，即，令，得，
同理，平面的法向量，
．
因为二面角的平面角为锐角，
所以二面角的余弦值为．


18.【答案】解：（1）当时，甲盒有2红4黄共6个球，乙盒有2红2黄共4个球，从甲盒任取2球、乙盒任取2球，为取出红球的总个数.
（i）包含两类互斥事件：甲盒取1红1黄且乙盒取0红2黄，甲盒取0红2黄且乙盒取1红1黄，总基本事件数为，符合的基本事件数为，故.
（ii）的所有可能取值为，分别计算对应概率：
，
，
，
，
.
故的分布列为：

数学期望.
（2）当，且时，抽样为有放回抽样，每次从甲盒取到红球的概率，每次从乙盒取到红球的概率，记，则.
恰好取出3个红球包含两类互斥事件：甲盒取1红1黄且乙盒取2红，甲盒取2红且乙盒取1红1黄，故.
记，求导得，令，解得（舍去），当时，，单调递增，当时，，单调递减，故时取得最大值.
令，解得，符合的正整数条件，此时最大值为.
19.【答案】解：（1）由题可知，定义域为，则，
当时，则，所以在上单调递增，
当时，则，所以在上单调递减，
故在处取极大值，即最大值，为．
（2）（i）由题可得，，则，
因为函数存在两个极值点，则存在个变号零点，令，
则一个零点为，另一个零点为方程的非零实根，
当时，方程无解，则，所以，因此且；
（ii）根据（i）可知时，存在两个极值点，
当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以的极大值点，
为的零点，则，因为，所以，
则；
当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以的极大值点，
即，，，
所以，
故，，当且仅当，时，等号成立，
综上，.