2025-2026学年四川省眉山市仁寿县第一中学校北校区高二（下）期中数学试卷

这是一份2025-2026学年四川省眉山市仁寿县第一中学校北校区高二（下）期中数学试卷试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.乘积（a1+a2）（b1+b2+b3）展开后共有（ ）项.
A. 2B. 3C. 5D. 6
2.已知函数f（x）=x3-f′（1）x2+2的导数为f′（x），则f′（1）等于（ ）
A. -1B. 0C. 1D. 2
3.已知函数f（x）在x=3处可导，且，则f′（3）=（ ）
A. -3B. -2C. D. 2
4.函数的单调递增区间为（ ）
A. （0，1）∪（2，+∞）B. （-∞，1）∪（2，+∞）
C. （0，1），（2，+∞）D. （-∞，1），（2，+∞）
5.函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2＋a在x＝1处有极值为7，则a等于()
A. －3或3B. 3或－9C. 3D. －3
6.已知函数f（x）是定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，f′（x）为f（x）的导函数，且f（-1）=0，且当x＞0时，f（x）+xf′（x）＜0，则f（x）＞0解集是（ ）
A. （-∞，-1）∪（0，1）B. （-1，0）∪（0，1）
C. （-∞，-1）∪（1，+∞）D. （-1，0）∪（1，+∞）
7.在（1-x）5+（1-x）6+…+（1-x）20的展开式中，含x2的项的系数是（ ）
A. 1320B. 1230C. -1320D. -1230
8.已知f（x）=a（x+1）ex-2x,若有且只有两个整数解使f（x）＜0成立，则实数a的取值范围为（ ）
A. B. C. （]D. （]
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.若，则下列选项是正确的有（ ）
A. 二项式系数之和为128B. 展开式中含x3的系数为-270
C. 系数之和为-1D.
10.将3名女生和5名男生排成一排，则下列选项是正确的有（ ）
A. 女生全排在一起，共有种排法
B. 女生都不相邻，共有种排法
C. 甲必须排在乙前面，共有种排法
D. 甲不站左端乙不站右端，共有种排法
11.设f′（x）是三次函数y=f（x）的导函数，f″（x）是f′（x）的导函数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为三次函数y=f（x）的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.设函数f（x）=x3+ax2+bx+c,则以下说法正确的（ ）
A. 当a=-3，b=1，c=2时，则f（x）的图象关于点（1，1）对称
B. 当a2-3b＞0时，函数f（x）有两个极值
C. 过f（x）的拐点有三条切线
D. 当a=0，b=-3时，若方程f（x）=0有三个不等实数根，则实数c的取值范围为（-2，2）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在的展开式中，第3项的系数是 .
13.饺子是我国古代传统食物，由东汉末年医学家张仲景发明，最初作为药用.在包饺子时，人们常常将红糖、花生、枣和硬币等包进馅里，红糖代表日子甜美，花生代表健康长寿，枣代表早生贵子，硬币代表财源不断.已知小江一家过年时，在一盘饺子（20个）中，含有红糖、花生的各2个，含枣、硬币的饺子各1个，则小江随机夹的3个饺子中，吃到1个含有硬币的饺子的前提下，吃到2个含有不同特殊馅的饺子的概率为 .
14.（a∈R）的两个极值点x1，x2满足x1＜x2≤2x1，则x1+2x2的取值范围为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
2025年11月呼和浩特市有甲、乙、丙三个地区甲流比较严重，这三个地区分别有0.1%，0.2%，0.3%的人是阳性患者，已知这三个地区的人口数之比为2：3：5，现从这三个地区中任选一人.
（1）求这个人是阳性患者的概率；
（2）若此人是阳性患者，求此人是选自甲地区的概率.
16.(本小题15分)
在二项式的展开式中，给出下列条件：①若展开式前三项的二项式系数和等于46；②若展开式中第7项为常数项.试在上面两个条件中选择一个补充在下面的横线上，并且完成下列问题：
我选：_____（填序号）.
（1）求展开式中二项式系数最大的项；
（2）求的展开式的有理项；
（3）求的展开式中的常数项.
17.(本小题15分)
已知函数f（x）=ax-2lnx+1.
（1）当a=1时，求函数f（x）的最小值；
（2）试讨论函数f（x）的单调性；
（3）当x＞1时，不等式f（x）＜（x-2）lnx+2x+a恒成立，求整数a的最大值.
18.(本小题17分)
已知函数.
（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）当x≥1，时，证明：f（x）≥0；
（3）证明：（n∈N*）.
19.(本小题17分)
已知函数f（x）及其导函数f′（x）的定义域都为（0，+∞），若对任意x∈（0，+∞），有f′（x）＞，则称f（x）为“卓越函数”.
（1）判断f（x）=x2+xcsx是否为“卓越函数”？
（2）已知g（x）=axex-x3-x2为“卓越函数”，求实数a的取值范围；
（3）已知h（x）为“卓越函数”，且存在唯一正实数t,使得，求实数b的取值范围.
1.【答案】D
2.【答案】C
3.【答案】B
4.【答案】C
5.【答案】C
6.【答案】B
7.【答案】A
8.【答案】B
9.【答案】ACD
10.【答案】BC
11.【答案】ABD
12.【答案】40．
13.【答案】
14.【答案】（3，5ln2]
15.【答案】0.0023
16.【答案】和 x9，36x6，126x3，84，9x-3 93
17.【答案】3-2ln2 当a≤0时，f（x）的单调递减区间为（0，+∞），无单调递增区间；当a＞0时，f（x）的单调递减区间为，单调递增区间为 4
18.【答案】 证明：由题意得，则f′（x）=2ax-1-lnx，
因为，所以，
欲证f（x）≥0，则证即可，
令，则h′（x）=x-lnx-1，
令m（x）=x-lnx-1，可得，
当x∈[1，+∞）时，m′（x）＞0，则m（x）在[1，+∞）上单调递增，
而m（1）=0，则m（x）≥0，即h′（x）≥0，得到h（x）在[1，+∞）上单调递增，
而h（1）=0，则h（x）≥0，即f（x）≥0得证 证明：取，由（2）得当x＞1时，，
所以，取，
则有，
即，
所以，，…，，
将上述式子相加得，得证
19.【答案】f（x）=x2+xcsx不是“卓越函数”；
（2，+∞）；
（-∞，0）∪{2}