河北省邢台市卓越联考2025-2026学年高二下学期5月期中考试数学试题（Word版附解析）

这是一份河北省邢台市卓越联考2025-2026学年高二下学期5月期中考试数学试题（Word版附解析）试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
数学测评试题
一、单选题
1．已知随机变量，若，则（ ）
A．0.2B．0.3C．0.4D．0.6
2．已知函数的图象经过点，则曲线在点处的切线斜率为（ ）
A．2B．3C．4D．5
3．从2所中学、5所小学中选3所学校参加文明卫生学校评比，且至少有1所中学入选，则不同的选法种数为（ ）
A．5B．15C．20D．25
4．的展开式中的系数是（ ）
A．B．8C．D．32
5．有7件产品，其中3件是次品，从中每次取1件，不放回地任取3次，若表示取得次品的件数，则（ ）
A．B．C．D．
6．已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．已知盒子中装有个红球和2个白球，从中任取3个球（取到每个球都是等可能的），用随机变量表示取到的红球个数，的分布列如下表所示，则（ ）
A．4B．5C．6D．9
8．信道中可传输的数字信号为三种之一，传输的概率为，传输的概率为，传输的概率为．由于信道噪声干扰，每个数字被正确接收的概率为，被误收为另外两种数字的概率均为，且每个数字的传输与接收相互独立，则接收的数字序列为的概率是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．研究变量，得到一组样本数据，对其进行回归分析，下列说法正确的是（ ）
A．用决定系数来刻画拟合效果，越小，说明拟合效果越好
B．在经验回归方程中，当解释变量每增加1个单位时，响应变量平均增加0.2个单位
C．若变量和之间的样本相关系数，则变量和之间的正相关性很强
D．残差平方和越小的模型，拟合效果越好
10．已知，若，则（ ）
A．
B．
C．
D．
11．已知函数，下列结论正确的是（ ）
A．当时，有极值
B．当时，只有一个零点
C．当时，，
D．若对任意的，都有，则实数的取值范围为
三、填空题
12．若随机变量的分布列为，则______.
13．已知一种电器的使用寿命超过10年的概率为，超过15年的概率为，若一个这种电器使用了10年时还能使用，则这个电器使用寿命超过15年的概率为______.
14．设第一个口袋有2个白球和4个黑球，第二个口袋有3个白球和3个黑球，从第一个口袋中一次性取2个球放入第二个口袋，再从第二个口袋中一次性取2个球，用表示第二次取出的2个球中白球的个数，则______.
四、解答题
15．近几年新能源汽车发展很快，2025年我国在世界纯电动车市场份额占，下面是某新能源汽车制造公司从2019年至2025年的利润情况表：
(1)根据表中的数据，推断变量与之间是否线性相关，计算与之间的相关系数（精确到0.01），并推断它们的相关程度；
(2)求出关于的经验回归方程，并预测该新能源汽车制造公司2030年的利润.
参考数据：，，.
参考公式：对于一组数据，，，，①相关系数；②经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.
16．现有中国四大名著各1本和6本不同的外国文学名著，某同学要从中取出4本带给4位室友阅读，每人1本，假如取每一本书都是等可能的.
(1)求4位室友每人得到的都是中国四大名著的概率；
(2)设选出的4本书中有本是中国四大名著，求随机变量的分布列及数学期望.
17．某公司的技术员进行技能操作竞赛，规则如下：技能竞赛按阶段依次进行，若连续两个阶段任务都操作失败，则竞赛结束；每一个阶段随机分配一个甲任务或乙任务，分配到甲任务的概率为，分配到乙任务的概率为.已知一个技术员能成功完成甲任务与乙任务的概率分别为和，且各阶段任务完成情况相互独立，完成阶段越多的获得胜利.
(1)求该技术员在一个阶段中成功完成任务的概率；
(2)记为该技术员在执行完第个阶段任务后，整个挑战还未结束的概率，求，.
18．某中学举办“科技知识竞赛”决赛，决赛采用“团队闯关”形式.其中高二（1）班代表队共20名队员参与答题，比赛规则如下：第一轮，从20名队员中随机抽取10人进行“科技知识快问快答”，每人答1题，答对得1分，答错得0分.第二轮，根据第一轮答错人数决定是否启动“全员补答”，即若第一轮答错人数小于或等于2人，则剩余10人无需答题，团队最终得分为第一轮得分；若第一轮答错人数大于2人，则剩余10人需全部答题，每人答1题，答对得1分，答错得0分，最终得分为20人总答对题数对应的分数.已知每名队员答错科技知识题的概率均为，且各队员答题结果相互独立.
(1)记第一轮10名队员中恰有3人答错的概率为，求的极大值点.
(2)已知每名队员参与答题的“时间成本”为2分钟（无论答对答错），若团队最终得分低于15分，则团队所有成员需同时额外参加60分钟的“科技知识培训”.记团队总时间成本（答题时间+可能的培训时间）为分钟.
（i）若第一轮10名队员中恰有2人答错，则不需启动“全员补答”，求；
（ii）若第一轮10名队员中恰有3人答错，以（1）中确定的作为的值，求，并比较（i）与（ii）中谁的总时间成本的期望更小.
参考数据：.
19．已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程.
(2)证明：无零点.
(3)若函数，证明：.
参考答案
1．B
【详解】因为随机变量，所以，所以相应的正态曲线关于轴对称，
则.
2．A
【详解】因为，
所以，，
所以所求切线的斜率为.
3．D
【详解】可分两种情况：第一种情况，只有1所中学入选，不同的选法有种；
第二种情况，有2所中学入选，不同的选法有种.
根据分类加法计数原理知，不同的选法有种
4．C
【详解】展开式的通项是，
根据题意，得，解得，
所以的系数是.
5．B
【详解】由题意知的可能取值为，，，，服从超几何分布，
则.
6．A
【详解】由，得在区间上恒成立，
设，在区间上恒成立，所以在区间上单调递增，
所以，则，即，则的取值范围是.
7．B
【详解】由题意可得，解得或（舍去）.
因为，，
所以，
则.
8．D
【详解】设事件表示“接收的数字序列为”，表示“传输的数字序列为”，
表示“传输的数字序列为”，表示“传输的数字序列为”，
由题意可得，，，，
则，
，
，
．
9．BCD
【详解】对于A，越大，说明拟合效果越好，故A错误；
对于B，在经验回归方程中，当解释变量每增加1个单位时，
响应变量平均增加0.2个单位，故B正确；
对于C，若变量和之间的样本相关系数，的绝对值接近1，
则变量和之间的正相关性很强，故C正确；
对于D，可用残差平方和判断模型的拟合效果，残差平方和越小，
模型的拟合效果越好，故D正确.
10．BC
【详解】对于A，因为，所以，，
即，
再令，得，
令，得，
所以，解得，故A错误.
对于B，令，得，故B正确.
对于C，令，得，
令，得，
则
,故C正确.
对于D，设，
则，
再令，得，
所以，故D错误.
11．BD
【详解】对于A，当时，，则，
所以在上单调递减，所以函数无极值，A错误；
对于B，由选项A可知，在上单调递减，又因为，
所以只有一个零点，所以B正确；
对于C，当时，，令，
则，可知在上单调递减，在上单调递增，，
所以，所以，
，故C错误；
对于D，，即，
设，则问题可转化为，
因为是上的增函数，所以，即恒成立，
设，则，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以，于是，故D正确.
12．
【详解】根据分布列的性质，得，解得.
13．
【详解】设“一个这种电器使用寿命超过10年”为事件，“一个这种电器使用寿命超过15年”为事件，则，
所以在这个电器使用了10年时还能使用的前提下，这个电器使用寿命超过15年的概率为.
14．
【详解】设事件“从第一个口袋中取出的2个球中有个白球”，则，，.
的可能取值为，，，由，，，得.
同理，由，，，
得.
由，，，
得，
所以.
15．(1)，可以推断变量与线性相关且相关程度很强.
(2)，83亿元.
【详解】（1）由题设，且，，，
，
由于，可以推断变量与线性相关且相关程度很强.
（2）因为，
，
所以关于的经验回归方程为，
当2030年对应的年份代码时，y=5×12+23=83，即预测该新能源汽车制造公司2030年的利润为83亿元.
16．(1)
(2)
.
【详解】（1）设事件为“4人每人得到的都是中国四大名著”，
则事件所含有的基本事件有个，
4人从中取出4本书的所有取法即基本事件总数为，
所以室友4人每人得到的都是中国四大名著的概率.
（2）随机变量的所有可能取值为，，，，.
，，，
，，
所以的分布列为
随机变量的数学期望.
17．(1)
(2)，
【详解】（1）设事件“分配到甲任务”，则“分配到乙任务”，事件“在一个阶段中成功完成任务”.
依题意，，，，，
因此，
所以该技术员在一个阶段中成功完成任务的概率为.
（2）设事件“该技术员在第个阶段中成功完成任务”，则，
当时，挑战显然不会终止，即，
又各阶段完成任务与否相互独立，
所以当时，第1，2阶段至少成功完成一次，，
，
同理可得.
18．(1)
(2)（i）80；（ii）分钟，（ii）中的总时间成本的期望更小.
【详解】（1）由题意可得，
因此.
令，且，得，
当时，，当时，，
所以的极大值点.
（2）（i）若不需启动“全员补答”，
则团队最终得分为8分（低于15分），需额外参加60分钟培训.
答题时间为分钟，培训时间为60分钟（因得分），
总时间成本分钟（确定值），故.
（ii）若启动“全员补答”，
则剩余10人全部答题，每人答错题的概率，答对题的概率为0.7.
设剩余10人答对的题数为，则.
设团队的最终得分为，则，
若，则，
而
，
答题时间为分钟，
培训时间：以概率0.615发生，额外参加60分钟培训.
总时间成本的数学期望分钟.
因为不启动全员补答时，分钟，启动全员补答时，分钟，
所以（ii）中的总时间成本的期望更小.
19．(1)；
(2)证明见解析；
(3)证明见解析.
【详解】（1）函数，求导得，则，而，
所以所求的切线方程为，即.
（2）函数的定义域为，设，求导得，
由，得；由，得，
函数在上单调递增，在上单调递减，
因此，即，则恒成立，
所以函数无零点.
（3）依题意，函数的定义域为，
不等式
，由（2）得，则，
令，则，令函数，求导得，
由，得；由，得，
函数在上单调递减，在上单调递增，因此，1
2
3
年份
2019
2020
2021
2022
2023
2024
2025
年份代码
1
2
3
4
5
6
7
利润亿元
29
33
36
44
48
52
59
0
1
2
3
4
0
1
2
3
4