2026年山东临沂市莒南县中考二模数学试卷（含解析）

这是一份2026年山东临沂市莒南县中考二模数学试卷（含解析），共3页。试卷主要包含了 下列计算正确的是， 如图所示几何体的左视图是等内容，欢迎下载使用。
2026.6
第Ⅰ卷（选择题共30分）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求．
1. 如图，数轴上点 表示的数的相反数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据数轴上的点所表示数的特征即可解决问题．
【详解】解：由所给数轴可知，点A表示的数为，
所以点A表示的数的相反数是．
2. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查二次根式的性质，求一个数的立方根，幂的乘方，同底数幂乘法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键；根据相关计算法则求出对应选项中式子的结果即可得到答案．
【详解】解；A、，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算正确，符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算错误，不符合题意；
故选；B．
3. 如图所示几何体的左视图是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了简单组合体的三视图，熟练掌握三视图的定义即左视图是从左边看得到的图形是解题的关键．根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【详解】解：从左边看，是一个矩形和一个直角三角形，它两中间有一条纵向的虚线．
故选：D．
4. 六月份，在“阳光大课间”活动中，某校设计了“篮球、足球、排球、羽毛球”四种球类运动项目，且每名学生在一个大课间只能选择参加一种运动项目，则甲、乙两名学生在一个大课间参加同种球类运动项目的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了列表法或画树状图法求概率，分别用A、B、C、D表示篮球、足球、排球、羽毛球，根据题意画树状图求解即可．
【详解】解：分别用A、B、C、D表示篮球、足球、排球、羽毛球，
列树状图如下：
由树状图可知，共有种等可能情况，其中甲、乙两名学生在一个大课间参加同种球类运动项目的情况有种，
即甲、乙两名学生在一个大课间参加同种球类运动项目的概率是，
故选：C．
5. 如图，四边形是的内接四边形，，是直径，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查圆周角定理、等腰三角形的判定和性质、直角三角形的性质．先连接，利用等腰三角形的性质求出，然后连接，结合圆周角定理求出，进而求解．
【详解】解：如图，连接，，
∵，
∴是等腰三角形．
∵，
∴．
∴．
∵是直径，
∴，
∴．
6. 已知，以下结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查不等式的基本性质，利用不等式性质结合作差法，逐一判断各选项即可
【详解】解：已知 ，逐一判断选项：
对于A选项，，不等式两边同乘，不等号方向改变，得 ，不等式两边同时减，不等号方向不变，得 ，选项错误；
对于B选项，，，不等式两边同除以，不等号方向改变，得 ，，选项错误；
对于C选项，，，不等式两边同乘，不等号方向改变，得 ，即，选项错误；
对于D选项，作差得 ，
∵，
∴，，
∴，
∴，即 ，D正确
7. 如图，在平行四边形中，E，F分别为边，的中点，是对角线，下列说法错误的是（ ）
A. 当时，四边形是菱形
B. 当时，四边形是菱形
C. 当时，四边形是矩形
D. 当平分时，四边形是矩形
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意逐一对选项进行分析即可得到本题答案．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
，
∵分别为边的中点，
，
，
∴四边形是平行四边形，
当时，不能得到，故不能判定四边形是菱形，即 A 选项符合题意，
当时，，
∴四边形是菱形，即 B 选项不符合题意，
当时，，
，
∴四边形是矩形，即C选项不符合题意，
当平分时，如图，延长交于点，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
∴四边形是矩形，即D选项不符合题意．
8. 日历中蕴含着丰富的数学规律．如图是某月的日历，在此日历上用一个正方形圈出9个数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．现用一个3×3正方形圈出另外的9个数，若这9个数之和记为n，则n的值可能是（ ）
A. 108B. 109C. 153D. 154
【答案】C
【解析】
【分析】设正方形圈出的9个数正中间的数为，根据日历中数的排列规律（左右相差1，上下相差7），用含的代数式表示出这9个数，求和得到，再结合日历的边界条件进行判断．
【详解】解：设正方形圈出的9个数正中间的数为，
则这9个数分别为： ，，，，

必须是9的倍数
和不是9的倍数
排除B、D选项
对于A选项，若，则，解得
观察日历可知，12位于第一列（周日），其左侧没有数字，无法构成的正方形，故A不符合题意
对于C选项，若，则，解得
观察日历可知，17位于第六列（周五），其上下左右均有数字，可以构成的正方形（圈出的数为9，10，11，16，17，18，23，24，25），故C符合题意．
9. 如图，矩形中，，，以、为圆心，半径分别为2和1画圆，、分别是、上的一动点，是上的一动点，则的最小值是（ ）
A. 6B. 7C. 8D. 10
【答案】B
【解析】
【分析】以为轴作矩形的对称图形以及对称，连接交于，则就是最小值，根据勾股定理求得的长，即可求得最小值．
【详解】解：如图，以为轴作矩形的对称图形以及对称，连接交于，则就是最小值；
矩形中，，，的半径为2，的半径为1，
，，，，
，
，
．
10. 在平面直角坐标系中，设计了点的两种移动方式：从点移动到点称为一次甲方式；从点移动到点称为一次乙方式．例如点从原点出发连续移动2次：若都按甲方式，最终移动到点；若都按乙方式，最终移动到点；若按1次甲方式和1次乙方式，最终移动到点．若从点出发连续移动12次，每次移动按甲方式或乙方式，最终移动到点，则关于的函数解析式正确的为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设移动中使用甲方式的次数为，根据平移规则分别得到与关于的表达式，消去参数即可得到关于的函数解析式．
【详解】解：设次移动中使用了次甲方式，则使用了次乙方式，
∵起点坐标为，每次甲方式使增加，增加，每次乙方式使增加，增加，
∴，
整理得，
又∵，
将代入，
得，
化简得．
第Ⅱ卷（选择题共90分）
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分．
11. 若，则代数式的值为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查代数式求值，根据，得到，整体代入法求出代数式的值即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴；
故答案为：．
12. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数c的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，注意记忆判别式大于0时有两个不相等的实数根，判别式等于0时有两个相等的实数根，判别式小于0时方程无实数根．
根据有两个不相等的实数根，直接得到判别式，即可求解本题．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：；
故答案为：．
13. 如图，在正多边形中，若，则该多边形的内角和为______
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了正多边形与中心角，正多边形内角和问题，根据，得出该正多边形的中心角为，从而求出该多边形为十边形，然后通过内角和公式即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴该正多边形的中心角为，
∴该多边形为十边形，
由得其内角和为，
故答案为：．
14. 如图，在中，按如下步骤作图：①在和上分别截取，，使，分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点 ，作射线交于点 ，②分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线交 于点，交于点．根据以上作图，若，，，则线段的长为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据作法得平分，垂直平分，所以，，从而证明，可得，然后利用相似三角形性质可得，解比例方程即可求出，从而求出的长．
【详解】解：连接，
由作法得平分，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴．
15. 在平面直角坐标系中，与的函数关系如图所示，图象与轴有三个交点，分别为，，．给出下面四个结论：
①当时，；②当时，随的增大而增大；③点在此函数图象上，则符合要求的点有3个；④将函数图象向右平移2个或4个单位长度，经过原点．上述结论中，其中，正确结论的序号是__________．
【答案】②③④
【解析】
【分析】结合函数图象逐个分析，进行作答，即可求解．
【详解】解：当时，或，故①错误；
由图可知，当时，y随x的增大而增大；故②正确；
∵，
∴点M在一次函数的图象上，
如图：
由图象可得，有3个交点，
∴点在此函数图象上，则符合要求的点有3个，故③正确；
由条件可知将函数图象向右平移2个或4个单位长度，经过原点，故④正确．
综上所述，上述结论中，所有正确结论的序号是②③④．
三、解答题：本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16. 计算、化简：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
.
17. 国家大力提倡节能减排和环保，近年来纯电动汽车普及率越来越高，纯电动汽车的续航里程 是人们购买时参考的重要指标．某汽车杂志为了解 M，N 两款纯电动汽车的实际续航里程，各随机 抽取了10辆进行了续航里程实测，并将测试的结果(续航里程用x 公里(1公里=1千米)表示，分成4 组 ：A．；B．；C．；D．)；进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息：
a．10辆M款纯电动汽车的实际续航里程：
330 375 435 410 410 470 380 365 365 410
b．10辆 N 款纯电动汽车的实际续航里程条形统计图(不完整)：
c．10 辆N款纯电动汽车的实际续航里程在C 组中的数据是：402，425，410，425．
d． 两款纯电动汽车的实际续航里程统计表：
根据以上信息，解答下列问题
（1）表格中的 ，
（2）根据上述数据，你认为M款和N款纯电动汽车中，哪款的实际续航里程更长？请说明理由(写出一条即可)．
（3）小王看中了售价一样的甲、乙两款纯电动汽车，根据汽车杂志发布的数据对这两款车的四项性能进行了打分(百分制)，如下表：
续航里程、百公里加速、百公里能耗、智能化水平四项性能在小王心中所占比例是，你认 为小王选择哪款车更合适？请说明理由．
【答案】（1）；
（2）款的实际续航里程更长（答案不唯一，合理即可），
理由如下：
∵款的平均数较大，
∴款的实际续航里程更长（答案不唯一，合理即可）；
（3）
选择甲款车更合适，理由如下：
甲款车综合得分为：
（分），
乙款车综合得分为：
（分），
，
∴选择甲款车更合适．
【解析】
【分析】本题考查了众数、中位数、平均数，条形统计图用统计图获取信息时，解题的关键是认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
（1）根据题意可得款抽取的纯电动车中类的数量为，据此可补全条形统计图；根据中位数和众数的定义即可得到与的值；
（2）根据表格中的平均数判断即可；
（3）利用加权平均数求解可得．
【小问1详解】
解：由题意可得款抽取的纯电动车中类的数量为，
补全条形统计图如下：
330 375 435 410 410 470 380 365 365 410中，410出现的次数最多，
∴众数；
在款抽取的纯电动车的实际续航里程中的数据从小到大排列，排在中间的两个数分别为402，410，
∴中位数 ；
故答案为：；
【小问2详解】
略
【小问3详解】
略
18. 如图，在中，为钝角．，点在上，，
（1）将沿翻折得到，请尺规作图画出点（不写作法，保留作图痕迹，并标明字母）；
（2）在（1）的条件下，若，求的长．
【答案】（1）
解：如图，点即为所求，
（2）
【解析】
【分析】（1）以点为圆心、长为半径画弧，以点为圆心、长为半径画弧，两弧的交点即为点，连接、；
（2）过点作于点，先利用的等腰三角形三线合一性质求出，再根据沿翻折的全等性质推出，结合已知得到，因此，在中利用三角函数求出，再通过勾股定理算出，接着利用三角形外角性质推出，由等角对等边得到，进而算出，最后在中通过勾股定理求出的长．
【小问1详解】
【小问2详解】
解：如图，过点作，垂足为，
又∵，
∴，，
∵沿翻折得到，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
在中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，
．
19. 项目式学习：为了解智能机械臂的工作情况，某学习小组进行了如下研究：
（1）工作状态时，机械臂所能抓取的物品离操作台的竖直距离称为工作距离，当，，此时工作距离最大，求工作距离的最大值；
（2）静止状态时，机械臂的端点D置于地面，之间的距离称为安全距离，求安全距离的最小值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查矩形的判定与性质、勾股定理、解直角三角形，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．
（1）过点D作，垂足为点F，过点B作，垂足为点G，易证得四边形为矩形，进而得到、，在中，，进而求出，利用求解即可；
（2）过点C作，垂足为G，过点C作，垂足为H，易证得四边形为矩形，则，，在中，、，在中，根据勾股定理求出长，利用求解即可．
【小问1详解】
解：如图，过点D作，垂足为点F，过点B作，垂足为点G，
由题意得，当工作距离最大时，，，
、、，
，
四边形为矩形，
、，
，
、，
，
，
，
在中，，
，
，
即工作距离的最大值为；
【小问2详解】
解：由题可知，当张角达到最小，即时，之间的距离即为安全距离的最小值，
如图，过点C作，垂足为G，过点C作，垂足为H，
、、，
，
四边形为矩形，
，，，
在中，，
，
，
、，
，
在中，由勾股定理得：，
，
即安全距离的最小值为．
20. 如图，菱形的边在轴的正半轴上，对角线，相交于点D，已知点，反比例函数的图象经过点D．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）延长交反比例函数的图象于点，交轴于点 ，连接，求的面积．
【答案】（1）
（2）6
【解析】
【分析】（1）根据中点坐标公式先求出点D的坐标，然后用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）先求出点的坐标为，从而得出，根据求出结果即可．
【小问1详解】
解：点D是菱形的对角线的交点，
∴点D是的中点，
∵点，点，
点D的坐标为：，即，
将点代入反比例函数中得，
解得：；
；
【小问2详解】
解：四边形是菱形，
，，
．
点的纵坐标为4，
当时，，
，
点的坐标为，
，
．
21. 如图，在中，，以为直径作，交于点，是的切线且交于点，延长交于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）
证明：连接，如图1所示：
，
，
，
，
，
，
是的切线，
，
,
；
（2）6
【解析】
【分析】此题主要考查了切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，理解切线的性质，圆周角定理，熟练掌握解直角三角形是解决问题的关键．
（1）连接，证，得，再根据切线的性质得，据此即可得出结论；
（2）连接，可得，则，在中根据，可得，然后由勾股定理即可求出的长．
【小问1详解】
略
【小问2详解】
解：连接，如图2所示：
，
，
又，
，
，
由（1）可知：；
在中，，
，
，
由勾股定理得：．
22. 已知抛物线（）经过点，对称轴为直线．
（1）求的值；
（2）若点在抛物线上，将此抛物线向上平移个单位长度，得到新的抛物线．当时，新抛物线对应的二次函数的最小值为，当时，新抛物线对应的二次函数的最大值为，若，求的值；
（3）在（2）的条件下，设平移后新的抛物线与直线相交于，两点，且，求证：．
【答案】（1）
（2）
（3）
证明：由（2）知新抛物线表达式为：，
由题意知：，，，
，
.
【解析】
【分析】（1）根据二次函数图象的对称性即可求出答案；
（2）利用待定系数法求出函数解析式，根据二次函数的平移和性质求解即可；
（3）求出新抛物线表达式，根据二次函数的性质进行证明即可．
【小问1详解】
解：当时，，，
则对称轴为直线；
【小问2详解】
解：由（1）知，
将，代入抛物线得，
解得，
，
设平移后的新抛物线为，
对称轴为直线，
当时，随增大而减小，时，，
当时，时取最大值，，
，
解得；
【小问3详解】
略
23. 如图1，在中，，，，将三角形纸片折叠，使点C与点A重合，然后展开铺平，得到折痕．
（1）求证：；
（2）在（1）基础上，将沿折痕剪开，然后将绕点D逆时针方向旋转，得到，点E，C的对应点分别是点F，G，与交于点M，与交于点P．
①如图2，当时，求长；
②如图3，当的延长线经过点B时，连接，求的面积．
【答案】（1）
证明：由折叠可知：，
，
，
，，
，
；
（2）①3；②
【解析】
【分析】（1）利用折叠的性质和等角对等边进行解答即可；
（2）①由（1）可知：，由旋转的性质得：，，由得到，进一步即可求出答案；
②证明．设，则，在中，由勾股定理得：，解得：，得到，利用三角形的面积公式进一步解答即可．
【小问1详解】
略
【小问2详解】
①解：在中，，
由（1）可知：，
由旋转的性质得：，，
，
，，
，，
，，
，
，
；
②解：当的延长线经过点B时，
，
，
，，
，，
．
又，
，
，
．
设，
则，
在中，由勾股定理得：，
，
解得：，
，
．
与同高，
，
，
．
平均数
中位数
众数
方差
M
395
395
a
1455
N
397
b
425
2070
续航里程得分
百公里加速得分
百公里能耗得分
智能化水平得分
甲车
82
90
85
100
乙车
80
100
90
90
课题
智能机械臂的工作情况
素材
如图①，水平操作台为l，底座固定，测得，始终与平台l垂直，连杆，，B，C是转动点，，与始终在同一平面内，张角可在与之间变化，可以绕点C转动，张角可在与之间变化，机械臂端点D处装有一个爪子，工作时在操作台上抓取物品．

状态
状态一（工作状态，如图②）
状态二（静止状态，如图③）
图示