河北省邢台市卓越联盟2025-2026学年高二下学期开学考试数学试卷（Word版附解析）

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注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4．本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册至选择性必修第二册第五章5.2.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 在等差数列中，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 下列求导结果正确的是（ ）
A B.
C. D.
3. 已知、分别为椭圆的左、右焦点，的焦距为，以点、、为顶点的三角形是等腰三角形，则（ ）
A. B. C. D.
4. 已知直线，，则“”是“”的（ ）
A. 充要条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
5. 在空间直角坐标系中，直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，l与所成的角为，则（ ）
A. B.
C. D.
6. 瓷枕是中国古代较为流行的一种瓷质枕具，其上常以彩釉绘制精美图画，或题写诗句.某瓷枕如图1所示，其横截面如图2所示，该横截面的上、下曲线可以看作双曲线的一部分，则该双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
7. 若等比数列前项和为，公比为，且，，则（ ）
A. B. C. D.
8. 在四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，，，平面AEF与棱CD交于点G，则（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 若圆与圆N关于直线对称，则（ ）
A 圆M与圆N相交
B. 圆M与圆N外切
C. 圆N上一点与点的距离的最小值为
D. 圆M上一点与圆N上一点的距离的最大值为
10. 已知是定义域为的函数的导函数，且，则（ ）
A. B.
C. 有两个零点D.
11. 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，将图中的1，6，15，28，…称为六边形数，将六边形数按从小到大的顺序排成数列，则（ ）
A. B.
C. 是等比数列D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 直线被圆截得的弦AB的长为________．
13. 已知正四棱柱的表面积为16，底面边长为x，体积为V，则当时，V关于x的瞬时变化率为________．
14. 若抛物线上的动点P到C的准线的距离为d，点，则的最大值为________，此时点P的坐标为________．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在等比数列中，，．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
16. 已知函数，且曲线在点处的切线的斜率为1．
（1）求a；
（2）若过点的直线l与的图象相切，求l的方程．
17. 在底面半径为1，高为的圆柱OP中建立如图所示的空间直角坐标系．在点处有一只蚂蚁M（视为质点）沿z轴正方向以每秒1个单位长度的速度爬行，同时在点处有一只蚂蚁N（视为质点）沿着圆柱的表面逆时针匀速螺旋爬行，经过秒，蚂蚁N第一次爬到A的正上方的位置，此时蚂蚁N到平面Oxy的距离为．
（1）当经过秒时，求平面OMN与平面Oxy夹角的余弦值；
（2）当经过秒时，，求t的取值范围．
18. 已知正项数列的前n项和为，数列的前n项和为，，．
（1）求，值；
（2）求的通项公式；
（3）若数列的前n项和为，证明：．
19. 已知A，B分别为椭圆的左、右顶点，且，C的离心率为．
（1）求C的方程；
（2）若倾斜角为直线与C交于D，E两点，求DE的中点的轨迹方程；
（3）若过且斜率不为0的直线l与C交于M，N两点，与直线交于点P，设直线AM，BN的斜率分别为，，且，比较与的大小，并说明理由．