新高考数学二轮复习重难点培优专练第7章05 立体几何建系、求点能力强化（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学二轮复习重难点培优专练第7章05 立体几何建系、求点能力强化（2份，原卷版+解析版），共25页。
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc26889" 01 知识重构・重难梳理固根基 PAGEREF _Tc26889 \h 1
\l "_Tc28373" 02 题型精研・技巧通法提能力 PAGEREF _Tc28373 \h 5
\l "_Tc16555" 题型一 底面是三角形载体（★★★★★） PAGEREF _Tc16555 \h 5
\l "_Tc7141" 题型二 底面是四边形（菱形、梯形等）载体（★★★★★） PAGEREF _Tc7141 \h 6
\l "_Tc26803" 题型三 底面是圆形载体（★★★★） PAGEREF _Tc26803 \h 9
\l "_Tc13512" 题型四 棱台图形载体（★★★★） PAGEREF _Tc13512 \h 10
\l "_Tc3897" 题型五 底面是其他形状载体（★★★★） PAGEREF _Tc3897 \h 12
\l "_Tc326" 题型六 在图形之外建系（★★★★★） PAGEREF _Tc326 \h 14
\l "_Tc11957" 题型七 其他建系思路（★★★★） PAGEREF _Tc11957 \h 16
\l "_Tc25070" 03 实战检测・分层突破验成效 PAGEREF _Tc25070 \h 17
\l "_Tc621" 检测Ⅰ组 重难知识巩固 PAGEREF _Tc621 \h 17
\l "_Tc1659" 检测Ⅱ组 创新能力提升 PAGEREF _Tc1659 \h 23
一、建系设点有关的基础储备
1、与垂直相关的定理与结论
（1）线面垂直
① 如果一条直线与一个平面上的两条相交直线垂直，则这条直线与该平面垂直
② 两条平行线，如果其中一条与平面垂直，那么另外一条也与这个平面垂直
③ 两个平面垂直，则其中一个平面上垂直交线的直线与另一个平面垂直
④ 直棱柱：侧棱与底面垂直；
⑤有一条侧棱垂直于底面的椎体.
⑥正三棱柱、正四棱柱：顶点在底面的投影为底面的中心.
⑦侧面与底面所成角均相等或侧棱长均相等可得顶点在底面的投影为底面的中心.
（2）线线垂直（相交垂直）
① 正方形，矩形，直角梯形
② 等腰三角形底边上的中线与底边垂直（三线合一）
③ 菱形的对角线相互垂直
④ 勾股定理逆定理：若，则
二、建立直角坐标系的原则
1、轴的选取往往是比较容易的，依据的是线面垂直，即轴要与坐标平面垂直，在几何体中也是很直观的，垂直底面高高向上的即是，而坐标原点即为轴与底面的交点
2、轴的选取：此为坐标是否易于写出的关键，有这么几个原则值得参考：
（1）尽可能的让底面上更多的点位于轴上
（2）找角：轴要相互垂直，所以要利用好底面中的垂直条件
（3）找对称关系：寻找底面上的点能否存在轴对称特点
3、常用的空间直角坐标系满足轴成右手系，所以在标轴时要注意.
4、同一个几何体可以有不同的建系方法，其坐标也会对应不同.但是通过坐标所得到的结论（位置关系，角）是一致的.
5、解答题中，在建立空间直角坐标系之前，要先证明所用坐标轴为两两垂直（即一个线面垂直底面两条线垂直），这个过程不能省略.
三、坐标的书写
1、能够直接写出坐标的点
（1） 坐标轴上的点，例如在正方体（长度为1）中的点，坐标特点如下：
轴： 轴： 轴：
（2）底面上的点：坐标均为，即竖坐标，由于底面在作立体图时往往失真，所以要快速正确写出坐标，强烈建议在旁边作出底面的平面图进行参考：以下图为例：
则可快速写出点的坐标，位置关系清晰明了
2、空间中在底面投影为特殊位置的点
如果在底面的投影为，那么（即点与投影点的横纵坐标相同）
这条规律出发，在写空间中的点时，可看下在底面的投影点，坐标是否好写.如果可以则直接确定了横纵坐标，而竖坐标为该点到底面的距离.例如：正方体中的点，其投影为，而所以，而其到底面的距离为，故坐标为
以上两个类型已经可以囊括大多数几何体中的点，但总还有一些特殊点，那么就要用到第三个方法：
3、需要计算的点
①中点坐标公式：，则中点
②利用向量关系进行计算（先设再求）：向量坐标化后，向量的关系也可转化为坐标的关系，进而可以求出一些位置不好的点的坐标，方法通常是先设出所求点的坐标，再选取向量，利用向量关系解出变量的值，例如：求点的坐标，如果使用向量计算，则设，可直接写出，观察向量，而 ，
四、垂面模型
已知条件中有一条直线垂直于一个平面，就是垂面模型．
情形１ 垂下(上)模型：直线竖直，平面水平，大部分题目都是这种类型．如图，此情形包括垂足在平面图形的顶点处、垂足在平面图形的边上(中点多)和垂足在平面图形的内部三种情况．
第一种建系方法为以垂足为坐标原点，垂线的向上方向为z轴，平面图形的一边为x轴或y轴，在平面图形中，过原点作x轴或y轴的垂线为y轴或x轴(其中很多题目是连接垂足与平面图形的另一顶点)建立空间直角坐标系．如图1-1
第二种建系方法为以垂足为坐标原点，垂线的向上方向为z轴，垂足所在的一边为x轴或y轴，在平面图形中，过原点作x轴或y轴的垂线为y轴或x轴(其中很多题目是连接垂足与平面图形的另一顶点)建立空间直角坐标系．如图1-2
第三种建系方法为以垂足为坐标原点，垂线的向上方向为z轴，连接垂足与平面图形的一顶点所在直线为为x轴或y轴，在平面图形中，过原点作x轴或y轴的垂线为y轴或x轴(其中很多题目是连接垂足与平面图形的另一顶点)建立空间直角坐标系．如图1-3

图1－1

图1－2

图1－3
情形2 垂左(右)模型：直线水平，平面竖直，这种类型的题目很少．各种情况如图，建系方法可类比情形1．

图2－1 图2－2 图2－3
情形3 垂后(前)模型：直线水平，平面竖直，这种类型的题目很少．各种情况如图，建系方法可类比情形1．

图3－1


题型一 底面是三角形载体
1．如图，三棱锥中，平面平面，是等边三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，，分别是，的中点，是上一点（不含端点）．
(1)证明：平面；
(2)若三棱锥的所有顶点都在球的球面上，且球的表面积为．
（ⅰ）求三棱锥的体积；
（ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值的最大值．
2．（2025·浙江嘉兴·一模）如图，在正三棱柱中，为的中点，点在棱上，.
(1)证明：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
3．（2025·湖南永州·模拟预测）如图，在三棱锥中，平面，，E是的中点，F是线段上的一点（不含端点）.
(1)证明：平面；
(2)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值的最大值.
4．（25-26高三上·河南安阳·月考）如图，在三棱柱中，是边长为3的正三角形，.

(1)求棱的长；
(2)求证：平面平面；
(3)求直线与平面所成角的正弦值.

题型二 底面是四边形（菱形、梯形等）载体
1．（25-26高三上·黑龙江·开学考试）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面平面，为的中点，是棱上的点（不含端点），.
(1)求证：平面平面；
(2)若二面角大小为30°，求的值.
2．（25-26高三上·浙江杭州·开学考试）如图，四棱锥中，底面为平行四边形，侧面是边长为4的正三角形，分别为棱和的中点.
(1)证明：平面；
(2)若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值.
3．（25-26高三上·山东济南·开学考试）如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形，.

(1)证明：；
(2)若直线与直线所成角的余弦值为，且，求直线与平面所成角的余弦值.
4．如图，在四棱锥中，平面为的中点，为菱形，，，分别是线段，上的动点，且满足.
(1)求证：平面；
(2)求的值，使得二面角的平面角的正切值为.
5．（25-26高三上·四川·开学考试）如图，在四棱锥中，与均为等边三角形，平面平面，点与点在平面的异侧，.
(1)证明：平面；
(2)若，，，四点共圆，求平面与平面夹角的余弦值.
6．如图（一），在中，于点，，四边形是平行四边形.将沿折起至的位置，如图（二）所示，连接，.
(1)证明：；
(2)是的中点，连接，，记二面角为，二面角为.
（i）设三棱锥的外接球球心为O，证明：当时，；
（ii）是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

题型三 底面是圆形载体
1．（2025·湖北十堰·三模）如图，边长为2的正方形是圆柱的轴截面，为底面圆上的点，为线段的中点．
(1)证明：平面．
(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求的长．
2．（25-26高三上·安徽阜阳·开学考试）如图所示，在圆锥中，是的直径，是正三角形，点在上，且，.

(1)证明：平面；
(2)设为的中点，求直线与平面所成角的正弦值.
3．（2025·山西临汾·三模）如图，已知圆柱的轴截面ABCD是边长为2的正方形，点P是圆上异于点C，D的任意一点．
(1)证明：平面平面；
(2)若，求点D到平面的距离；
(3)求与平面所成角的正弦值的取值范围．
4．（2025·新疆喀什·模拟预测）如图，P为圆台的上底面的圆心，为圆台下底面的圆心，为下底面直径.是下底面圆的内接正三角形，
(1)证明：平面；
(2)求二面角的余弦值．
5．（2025·山东菏泽·二模）如图，圆台的下底面圆的半径为，为圆的内接正方形．为上底面圆上两点，为的中点，且平面平面，．
(1)求证：；
(2)若，求与平面所成角正弦值的最大值．

题型四 棱台图形载体
1．如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，，且底面，点P、Q分别是棱的中点.
(1)在底面内是否存在点，满足平面?若存在，请说明点的位置，若不存在，请说明理由；
(2)设平面交棱于点T，平面将四棱台分成上，下两部分，求与平面所成角的正弦值.
2．（2025·内蒙古呼和浩特·模拟预测）如图，在三棱台中，平面平面，，，．
(1)证明：；
(2)求直线与平面所成角的正弦值的最大值．
3．（2025·河南·三模）如图，在五棱台中，平面，，，，，，，．
(1)证明：平面．
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
4．（2025·广东深圳·二模）已知四棱台，底面是边长为2的菱形，平面，，E是的中点．
(1)证明：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值．
5．如图，在三棱台中，点D，E分别为，的中点，，，，．
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)点M在侧面内，且平面，当线段最短时，求平面与平面所成的二面角的正弦值．

题型五 底面是其他形状载体
1．如图，平面四边形ABCD中，，，，，，点E，F满足，，将沿EF翻折至，使得．
(1)证明：；
(2)求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值．
2．（2024·河北衡水·模拟预测）如图，在六棱锥中，平面是边长为的正六边形，平面为棱上一点，且.
(1)证明：平面；
(2)若，求平面与平面夹角的余弦值.
3．（2025·安徽安庆·二模）如图，在矩形中，为中点，在边上，且，将沿翻折至，得到五棱锥为中点.

(1)求证：平面：
(2)若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值.
4．（2025·四川绵阳·模拟预测）三棱锥中，底面为等腰直角三角形，，．点P在底面上的射影E是线段靠近点A的四等分点．
(1)求与平面所成角的正弦值；
(2)求三棱锥外接球体积；
(3)设靠近B的四等分点为F，D是平面ABC内的动点，且C，D在直线的两侧，满足．试探究是否存在点D使得平面平面?若存在，请求出DE的长度；若不存在，请说明理由．
5．如图，在四棱锥中，底面，，是线段上的动点．

(1)证明：；
(2)若是线段的中点，求平面与平面夹角的余弦值；
(3)设直线与平面所成角为，求的取值范围．

题型六 在图形之外建系
1．（25-26高三上·福建莆田·月考）如图，四棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，，，．
(1)若点为线段的中点，证明：//平面；
(2)若点为直线上的动点，当直线与底面所成角的正弦值取最大值时，求三棱锥的体积.
2．（25-26高三上·贵州毕节·开学考试）在三棱锥中，，平面，点M是棱上的动点，点N是棱上的动点，且．
(1)当时，求证：；
(2)当的长最小时，求二面角的余弦值
3．（25-26高三上·河南安阳·月考）如图，在三棱柱中，是边长为3的正三角形，.

(1)求棱的长；
(2)求证：平面平面；
(3)求直线与平面所成角的正弦值.
4．（2025·湖南永州·模拟预测）如图，在三棱锥中，平面，，E是的中点，F是线段上的一点（不含端点）.
(1)证明：平面；
(2)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值的最大值.
5．（25-26高三上·河北·开学考试）如图，在四棱锥中，底面，，，.

(1)求证：平面平面.
(2)若为的中点，且，
（ⅰ）求证：四棱锥的各个顶点都在一个球的球面上，并求该球的半径；
（ⅱ）求二面角的余弦值.

题型七 其他建系思路
1．（2025·广东揭阳·二模）如图，，，都是等边三角形，点D，E分别在平面的上方和下方，点为中点.
(1)求证：A，D，O，E四点共面；
(2)若，求直线与平面所成角的正弦值的最大值.
2．（2025·湖南娄底·模拟预测）如图，在多面体中，四点共面，四边形为平行四边形，，，，且，，，.
(1)求的长；
(2)求多面体的体积；
(3)求平面与平面的夹角的余弦值.
3．（2025·河南郑州·二模）若一个四面体三组对棱分别相等，我们称它为“等腰四面体”．已知在等腰四面体中，分别为所在棱的中点，如图所示．
(1)求证：平面；
(2)若，，求二面角的大小；
(3)在空间直角坐标系中，平面内有椭圆，直线与交于，两点．为空间中一点，若四面体为等腰四面体，求其外接球表面积的最小值．

检测Ⅰ组 重难知识巩固
1．（25-26高三上·广东深圳·开学考试）如图，直四棱柱中，底面ABCD是边长为2的菱形，，，M，N分别为棱上的点，且．

(1)若平面MBD⊥平面NBD，求实数k的值；
(2)若，求直线DN与平面所成角的正弦值.
2．（2025·辽宁·模拟预测）如图，在圆台中，，，是下底面圆周上的三点，为下底面圆的直径，为的中点.
(1)证明：平面；
(2)若，求直线与平面所成角的正弦值.
3．（2024·河南焦作·模拟预测）如图，在五棱锥中，平面，，，，，，.
(1)证明：；
(2)若点与直线上一点的最小距离为3，求平面与平面夹角的余弦值.
4．（2025·上海·三模）如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，，是底面半径，，为劣弧的中点.
(1)证明：平面；
(2)若圆锥底面半径为1，高为2，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
5．如图，在正六棱锥中，，表面积为．
(1)证明：平面平面PFC；
(2)求二面角的余弦值．
6．（25-26高三上·四川绵阳·开学考试）如图甲，在梯形中，，，，是的中点，将沿折起，使点到达点的位置，如图乙，且.
(1)求证：平面平面；
(2)求点到平面的距离；
(3)设的中点为，在平面内取点，使得直线平面，问点是否在内？并求的长.
7．如图，四棱台中，上､下底面均是正方形，且侧面是全等的等腰梯形，，上下底面中心的连线垂直于上下底面，且与侧面所成的角为.

(1)求点到平面的距离；
(2)求二面角的余弦值.
8．（25-26高三上·江苏南通·开学考试）如图，在三棱锥中，，，平面平面．
(1)证明：平面平面；
(2)若平面，平面，且平面将三棱锥截为两部分，求截面面积的最大值；
(3)若二面角的余弦值为，求.
9．如图，在三棱台中，，，，与相交点，点在上，且.
(1)证明：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值
10．（24-25高三上·北京海淀·月考）如图，在四棱锥中，是边长为4的等边三角形，四边形为菱形，，平面平面，为棱的中点，记平面和平面的交线为．

(1)证明：；
(2)求点到平面的距离；
(3)在线段（不含端点）上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的位置；若不存在，请说明理由．
11．如图，圆柱的轴截面为，点、为上底面圆周上的两点，已知，直线过的重心.
(1)证明：；
(2)求平面与平面的夹角的余弦值.
12．如图，四面体中，为等边三角形，且，为等腰直角三角形，且.

(1)当时，
（i）求二面角的正弦值；
（ii）当为线段中点时，求直线与平面所成角正弦值；
(2)当时，若，且平面，为垂足，中点为，中点为；直线与平面的交点为，求三棱锥体积最大值.
13．（2025·湖南益阳·模拟预测）如图，在三棱柱中，侧面为菱形，，底面为等边三角形，平面平面，点分别是的中点.

(1)证明：平面平面；
(2)若，点在直线上，且平面与平面的夹角的余弦值为，求线段的长.
14．（25-26高三上·广东湛江·月考）如图1，在直角梯形中，，，，，，点在上，且.将沿折起，使得平面平面，如图2.
(1)求四棱锥的体积；
(2)若点在图2中线段上，且，证明：平面.
(3)求直线与平面所成角的正弦值.
15．（25-26高三上·湖北·月考）如图，在三棱锥中，是边长为2的正三角形，为的中点，为的中点，且平面底面.设.
(1)求证：底面；
(2)设为的重心，.求证：是三棱锥外接球的球心；
(3)若平面与平面所成夹角的正弦值的平方等于，求的值.
16．（2025·广东佛山·模拟预测）如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，平面平面ABCD，，点M是线段的中点，N为线段CD上一点．
(1)若，证明：平面；
(2)在线段CD上是否存在点N，使平面与平面MNB夹角的余弦值为？若存在，指出点N的位置；若不存在，说明理由．
17．（25-26高三上·湖南·开学考试）如图，正四棱锥中，是棱的中点，是底面的中心．过作平面与棱分别交于不同的点（可以是端点）．
(1)求证：三线交于一点；
(2)若．
（i）求直线与平面所成角的正弦值；
（ii）求多面体的体积的取值范围．

检测Ⅱ组 创新能力提升
如图，在四棱锥中，平面，，，，，点在线段上且满足，点在线段上且满足.
(1)证明：；
(2)若，求的值；
(3)若存在，使直线与平面所成角为，求的取值范围.
2．如图，在正四棱台中，，，，为棱，的中点，棱上存在一点，使得平面．

(1)求；
(2)当正四棱台的体积最大时，求与平面所成角的正弦值．
3．（25-26高三上·江苏南通·开学考试）如图，在三棱锥中，平面平面，底面是等边三角形，侧面是等腰直角三角形，，，点是的中点.
(1)证明：；
(2)设点，，，均在球的球面上.
①证明：点O在平面内；
②求直线与平面所成角的正弦值.
4．（24-25高三上·辽宁·月考）如图，在四棱台中，平面平面.
(1)求证：；
(2)求平面与平面所成角的正弦值；
(3)求点关于平面的对称点到平面的距离.
5．（2025·安徽黄山·二模）如图1，在平行四边形中，，，为的中点，为的中点，，沿将翻折到的位置，使，如图2．
(1)证明：平面；
(2)求平面和平面所成角的余弦值．
6．（2025·山东·模拟预测）如图1，在菱形中，，点分别是边的中点，，.沿直线将翻折到的位置，连接，得到如图2所示的五棱锥.
(1)证明：在翻折过程中，总有.
(2)若平面平面，线段上是否存在一点（可与点重合），使得点到平面的距离是菱形边长的？若存在，试确定点的位置，并求此时平面与平面所成锐二面角的余弦值；若不存在，请说明理由.
7．（25-26高三上·江西南昌·开学考试）如图，球O的半径为4，PQ是球O的一条直径，C是线段PQ上的动点，过点C且与PQ垂直的平面与球O的球面交于⊙C，是⊙C的一个内接正六边形．

(1)若C是OQ的中点．
（i）求六棱锥的体积；
（ii）求二面角的余弦值；
(2)设的中点为M，求证：tan∠MPQ·tan∠MQP为定值．
8．（24-25高三下·浙江宁波·月考）如图，在三棱柱中，为的重心，平面，记二面角与的大小分别为.
(1)当时，时.
（i）证明：；
（ii）求；
(2)若，求的取值范围.