2025-2026学年高二下学期人教A版数学期末模拟考试（二）（含答案解析）

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（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、学号填写在答题卡上.
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分 选择题（共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 复数的共轭复数是（ ）
A. B. C. D.
3. 在中，在上且，设，，则（ ）
A. B.
C. D.
4. 的展开式中的系数是（ ）
A. B. C. D.
5. 为维护市场秩序，保护消费者权益，在“五一”假期来临之际，我市物价部门对某商品在家商场的售价（元）及其一天的销售量（件）进行调查，得到五对数据，经过分析、计算，得，，关于的经验回归方程为，则相应于点的残差为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知函数，曲线在点处的切线与直线平行，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
7. 设甲、乙两人每次投进篮球的概率分别为与，两人约定如下投篮：每次由一人投篮，若投进，下一次由另一人投篮；若没有投进，则继续投篮，甲、乙两人首次投篮的可能性相同，则前次中甲恰好投篮次的概率为（ ）
A. B. C. D.
8. 设函数，若恒成立，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对得满分，部分选对得部分分，有选错得0分.
9. 设随机变量，随机变量，其正态密度曲线如图所示，则（ ）
A. B.
C. D.
10. 已知数列的前项和为，，则（ ）
A. 数列是递减数列
B. 当且仅当时，取得最小值
C. 数列是递减数列
D. 当且仅当时，取得最小值
11. 已知是函数的极大值点，则（ ）
A. 函数的极小值为
B. 若，则
C. 若，则有个相异的零点
D. 若（其中），则
第二部分 非选择题（共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 在中，内角所对的边分别为，若，，，则＿＿＿＿＿＿.
13. 为弘扬志愿者精神，某校举行“乐于助人”服务活动，现安排甲，乙等人到三个不同地方参加活动，每个地方至少人，若甲和乙不能去同一个地方，则不同的安排方式有＿＿＿＿＿＿种.
14. 在棱长为个单位的正方体中，一个质点在随机外力的作用下从顶点出发，每隔秒等可能地沿着棱移动个单位，移动的方向是随机的.设第秒（）后，质点位于平面的概率为，则＿＿＿＿＿＿，＿＿＿＿＿＿.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 为数列的前项和，已知.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
16. 如图，在长方体中，，，.
（1）求证：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
17. 某商场举行抽奖活动，抽奖箱中有大小相同的个小球，其中有个红球，个白球.顾客从中依次摸出个球，记摸到红球的个数为.
（1）若采用不放回摸球，求的分布列与期望；
（2）若采用有放回摸球，摸到一个红球可得积分分，摸到白球得分.设顾客获得的积分为，若商场希望顾客获得积分的期望不超过分，这种有放回的摸球规则是否符合商场要求？
18. 已知椭圆的短轴长为，离心率为.
（1）求的方程；
（2）若，分别是的左、右顶点，不与轴垂直的动直线与交于，两点（不同于，），且直线的斜率等于直线的斜率的倍，求证：直线经过定点.
19. 已知函数.
（1）若是增函数，求的取值范围；
（2）证明：当时，.