新高考数学一轮复习核心考点练习第7章§7.3空间点、直线、平面之间的位置关系（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学一轮复习核心考点练习第7章§7.3空间点、直线、平面之间的位置关系（2份，原卷版+解析版），共51页。试卷主要包含了基本事实1，“三个”推论，空间中直线与直线的位置关系，等角定理，异面直线所成的角等内容，欢迎下载使用。
【知识梳理】
1.基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面.
基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内.
基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行.
2.“三个”推论
推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面.
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面.
3.空间中直线与直线的位置关系
共面直线相交直线:在同一平面内,有且只有一 个公共点;平行直线:在同一平面内,没有公共点;异面直线:不同在任何一个平面内,没有公共点.
4.空间中直线与平面、平面与平面的位置关系
5.等角定理
如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.
6.异面直线所成的角
(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a'∥a，b'∥b，我们把直线a'与b'所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).
(2)范围：0，π2.
【名师点拨】
1.过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线.
2.两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角.
【随堂练习】
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)没有公共点的两条直线是异面直线.( )
(2)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线.( )
(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合.( )
(4)若直线a不平行于平面α，且a⊄α，则α内的所有直线与a异面.( )
2.用符号表示“点A不在直线m上，直线m在平面α内”，正确的是( )
A.A∉m，m⊂αB.A∉m，m∈α
C.A⊄m，m⊂αD.A⊄m，m∈α
3.(多选)下列命题正确的是( )
A.空间任意三个点确定一个平面
B.一个点和一条直线确定一个平面
C.两条相交直线确定一个平面
D.空间两两平行的三条直线确定一个或三个平面
4.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为棱BC和棱CC1的中点，则异面直线AC和MN所成的角为 .
【名师点拨】
(1)异面直线的判定：经过平面内一点和平面外一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线.
(2)异面直线所成角的范围：两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角.
【必练核心题型】
题型一 基本事实的应用
【典例】1.已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD=P，A1C1∩EF=Q.求证：
(1)D，B，F，E四点共面；
(2)若A1C交平面DBFE于点R，则P，Q，R三点共线；
(3)DE，BF，CC1三线交于一点.
【变式训练】
变式1.如图，已知空间四边形ABCD，E，F分别是AB，BC的中点，G，H分别在CD和AD上，且满足CGGD=AHHD=2.求证：
(1)E，F，G，H四点共面；
(2)EH，FG，BD三线共点.
题型二 空间位置关系的判断
【典例】1.(多选)下列推断中，正确的是( )
A.若M∈α，M∈β，α∩β=l，则M∈l
B.若α∩β=l，a⊂α，b⊂β，a∩b=A，则A∈l
C.l⊄α，A∈l⇒A∉α
D.A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线⇒α，β重合
【典例】2.(多选)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为正方形ABCD的中心，当点P在线段BC1上(不包含端点)运动时，下列直线中一定与直线OP异面的是( )
A.AB1B.A1C
C.A1AD.AD1
【变式训练】
变式1.空间中有三条线段AB，BC，CD，且∠ABC=∠BCD，那么直线AB与CD的位置关系是( )
A.平行
B.异面
C.相交或平行
D.平行或异面或相交均有可能
变式2.若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列结论正确的是( )
A.l与l1，l2都不相交
B.l与l1，l2都相交
C.l至多与l1，l2中的一条相交
D.l至少与l1，l2中的一条相交
题型三 异面直线所成的角
【典例】1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为BD的中点，则直线B1E与A1D所成的角为( )
A.30°B.60°C.120°D.150°
【典例】2.如图，已知正四棱锥P-ABCD的所有棱长均为2，E为棱PA的中点，则异面直线BE与PC所成角的余弦值为( )
A.63B.33
C.13D.22
【变式训练】
变式1.(2025·崇明模拟)已知底面半径为1的圆柱，O是其上底面圆心，A，B是下底面圆周上两个不同的点，BC是母线.若直线OA与BC所成角的大小为π3，则BC= .
变式2.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=8，AD=6，异面直线BD与AC1所成角的余弦值为15，则该长方体外接球的表面积为( )
A.90πB.196π
C.784πD.1 372π3
【限时训练】（限时：60分钟）
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.若直线上有两个点在平面外，则( )
A.直线上至少有一个点在平面内
B.直线上有无穷多个点在平面内
C.直线上所有点都在平面外
D.直线上至多有一个点在平面内
2.下列说法正确的是( )
A.空间中两直线的位置关系有三种：平行、垂直和异面
B.若空间中两直线没有公共点，则这两直线异面
C.和两条异面直线都相交的两直线是异面直线
D.若两直线分别是长方体的相邻两个面的对角线所在的直线，则这两直线可能相交，也可能异面
3.下列推理错误的是( )
A.A∈l，A∈α，B∈l，B∈α⇒l⊂α
B.A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β=AB
C.A∈l，l⊂α⇒A∈α
D.若直线a⊂α，直线b⊂β，则a与b为异面直线
4.在三棱锥A-BCD的边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，若EF∩HG=P，则点P( )
A.一定在直线BD上
B.一定在直线AC上
C.可能在直线AC上，也可能在BD上
D.不在直线AC上，也不在直线BD上
5.已知平面α∩平面β=l，点A，C∈α，点B∈β，且B∉l，又AC∩l=M，过A，B，C三点确定的平面为γ，则β∩γ是( )
A.直线CMB.直线BM
C.直线ABD.直线BC
6.安徽徽州古城与四川阆中古城、山西平遥古城、云南丽江古城被称为中国四大古城.徽州古城中有一古建筑，其底层部分可近似看作一个正方体ABCD-A1B1C1D1.已知该正方体中，点E，F分别是棱AA1，CC1的中点，过D1，E，F三点的平面与平面ABCD的交线为l，则直线l与直线AD1所成的角为( )
A.π3B.π6C.π4D.π2
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.给出以下四个命题，其中错误的是( )
A.不共面的四点中，其中任意三点不共线
B.若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则点A，B，C，D，E共面
C.若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面
D.依次首尾相接的四条线段必共面
8.如图，四棱锥P-ABCD的底面是平行四边形，E，F分别是棱PD，PA的中点，下列说法正确的有( )
A.多面体ABF-DCE是三棱柱
B.直线BF与PC互为异面直线
C.平面ADP与平面BCP的交线平行于EF
D.四棱锥P-ABCD和四棱锥P-BCEF的体积之比为8∶3
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.已知α，β是不同的平面，l，m，n是不同的直线，P为空间中一点.若α∩β=l，m⊂α，n⊂β，m∩n=P，则点P与直线l的位置关系用符号表示为 .
10.如图为正方体表面的一种展开图，则图中的AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面直线的有 对.
四、解答题(共27分)
11.(13分)如图所示，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AB，CC1的中点.
(1)求异面直线A1E与D1F所成角的余弦值；(7分)
(2)求三棱锥A1-D1EF的体积.(6分)
12.(14分)如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的侧棱AA1⊥底面ABCD，四边形ABCD为菱形，E，F分别为AA1，CC1的中点，M为AB上一点.
(1)若D1E与CM相交于点K，求证：D1E，CM，DA三条直线相交于同一点；(4分)
(2)若AB=2，AA1=4，∠BAD=π3，求点D1到平面FBD的距离.(10分)
【尖子生加餐特训】13题5分，14题6分，共11分
13.(2025·绵阳模拟)在平行四边形ABCD中，AB⊥BD，BC=25，CD=2，沿对角线BD将△CBD折起，所得四面体ABCD外接球的表面积为24π，则异面直线AB与CD所成的角为( )
A.30°B.45°C.60°D.90°
14.(多选)(2025·常州模拟)如图，在正四面体ABCD中，已知AB=2，O为棱AB的中点.现将等腰Rt△EAB绕其斜边AB旋转一周(假设△EAB可以穿过正四面体内部)，则在旋转过程中，下列结论正确的是( )
A.△EAB绕斜边AB旋转一周形成的旋转体体积为π3
B.O，C，D，E四点共面
C.点E到CD的最近距离为3-1
D.异面直线CD与AE所成角的范围为π4，π2
图形语言
符号语言
公共点
直线与平面
相交
a∩α=A
1个
平行
a∥α
0个
在平面内
a⊂α
无数个
平面与平面
平行
α∥β
0个
相交
α∩β=l
无数个