期末模拟考试（五）-2025-2026学年高二下学期人教A版数学（含解析）

这是一份期末模拟考试（五）-2025-2026学年高二下学期人教A版数学（含解析），共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
答案速查表
第一部分 选择题（共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 从0，1，2，3，4，5这六个数字中任选3个数字，可组成无重复数字的三位数的个数为（ ）
A. 60 B. 84 C. 100 D. 120
【答案】C
【解析】从0，1，2，3，4，5这六个数字中任选3个数字组成无重复数字的三位数，由于首位不能为0，可分步进行：
第一步，确定百位数字，从1，2，3，4，5中任选1个，有 C51=5 种选法；
第二步，确定十位和个位数字，从剩下的5个数字中任选2个进行排列，有 A52=20 种选法.
根据分步乘法计数原理，共有 5×20=100 种.
【点拨】本题考查排列组合的基础应用.处理含“0”的排数问题时，“首位不为0”是核心限制条件，优先安排受限元素（首位）是常用策略.
2. 从装有4个白球，2个红球的盒子中逐个不放回地摸取小球.若每取出1个红球得2分，每取出1个白球得1分，按照规则从盒子中任意抽取2个球，所得分数的期望为（ ）
A. 43 B. 2 C. 83 D. 103
【答案】C
【解析】设取出2个球所得分数为 X，则 X 的可能取值为2（两白），3（一白一红），4（两红）.
P(X=2)=C42C62=615=25；
P(X=3)=C41C21C62=815；
P(X=4)=C22C62=115.
∴ E(X)=2×25+3×815+4×115=12+24+415=4015=83.
【点拨】本题考查超几何分布的数学期望.也可利用期望的线性性质求解：每次摸取红球的概率为 13，白球的概率为 23，每次得分的期望为 2×13+1×23=43，两次摸取的总期望即为 2×43=83.
3. 已知随机变量 X∼N(100,σ2)，P(X≥90)=0.65，则 P(90≤X≤110)=（ ）
A. 0.15 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.35
【答案】C
【解析】∵随机变量 X∼N(100,σ2)，∴正态曲线的对称轴为 μ=100.
∵ P(X≥90)=0.65，∴ P(X110)=P(X−1e2
C. −1e20，f(x) 单调递增.
∴ f(x) 在 x=−2 处取得极小值，且极小值为 f(−2)=(−2+1)e−2=−1e2.
又当 x→−∞ 时，f(x)→0 且 f(x)0，化简得 12+12a>0，解得 a>−1，故A正确；
对于B，当 a=2 时，f'(x)=3x2−6x=3x(x−2).令 f'(x)=0 得 x=0 或 x=2.当 x∈(0,2) 时，f'(x)0，ℎ(x) 单调递增.
∴ ℎ(x) 的最小值为 ℎ（1）=e.
又当 x→0+ 时，ℎ(x)→+∞；当 x→+∞ 时，ℎ(x)→+∞.
∴要使直线 y=a 与 y=ℎ(x) 的图像有两个交点，需满足 a>e.
即实数 a 的取值范围为 (e,+∞).
【点拨】本题考查利用导数研究方程的根.通过同构法构造相同结构的函数 g(t)，利用其单调性将复杂方程转化为 ax=ex，再分离参数构造新函数求导是解题的核心技巧.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.
某大型学校有初中学生2400人，高中学生1600人.学校为了解学生的体育锻炼习惯，采用按比例分配的分层抽样方式从中抽取100人进行问卷调查.
将每天体育锻炼时长 ≥2 小时视为锻炼达标，整理出如下列联表：
（1）请完成上面列联表，并依据小概率值 α=0.05 的独立性检验，分析学生体育锻炼达标情况是否与学段（初中、高中）有关联.（结果保留小数点后三位）
（2）如果将上面列联表中的所有数据都扩大为原来的10倍，依据小概率值 α=0.05 的独立性检验，分析学生体育锻炼达标情况是否与学段（初中、高中）有关联.（结果保留小数点后三位）
附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中 n=a+b+c+d.
【答案】（1） 列联表见解析；没有充分证据推断学生体育锻炼达标情况与学段有关联
（2） 有充分证据推断学生体育锻炼达标情况与学段有关联
【解析】解：（1）依题意，抽样比例为 2400:1600=3:2.
在100人中，初中抽取 100×35=60 人，高中抽取 100×25=40 人.
初中达标人数为 60−24=36 人；高中不达标人数为 40−28=12 人.
完成的 2×2 列联表如下：
………………………… 2 分
根据列联表，计算得：
χ2=100×(36×12−28×24)260×40×64×36=100×(432−672)25529600≈1.042 ………………………… 5 分
∵ 1.0423.841，
∴根据小概率值 α=0.05 的独立性检验，我们推断 H0 不成立，即认为学生体育锻炼达标情况与学段（初中、高中）有关联. ………………………… 13 分
【点拨】本题考查分层抽样与独立性检验.完善列联表时需注意抽样比例的计算，代入公式计算 χ2 时要细心，最后需将计算结果与临界值比较得出规范的统计推断结论.
16.
在 (x2+2x)n(n≥3,n∈N∗) 的展开式中，第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列.
（1）求 n；
（2）求展开式中二项式系数最大的项.
【答案】（1） n=7
（2） T4=280x132，T5=560x4
【解析】解：（1）由题意得，展开式中第2，3，4项的二项式系数依次为 Cn1,Cn2,Cn3.
∵它们成等差数列，∴ 2Cn2=Cn1+Cn3 ………………………… 2 分
即 2×n(n−1)2=n+n(n−1)(n−2)6 ………………………… 4 分
化简得 n2−9n+14=0，解得 n=2 或 n=7.
∵ n≥3，∴ n=7. ………………………… 7 分
（2）由（1）知 n=7，展开式共有8项，
二项式系数最大的项为中间两项，即第4项或第5项. ………………………… 9 分
第4项为：
T4=C73(x2)4(2x)3=35⋅x8⋅8x−32=280x132 ………………………… 12 分
第5项为：
T5=C74(x2)3(2x)4=35⋅x6⋅16x−2=560x4 ………………………… 15 分
【点拨】本题考查二项式定理的通项公式与二项式系数的性质.注意区分“二项式系数”与“项的系数”，二项式系数最大项仅由指数 n 的奇偶性决定.
17.
新能源汽车发展非常迅速，某地区2017年至2024年（年份代码分别记为：1,2,3,4,5,6,7,8）某品牌新能源汽车的科研经费投入和销售量统计如下：
参考数据：i=18xiyi=347，i=18xi2=1308，i=18yi2=93，1785≈42.25.
参考公式：相关系数 r=i=1n(xi−x)(yi−y)i=1n(xi−x)2i=1n(yi−y)2，b=i=1nxiyi−nxyi=1nxi2−nx2，a=y−bx.
（1）根据样本数据，计算科研经费 x 与销售量 y 之间的样本相关系数，并推断它们的线性相关程度（结果精确到0.01）；
（2）根据样本数据，求销售量 y 关于科研经费 x 的线性回归方程（a,b 用分数表达）.
【答案】（1） r≈0.98，线性相关程度很强
（2） y=83340x+107340
【解析】解：（1）由题中数据可得：
x=2+3+6+10+13+15+18+218=888=11 ………………………… 2 分
y=1+1+2+2.5+3.5+3.5+4.5+68=248=3 ………………………… 4 分
i=18(xi−x)(yi−y)=i=18xiyi−8xy=347−8×11×3=347−264=83
i=18(xi−x)2=i=18xi2−8x2=1308−8×112=1308−968=340
i=18(yi−y)2=i=18yi2−8y2=93−8×32=93−72=21 ………………………… 6 分
∴相关系数 r=83340×21=837140=8321785
∵ 1785≈42.25，∴ r≈832×42.25=8384.5≈0.98 ………………………… 8 分
由于 |r|≈0.98 接近1，∴科研经费与销售量之间线性相关，且线性相关程度很强. ………………………… 9 分
（2）由（1）可得：
b=i=18(xi−x)(yi−y)i=18(xi−x)2=83340 ………………………… 12 分
a=y−bx=3−83340×11=1020−913340=107340 ………………………… 14 分
∴销售量 y 关于科研经费 x 的线性回归方程为 y=83340x+107340. ………………………… 15 分
【点拨】本题考查一元线性回归方程的求解与相关系数的计算.熟练运用公式的变形形式 ∑(xi−x)(yi−y)=∑xiyi−nxy 可大大简化运算过程.
18.
甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，甲传给乙和丙的概率分别为 13 和 23，乙传给甲和丙的概率分别为 14 和 34，丙传给甲和乙的概率分别为 23 和 13.
（1）求第1次和第2次传球后球在乙手中的概率；
（2）求第 n 次传球后球在乙手中的概率；
（3）记第 i 次传球时，乙接到的次数为 Yi，则 Yi 服从两点分布，且 P(Yi=1)=pi，E(i=1nYi)=i=1npi(i=1,2,…,n)，设前 n 次传球后，乙接到球的总次数为 Y，且 E(Y)≤n4+m 总成立，求实数 m 的最小值.
【答案】（1） 第1次 13，第2次 29
（2） pn=14+112(−13)n−1
（3） m=112
【解析】解：（1）设第 n 次传球后球在乙手中的概率为 pn.
第1次由甲将球传出，甲传给乙的概率为 13，∴ p1=13. ………………………… 2 分
第2次传球后球在乙手中，说明第1次传球后球不在乙手中.
若第1次传球后球在甲手中，甲传给乙的概率为 13；若球在丙手中，丙传给乙的概率也为 13.
∴第2次传球后球在乙手中的概率 p2=(1−p1)×13=(1−13)×13=29. ………………………… 5 分
（2）由（1）的分析同理可得，第 n+1 次传球后球在乙手中，必然是第 n 次传球后球不在乙手中（即在甲或丙手中），且甲、丙传给乙的概率均为 13.
∴ pn+1=(1−pn)×13+pn×0=−13pn+13 ………………………… 8 分
将其变形为 pn+1−14=−13(pn−14).
又 p1−14=13−14=112，
∴数列 {pn−14} 是以 112 为首项，−13 为公比的等比数列. ………………………… 10 分
∴ pn−14=112(−13)n−1，
即 pn=14+112(−13)n−1. ………………………… 12 分
（3）由题意，E(Y)=i=1npi=i=1n[14+112(−13)i−1]
=n4+1121−(−13)n1−(−13)=n4+116[1−(−13)n] ………………………… 14 分
∵ E(Y)≤n4+m 总成立，∴ 116[1−(−13)n]≤m 恒成立.
设 an=116[1−(−13)n]，只需要 m≥(an)max.
当 n 为奇数时，an=116[1+(13)n]，随 n 的增大而减小，最大值为 a1=116(1+13)=112；
当 n 为偶数时，an=116[1−(13)n]0，∴ ln(an+1)