新高考数学一轮复习考点举一反三专题8.3 圆的方程（讲义）（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学一轮复习考点举一反三专题8.3 圆的方程（讲义）（2份，原卷版+解析版），文件包含人教版2019选择性必修2高二化学同步精品讲义习题331金属晶体原卷版docx、人教版2019选择性必修2高二化学同步精品讲义习题331金属晶体解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共19页， 欢迎下载使用。

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\l "_Tc5467" 【题型1 求圆的标准方程和一般方程】 PAGEREF _Tc5467 \h 3
\l "_Tc10585" 【题型2 由圆的方程确定圆心和半径】 PAGEREF _Tc10585 \h 5
\l "_Tc20425" 【题型3 二元二次方程表示圆的条件】 PAGEREF _Tc20425 \h 7
\l "_Tc15151" 【题型4 圆过定点问题】 PAGEREF _Tc15151 \h 8
\l "_Tc2826" 【题型5 判断点与圆的位置关系】 PAGEREF _Tc2826 \h 10
\l "_Tc6846" 【题型6 与圆有关的轨迹问题】 PAGEREF _Tc6846 \h 11
\l "_Tc3462" 【题型7 圆系方程】 PAGEREF _Tc3462 \h 13
\l "_Tc12403" 【题型8 定点到圆上点的最值（范围）】 PAGEREF _Tc12403 \h 15
1、圆的方程
知识点1 圆的定义和圆的方程
1．圆的定义
圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆(定点为圆心,定长为半径).
圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小.
2．圆的标准方程
(1)圆的标准方程：方程 (r>0)叫作以点(a,b)为圆心，r为半径的圆的标准方程.
(2)圆的标准方程的优点：根据圆的标准方程很容易确定圆心坐标和半径.
(3)圆的标准方程的适用条件：从方程的形式可以知道，一个圆的标准方程中含有三个字母(待定)，因此在一般条件下，只要已知三个独立的条件，就可以求解圆的标准方程.
3．圆的一般方程
(1)方程叫做圆的一般方程.
(2)圆的一般方程的适用条件：从方程的形式可以知道，一个圆的一般方程中含有三个字母(待定)，因此在一般条件下，只要已知三个独立的条件，就可以求解圆的一般方程.
下列情况比较适用圆的一般方程：
①已知圆上三点，将三点坐标代入圆的一般方程，求待定系数D，E，F；
②已知圆上两点，圆心所在的直线，将两个点代入圆的方程，将圆心代入圆心所在的直线方程，求待定系数D，E，F.
4．二元二次方程与圆的方程
(1)二元二次方程与圆的方程的关系：
二元二次方程，对比圆的一般方程
，我们可以看出圆的一般方程是一个二元二次方程，但一个二元二次方程不一定是圆的方程.
(2)二元二次方程表示圆的条件：
二元二次方程表示圆的条件是.
5．圆的参数方程
圆 (r>0)的参数方程为，其中为参数.
6．求圆的方程的常用方法
(1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程.
(2)待定系数法
①若已知条件与圆心(a,b)和半径r有关，则设圆的标准方程，求出a，b，r的值；
②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值.
知识点2 点与圆的位置关系
1．点与圆的位置关系
(1)如图所示，点M与圆A有三种位置关系：点在圆上，点在圆内，点在圆外.
(2)圆A的标准方程为，圆心为，半径为；圆A的一般方程为
.平面内一点.
知识点3 轨迹方程
1．轨迹方程
求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量x,y之间的方程.
(1)当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义(如圆)时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法(或称相关点法).
(2)求轨迹方程时，一要区分"轨迹"与"轨迹方程"；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等.
2．求轨迹方程的步骤：
(1)建立适当的直角坐标系，用(x,y)表示轨迹(曲线)上任一点M的坐标；
(2)列出关于x,y的方程；
(3)把方程化为最简形式；
(4)除去方程中的瑕点(即不符合题意的点)；
(5)作答.
【方法技巧与总结】
1．以A(x1,y1)，B(x2,y2)为直径端点的圆的方程为.
2．圆心在过切点且与切线垂直的直线上.
3．圆心在任一弦的垂直平分线上.
【题型1 求圆的标准方程和一般方程】
【例1】（2025·海南·模拟预测）下列方程中表示圆心在直线 y=x上，半径为 2，且过原点的圆的是 （ ）
A．(x−1)2+(y−1)2=2B．(x−1)2+(y+1)2=2
C．(x−1)2+(y+1)2=2D．(x−1)2+(y−1)2=2
【答案】D
【解题思路】假设圆的标准方程，根据题意列出方程求解圆心和半径即可.
【解答过程】因为圆心在y=x上，所以设圆心为(a,a),
因为圆的半径为2，
所以设圆的标准方程为(x−a)2+(y−a)2=2,
因为该圆过原点，
所以(−a)2+(−a)2=2，
解得a=±1,
所以圆心为(1,1)或(−1,−1),
当圆心为(1,1)时，圆的标准方程为(x−1)2+(y−1)2=2，D对;
当圆心为(−1,−1)时，圆的标准方程为(x+1)2+(y+1)2=2.
故选：D.
【变式1-1】（24-25高二上·河南洛阳·期中）已知O0,0，A4,3，B1,−3，则△OAB的外接圆方程为（ ）
A．x2+y2−4x−3y=0B．x2+y2−x+3y=0
C．x2+y2−5x−5y=0D．x2+y2−7x+y=0
【答案】D
【解题思路】设△OAB的外接圆方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，代入三点坐标求出系数即可.
【解答过程】设△OAB的外接圆方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，
因为O0,0，A4,3，B1,−3，
所以F=042+32+4D+3E+F=012+−32+D−3E+F=0，解得D=−7,E=1,F=0，
所以△OAB的外接圆方程为x2+y2−7x+y=0.
故选：D.
【变式1-2】（2025·吉林长春·三模）经过A1,1，B−1,1，C0,2三个点的圆的方程为（ ）
A．x+12+y−12=2B．x−12+y−12=2
C．x2+y−12=1D．x2+y+12=1
【答案】C
【解题思路】设经过A，B，C三个点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0D2+E2−4F>0，代入三点坐标可得答案.
【解答过程】设经过A，B，C三个点的圆的方程为
x2+y2+Dx+Ey+F=0D2+E2−4F>0，
由题意可得1+1+D+E+F=01+1−D+E+F=00+4+2E+F=0，解得D=0E=−2F=0，
且满足D2+E2−4F=4>0，
所以经过A，B，C三个点的圆的方程为x2+y2−2y=0，
即为x2+y−12=1.
故选：C.
【变式1-3】（2025·海南·模拟预测）如图是一个中国古典园林建筑中常见的圆形过径门，已知该门的最高点到地面的距离为4米，门在地面处的宽度为4米.现将其截面图放置在直角坐标系xOy中，以地面所在的直线为x轴，过圆心的竖直直线为y轴，则门的轮廓所在圆的方程为（ ）
A．x2+y−322=254B．x2+y+322=254
C．x2+y−522=94D．x2+y+522=94
【答案】A
【解题思路】利用勾股定理可构造方程求得半径r，进而得到圆心坐标，由此可得圆的方程.
【解答过程】设该圆的半径为r，如图，
由题意知：OD=4−r，BD=r，OB=2，
由勾股定理得：BD2=OD2+OB2，即r2=4−r2+4，解得：r=52，
∴OD=4−r=32，即圆的圆心为0,32，则圆的方程为x2+y−322=254.
故选：A.
【题型2 "" \t "" \ "由标准方程确定圆心和半径" 由圆的方程确定圆心和半径】
【例2】（2025·浙江·一模）圆C:x2+y2−2x+4y=0的圆心C坐标和半径r分别为（ ）
A．C1,−2,r=5B．C1,−2,r=5
C．C−1,2,r=5D．C−1,2,r=5
【答案】A
【解题思路】将一般方程化为标准方程即可求解.
【解答过程】圆C:x2+y2−2x+4y=0，即C:x−12+y+22=5，
它的圆心C坐标和半径r分别为C1,−2,r=5.
故选：A.
【变式2-1】（2025·浙江台州·二模）已知圆M：x−12+y+22=4，则圆心坐标和半径分别为（ ）
A．1,−2，4B．−1,2，4C．−1,2，2D．1,−2，2
【答案】D
【解题思路】利用给定圆的方程直接求出圆心坐标及半径即得.
【解答过程】圆x−12+y+22=4的圆心坐标为1,−2，半径为2.
故选：D.
【变式2-2】（2025·山西晋中·三模）已知圆C的一般方程为x2+y2−6x+4y+12=0，则圆C的圆心坐标为（ ）
A．3,2B．−3,2C．3,−2D．−3,−2
【答案】C
【解题思路】由一般方程得到标准方程即可求解.
【解答过程】由x2+y2−6x+4y+12=0，
得x−32+y+22=1，
可知圆C的圆心坐标为3,−2．
故选：C.
【变式2-3】（24-25高二下·云南昆明·期中）已知圆C的方程为x2+y2−2x−4=0，则圆C的圆心和半径分别是（ ）
A．C1,0，r=5B．C1,0，r=5
C．C2,0，r=5D．C2,0，r=5
【答案】B
【解题思路】化圆C的方程为标准形式，进而求出其圆心和半径.
【解答过程】圆C： x2+y2−2x−4=0的标准方程为(x−1)2+y2=5，
所以圆C的圆心和半径分别是C1,0，r=5.
故选：B.
【题型3 二元二次方程表示圆的条件】
【例3】（2025·贵州黔南·三模）“关于x，y的方程：x2+y2+ax+2y+2=0表示圆”是“a>2”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解题思路】根据方程表示圆求出参数的取值范围，再由充分条件、必要条件的定义判断即可.
【解答过程】若关于x，y的方程：x2+y2+ax+2y+2=0表示圆，则a2+22−4×2>0，解得a>2或a2”的必要不充分条件.
故选：B.
【变式3-1】（2025·吉林·三模）已知曲线C：x2+y2+2mx−2y+2=0表示圆，则m的取值范围是（ ）
A．−∞,−1B．1,+∞C．−1,1D．−∞,−1∪1,+∞
【答案】D
【解题思路】将一般方程转化为标准方程后可求参数的取值范围.
【解答过程】圆的标准方程为：x+m2+y−12=m2−1，
故m2>1即m1，
故选：D.
【变式3-2】（2025·贵州贵阳·模拟预测）“a≠0”是“方程x2+y2−2ax−b2=0表示圆”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解题思路】根据题意，化为圆的方程为标准方程(x−a)2+y2=a2+b2，结合圆的方程，以及充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.
【解答过程】由方程x2+y2−2ax−b2=0，可得(x−a)2+y2=a2+b2，
若a≠0时，可得a2+b2>0，此时方程(x−a)2+y2=a2+b2表示圆，即充分性成立；
反之：方程(x−a)2+y2=a2+b2表示圆时，
例如：当a=0,b≠0时，方程可化为x2+y2=b2也可以表示圆，所以必要性不成立，
所以“a≠0”是“方程x2+y2−2ax−b2=0表示圆”的充分不必要条件.
故选：A.
【变式3-3】（24-25高一下·重庆·期末）若方程C:x2+y2−2ax+2y+2a2−1=0表示圆，且圆心位于第四象限，则实数a的取值范围是（ ）
A．−2,2B．2,+∞C．0,2D．0,2
【答案】C
【解题思路】将方程化成x−a2+y+12=2−a2，再利用条件列不等式求解即可.
【解答过程】因为方程C:x2+y2−2ax+2y+2a2−1=0可变形为x−a2+y+12=2−a2，
由题知2−a2>0a>0，解得001+−12−4a>0，解得−20，求得k的取值范围，结合充分,必要条件的意义可得结论.
【解答过程】∵定点A1,2在圆x2+y2+kx+2y+k2−15=0的外部，
∴k2+4−4k2−15>01+4+k+4+k2−15>0，化简得k20，∴−833