新高考数学一轮复习考点举一反三专题6.5 数列求和（讲义）（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学一轮复习考点举一反三专题6.5 数列求和（讲义）（2份，原卷版+解析版），文件包含人教版2019选择性必修2高二化学同步精品讲义习题331金属晶体原卷版docx、人教版2019选择性必修2高二化学同步精品讲义习题331金属晶体解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共19页， 欢迎下载使用。

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\l "_Tc8570" 【题型1 公式法求和】 PAGEREF _Tc8570 \h 3
\l "_Tc28063" 【题型2 错位相减法求和】 PAGEREF _Tc28063 \h 5
\l "_Tc29415" 【题型3 裂项相消法求和】 PAGEREF _Tc29415 \h 8
\l "_Tc17559" 【题型4 分组（并项）法求和】 PAGEREF _Tc17559 \h 11
\l "_Tc3805" 【题型5 倒序相加法求和】 PAGEREF _Tc3805 \h 14
\l "_Tc1590" 【题型6 含有（-1）n的类型求和】 PAGEREF _Tc1590 \h 17
\l "_Tc8478" 【题型7 奇偶项问题讨论求和】 PAGEREF _Tc8478 \h 20
\l "_Tc831" 【题型8 先放缩再裂项求和】 PAGEREF _Tc831 \h 24
\l "_Tc25403" 【题型9 新定义、新情景下的数列求和】 PAGEREF _Tc25403 \h 28
1、数列求和
知识点1 数列求和的几种常用方法
1．公式法
直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和.
①等差数列的前n项和公式：
.
②等比数列的前n项和公式：
=.
2．分组求和法与并项求和法
(1)分组求和法
若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减.
(2)并项求和法
一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如类型，可采用两项合并求解.
3．错位相减法
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一 个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的.
4．裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和.
常见的裂项技巧：
(1).
(2).
(3).
(4).
(5).
5．倒序相加法
如果一个数列{an}的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解.
知识点2 特殊数列求和
1．奇偶项讨论求和
通项公式分奇、偶项有不同表达式；例如：.
角度1：求的前2n项和T2n；
角度2：求的前n项和Tn.
2．通项含有(-1)n的数列求和
通项含有(-1)n的类型；例如：.
【方法技巧与总结】
常用求和公式：
(1).
(2).
(3).
(4).
【题型1 公式法求和】
【例1】（2025·全国二卷·高考真题）记Sn为等差数列an的前n项和，若S3=6,S5=−5,则S6=（ ）
A．−20B．−15C．−10D．−5
【答案】B
【解题思路】由等差数列前n项和公式结合题意列出关于首项a1和公差d的方程求出首项a1和公差d，再由等差数列前n项和公式即可计算求解.
【解答过程】设等差数列an的公差为d，则由题可得 3a1+3d=65a1+10d=−5⇒d=−3a1=5，
所以S6=6a1+15d=6×5+15×−3=−15.
故选：B.
【变式1-1】（2025·黑龙江吉林·模拟预测）等比数列an的前n项和为Sn，且a1+a3=4，a2+a4=8，则S5=（ ）
A．935B．20C．1245D．1345
【答案】C
【解题思路】设等比数列an的公比为q，根据已知条件可得出关于a1、q的方程组，解出这两个量的值，结合等比数列的求和公式可求得S5的值.
【解答过程】设等比数列an的公比为q，则a1+a3=a11+q2=4a2+a4=a1q1+q2=8，解得a1=45q=2，
因此，S5=a11−q51−q=451−251−2=1245.
故选：C.
【变式1-2】（2025·河北·模拟预测）等比数列an的公比为2，且满足a12−a2=8，则an的前10项和为（ ）
A．4B．32C．84D．128
【答案】A
【解题思路】根据等比数列通项基本量的关系，结合前n项和公式求解即可.
【解答过程】因为数列an为等比数列，公比为2.
由a12−a2=8得a1⋅211−2a1=8，则a1⋅210−a1=4，
所以an的前10项和为a11−2101−2=a1⋅210−a1=4.
故选：A.
【变式1-3】（2025·山东泰安·模拟预测）已知等差数列an的公差为2，a2，a3，a6成等比数列，则an的前n项和为（ ）
A．nn−2B．nn−1C．n2−2D．nn+1
【答案】A
【解题思路】根据等差数列的通项公式表示出a2，a3，a6，再结合等比中项的性质列出关于首项a1的方程，求出首项a1，最后根据等差数列的前n项和公式求出{an}的前n项和.
【解答过程】设等差数列{an}的首项为a1，公差为d=2，
可得a2=a1+d=a1+2，a3=a1+2d=a1+4，a6=a1+5d=a1+10.
因为a2，a3，a6成等比数列，
所以a32=a2a6，即(a1+4)2=(a1+2)(a1+10).
展开等式左边可得(a1+4)2=a12+8a1+16，展开等式右边可得(a1+2)(a1+10)=a12+12a1+20.
则a12+8a1+16=a12+12a1+20，
可得−4a1=4，解得a1=−1.
根据等差数列的前n项和公式，将a1=−1，d=2代入可得：
Sn=−n+n(n−1)2×2=−n+n(n−1)=n2−n−n=n2−2n=n(n−2).
{an}的前n项和为n(n−2).
故选：A.
【题型2 错位相减法求和】
【例2】（2025·云南昭通·模拟预测）已知数列an是等差数列，且a2n=2an+1，数列bn的前n项和为Tn，且Tn=2n−1，a2=2b2−1．
(1)求an和bn的通项公式；
(2)求数列anbn的前n项和Qn．
【答案】(1)an=2n−1，bn=2n−1
(2)Qn=−2n−312n−1+6
【解题思路】（1）利用bn=T1,n=1Tn−Tn−1,n≥2，可求数列bn的通项公式，利用等差数列通项公式、可求得a1,d，即可求得an的通项公式；
（2）应用错位相减法、等比数列前n项和公式求和即可.
【解答过程】（1）由数列bn的前n项和为Tn=2n−1，可知b1=T1=1，
bn=Tn−Tn−1=2n−1−2n−1−1=2n−1n≥2,n∈N，
经检验当n=1时，b1=1也满足上式，所以bn=2n−1．
在等差数列an中，因为a2=2b2−1=2×2−1=3，a2n=2an+1，
所以a2=a1+d=3a1+2n−1d=2a1+n−1d+1，解得a1=1d=2，
所以an=a1+n−1d=2n−1．
（2）由（1）知，anbn=2n−12n−1=2n−1⋅12n−1，
所以Qn=1×120+3×121+5×122+⋯+2n−312n−2+2n−112n−1．
则12Qn=1×121+3×122+5×123+⋯+2n−312n−1+2n−112n，
两式相减，得
12Qn=1+2121+122+⋯+12n−1−2n−112n
=1+2·121−12n−11−12−2n−112n=3−12n−2−2n−112n
化简得：Qn=−2n−312n−1+6．
【变式2-1】（2025·海南·模拟预测）已知数列an的前n项和Sn=13n−n2，数列bn是首项为−2的等比数列，且有a3+b3=0．
(1)求数列an, bn的通项公式；
(2)设cn=an⋅bn求数列cn的前n项和Tn．
【答案】(1)an=−2n+14，bn=−2n或bn=−2n
(2)Tn=8−n⋅2n+2−32, n≤7n−8⋅2n+2+992, n≥8n∈N∗
【解题思路】（1）根据an与Sn的关系即可求解an，进而可求b3，进而可求公比，进而得到bn；
（2）利用错位相减法求解即可.
【解答过程】（1）n=1时，S1=a1=12，
n≥2时an=Sn−Sn−1=13n−n2−13n−1+n−12=−2n+14，
n=1时符合上式，∴an=−2n+14．
∴b3=−a3=−8，∴b1q2=b3=−8，∴q=±2，∴bn=−2n或bn=−2n．
（2）cn=−2n+14⋅2n, n≤72n−14⋅2n, n≥8，
设dn=−2n+14⋅2n，设其前n项和为Dn，则
Dn=12×21+10×22+8×23+⋯+−2n+16⋅2n−1+−2n+14⋅2n，①
2Dn=12×22+10×23+8×24+⋯+2n+16⋅2n+−2n+14⋅2n+1，②
①−②得
Dn=24−222+23+24+⋯+2n−−2n+14⋅2n+1
=24−2×4−2n+11−2−−2n+14⋅2n+1=2n+2n−8+32，
∴Dn=8−n⋅2n+2−32，
n≤7时，Tn=Dn=8−n⋅2n+2−32，
n≥8时，Tn=D7−Dn−D7=2D7−Dn=8−n⋅2n+2+992，
综上Tn=8−n⋅2n+2−32, n≤7n−8⋅2n+2+992, n≥8n∈N∗．
【变式2-2】（2025·辽宁盘锦·三模）已知数列an的前n项和为Sn，其中a3=3，Sn=12n2+λn．
(1)求λ的值以及数列an的通项公式；
(2)若bn=a5n−4⋅3n，求数列bn的前n项和Tn．
【答案】(1)λ=12，an=n
(2)152n−394×3n+394
【解题思路】（1）由a3=S3−S2=3可求得λ的值，可得出Sn的表达式，再利用an=S1,n=1Sn−Sn−1,n≥2可求得数列an的通项公式；
（2）求得bn=5n−4×3n，利用错位相减法可求得Tn.
【解答过程】（1）依题意，a3=S3−S2=92+3λ−2−2λ=52+λ=3，解得λ=12，所以Sn=12n2+12n．
当n≥2时，an=Sn−Sn−1=12n2+12n−12n−12+12n−1=n，
当n=1时，a1=S1=1，满足上式，
综上所述，an=n．
（2）依题意，bn=5n−4×3n，
故Tn=1×31+6×32+11×33+⋯+5n−4×3n，
故3Tn=1×32+6×33+⋯+5n−9×3n+5n−4×3n+1，
两式相减可得，−2Tn=1×31+5×32+5×33+⋯+5×3n−5n−4×3n+1
=5×31+5×32+5×33+⋯+5×3n−5n−4×3n+1−12
=151−3n1−3−5n−4×3n+1−12=392−15n×3n−392，
则Tn=152n−394×3n+394．
【变式2-3】（2025·海南·模拟预测）已知各项均为正数的等差数列an的前n项和为Sn，an+1an+1+1=4Sn+nn∈N*，数列bn为等比数列，首项b1=3,b2=a5．
(1)求数列an和bn的通项公式；
(2)设cn=an⋅bn，求数列cn的前n项和Tn．
【答案】(1)an=2n−1,bn=3n
(2)Tn=3+(n−1)⋅3n+1
【解题思路】（1）根据数列通项公式与数列前n项和Sn之间的关系，求出数列an的公差，再根据n=1求出首项，写出数列an通项公式，根据b2=a5，求出公比，写出bn通项公式.
（2）写出数列cn的通项公式，根据错位相消法求出前n项和Tn．
【解答过程】（1）由an+1an+1+1=4Sn+n，当n≥2时，an−1+1an+1=4Sn−1+n−1，
相减得an+1an+1−an−1=4an+1，
已知数列an各项均为正数，即an+1≠0，可化简得an+1−an−1=4，即数列an的公差d满足2d=4，解得d=2，
当n=1时，a1+1a1+2+1=4a1+1，解得a1=1，则数列an通项公式为an=2n−1，
可得a5=2×5−1=9，则b2=a5=9，
由数列bn为等比数列可得b2=b1⋅q=9，由b1=3，求得q=3，
则数列bn通项公式为bn=3⋅3n−1=3n.
（2）由（1）知an=2n−1,bn=3n，则cn=an⋅bn=(2n−1)⋅3n，
所以Tn=c1+c2+c3+⋯+cn=1⋅31+3⋅32+5⋅33+⋯+(2n−1)⋅3n，
则3Tn=1⋅32+3⋅33+5⋅34+⋯+(2n−3)⋅3n+(2n−1)⋅3n+1，
作差的−2Tn=1⋅31+2⋅32+2⋅33+⋯+2⋅3n−(2n−1)⋅3n+1=2(31+32+33+⋯+3n)−3−(2n−1)⋅3n+1，
化简得−2Tn=23(1−3n)1−3−3−(2n−1)⋅3n+1=−6−(2n−2)⋅3n+1，
解得Tn=3+(n−1)⋅3n+1.
【题型3 裂项相消法求和】
【例3】（2025·四川成都·模拟预测）已知数列an的首项a1=3，且满足an+1=2an−1n∈N∗．
(1)求证：数列an−1为等比数列；
(2)记bn=lg2an−1，数列1bnbn+1的前n项和Sn，证明：Sn