第22章素养练习卷（含答案）2026-2027学年沪科版九年级数学上册

这是一份第22章素养练习卷（含答案）2026-2027学年沪科版九年级数学上册，共12页。
第22章素养练习一、选择题(本大题共10小题，每小题4，共40)1．下列四组线段中，成比例的是(　　)A．1，2，3，4 B．3，6，9，18C．1，3，2，8 D．1，2，4，62．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝2，BD＝3，AC＝10，则AE的长为(　　)A．3 B．4 C．5 D．63．在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比．已知这本书的长为20 cm，则它的宽约为(　　)A．12.36 cm B．13.6 cmC．32.36 cm D．7.64 cm4．已知ab＝45，则下列式子正确的是(　　)A.eq \f(a＋b,b)＝eq \f(9,4) B.eq \f(a＋1,b＋1)＝eq \f(5,6)C.eq \f(b－a,b)＝eq \f(1,5) D.eq \f(a,a＋b)＝eq \f(5,9)5．如图，这是某平台销售的折叠椅子的示意图，CD与地面AB平行，已知OF＝30 cm，GF＝50 cm，若AB＝40 cm，则CD的长是(　　)A．30 cm B.eq \f(80,3) cm C．20 cm D.eq \f(25,4) cm(第5题)　　(第6题)6．如图，E，F分别为矩形ABCD的边AD，CD上的点，∠BEF＝90°，则图中①、②、③、④四个三角形中一定相似的是(　　)A．①③ B．②③ C．①②③ D．①④7．如图，在小正方形组成的网格中，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，则∠A＋∠F的度数为(　　)A．45° B．50° C．60° D．75°(第7题)　　(第8题)8．如图，点A，B都是双曲线y＝eq \f(k,x)(k≠0，x>0)上的点，连接AB并延长交x轴于点C，已知AB＝2BC，△AOC的面积为12，则k的值为(　　)A．3 B．4 C．5 D．69．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，以点A为圆心，AB长为半径作弧交AC于点D，连接BD，再分别以点B，D为圆心，大于eq \f(1,2)BD的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点E，连接DE，则下列结论正确的是(　　)A．DE垂直平分AC B．△ABE∽△CBAC．BD2＝BC·BE D．CE·AB＝BE·CA(第9题)　　(第10题)10．如图，在正方形ABCD中，F为AB上一点，E是BC延长线上一点，且AF＝EC，连接EF，DE，DF，M是EF的中点，连接MC.设EF与BD和DC分别相交于点G和N，下列结论：①△FGD∽△BGE；②若BF＝4，则CE＝2 eq \r(2)；③∠CME＝∠CDE；④DG2＝GN·GE，其中正确的是(　　)A．①②③ B．①③④C．②③④ D．①②④二、填空题(本大题共4小题，每小题5，共20)11．在比例尺为1∶1 000 000的地图上，测得A，B两城市的距离是3.5 cm，则A，B两城市的实际距离是________km.12．如果△ABC∽△DEF，且△ABC的三边长分别为6，12，15，△DEF的最短边长为2，那么△DEF的周长为________．13．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点坐标分别是O(0，0)，C(6，0)，B(6，4)，A(0，4)．已知矩形OA′B′C′与矩形OABC位似，位似中心是原点O，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的eq \f(1,4)，则点B′的坐标是____________________．(第13题)　　(第14题)14．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，点E为边AD上一点，AE＝3，F为BE的中点．(1)EF＝________；(2)若CF⊥BE，CE，DF相交于点O，则eq \f(OC,CE)＝________．三、(本大题共2小题，每小题8，共16)15．已知线段a，b，c满足eq \f(a,2)＝eq \f(b,5)＝eq \f(c,3)，且a＋b＋c＝30.(1)求线段a，b，c的长；(2)若线段k是线段a，b的比例中项，求线段k的长．16．如图，直线l1∥l2∥l3，AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C，DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F，AC与DF交于点O.已知DE＝3，EF＝6，AB＝4.(1)求AC的长；(2)若OE：OF＝1：3，求OB：AB.四、(本大题共2小题，每小题8，共16)17．如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长都是1个单位，△ABC的顶点都在格点上．(1)以原点O为位似中心，在第三象限内画出将△ABC放大为原来的2倍后的位似图形△A1B1C1；(2)△A1B1C1的面积为______．18.已知：如图，AD是直角三角形ABC斜边上的中线，AE⊥AD，AE交CB的延长线于点E.求证：eq \f(AB,AC)＝eq \f(BE,AE).五、(本大题共2小题，每小题10，共20)19．如图，四边形ABCD是平行四边形，DE交BC于点F，交AB的延长线于点E，且∠EDB＝∠C.(1)求证：△ADE∽△DBE；(2)若BE＝16 cm，DE＝20 cm，求DC的长．20．汽车盲区是指驾驶员位于正常驾驶座位时(如图①)，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的那部分区域．小明在学习了交通安全知识后，对汽车盲区产生了兴趣．如图②，是他研究的一个汽车盲区的示意图，EB为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点P处与地面BE的距离为1.5 m，车宽AF＝1.8 m，车头FACD可近似看成一个矩形，且满足3DF＝2AF，求汽车盲区EB的长度．六、(本题共12)21．某校的数学拓展性课程班在进行知识拓展时，张老师由黄金分割点拓展到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部，这两部分的面积分别为S1，S2，如果eq \f(S1,S)＝eq \f(S2,S1)，那么称直线l为该图形的黄金分割线．如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，∠ACB的平分线交AB于点D.求证：直线CD是△ABC的黄金分割线．七、(本题共12)22．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10 cm，AC＝8 cm.动点N从点C出发，以每秒1 cm 的速度沿CB向终点B移动；同时，动点M从点B出发，以每秒2 cm的速度沿BA向终点A移动．两个动点中有一个到达终点即同时停止移动．连接MN，设移动时间为t(单位：s)．(1)当△BMN的面积为eq \f(36,5) cm2时，求t的值；(2)若以B，M，N为顶点的三角形与△ABC相似，求t的值．八、(本题共14)23．(1)【问题呈现】如图①，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE.求证：BD＝CE.(2)【类比探究】如图②，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°.连接BD，CE，则eq \f(BD,CE)＝________．(3)【拓展提升】如图③，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且eq \f(AB,BC)＝eq \f(AD,DE)＝eq \f(3,4).连接BD，CE.①求eq \f(BD,CE)的值；②延长CE交BD于点F，交AB于点G.若eq \f(BG,CG)＝eq \f(1,4)，AB＝6，求BF的长． 答案一、1.B　2.B　3.A　4.C　5.B　6.A　7.A　8.D9．D　10.B二、11.35　12.11　13.(3，2)或(－3，－2)14．(1)eq \f(5,2)　(2)eq \f(32,39)三、15.解：(1)设eq \f(a,2)＝eq \f(b,5)＝eq \f(c,3)＝m，则a＝2m，b＝5m，c＝3m，∵a＋b＋c＝30，∴2m＋5m＋3m＝30，解得m＝3，∴a＝2m＝2×3＝6，b＝5m＝5×3＝15，c＝3m＝3×3＝9.(2)∵线段k是线段a，b的比例中项，∴k2＝ab＝6×15＝90，解得k＝3eq \r(10)或k＝－3eq \r(10)(舍去)，∴线段k的长为3eq \r(10).16．解：(1)∵l1∥l2∥l3，∴DE∶DF＝AB∶AC，即3∶(3＋6)＝4∶AC，解得AC＝12.(2)∵l2∥l3，∴OB∶OC＝OE∶OF＝1∶3，∴OC＝3OB.∵AB＝4，AC＝12，∴BC＝8，∴OC＋OB＝8，∴4OB＝8，∴OB＝2，∴OB∶AB＝2∶4＝1∶2.四、17.解：(1)如图，△A1B1C1即为所求．(2)1418．证明：∵AE⊥AD，∴∠DAE＝∠BAC＝90°.∴∠DAE－∠BAD＝∠BAC－∠BAD，∴∠BAE＝∠DAC.∵AD是直角三角形ABC斜边上的中线，∴AD＝DC＝BD.∴∠C＝∠DAC.∴∠BAE＝∠C.又∵∠E＝∠E，∴△BAE∽△ACE.∴eq \f(AB,AC)＝eq \f(BE,AE).五、19.(1)证明：由四边形ABCD为平行四边形，可知∠A＝∠C.∵∠EDB＝∠C，∴∠A＝∠EDB，又∠E＝∠E，∴△ADE∽△DBE.(2)解：由(1)得△ADE∽△DBE，∴eq \f(DE,BE)＝eq \f(AE,DE)，∵BE＝16 cm，DE＝20 cm，∴AE＝25 cm，∴AB＝AE－BE＝9 cm.∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC＝AB＝9 cm.20．解：如图，过点P作PN⊥EB于点N，交AF于点M.∵3DF＝2AF，AF＝1.8 m，∴DF＝1.2 m.∵四边形ACDF是矩形，∴AF∥CD，∴PM⊥AF.易知DF＝MN＝1.2 m，∵PN＝1.5 m，∴PM＝PN－MN＝1.5－1.2＝0.3(m)．∵AF∥EB，∴△PAF∽△PBE，∴eq \f(AF,EB)＝eq \f(PM,PN)，∴eq \f(1.8,EB)＝eq \f(0.3,1.5)，∴EB＝9 m.六、21.证明：设△ABC中，AB边上的高为h，则S△ABC＝eq \f(1,2)AB·h，S△ACD＝eq \f(1,2)AD·h，S△BCD＝eq \f(1,2)BD·h，∴S△ACDS△ABC＝ADAB，S△BCDS△ACD＝BDAD.∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠B＝∠ACB＝72°.∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD＝36°，∴∠A＝∠ACD，∠CDB＝180°－∠B－∠BCD＝72°，∴AD＝CD，∠CDB＝∠B，∴BC＝CD.∴BC＝AD.在△BCD与△BAC中，∠B＝∠B，∠BCD＝∠A＝36°，∴△BCD∽△BAC，∴eq \f(BC,BA)＝eq \f(BD,BC)，∴eq \f(AD,AB)＝eq \f(BD,AD)，∴S△ACDS△ABC＝S△BCDS△ACD，∴直线CD是△ABC的黄金分割线．七、22.解：(1)如图，过点M作MD⊥BC于点D.根据题意得BM＝2t cm，NC＝t cm.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10 cm，AC＝8 cm，∴BC＝eq \r(AB2－AC2)＝eq \r(102－82)＝6(cm)．∴BN＝(6－t)cm.∵∠C＝90°，MD⊥BC，∴∠MDB＝∠ACB＝90°，∵∠MBD＝∠ABC，∴△BMD∽△BAC，∴eq \f(BM,BA)＝eq \f(MD,AC)，即eq \f(2t,10)＝eq \f(MD,8)，解得MD＝eq \f(8,5)t cm.∵S△BMN＝eq \f(1,2)BN·MD，∴eq \f(1,2)(6－t)×eq \f(8,5)t＝eq \f(36,5)，解得t1＝t2＝3，∴t的值为3.(2)分两种情况讨论：①当MN⊥BC时，Rt△MBN∽Rt△ABC，此时eq \f(BM,BA)＝eq \f(BN,BC)，即eq \f(2t,10)＝eq \f(6－t,6)，解得t＝eq \f(30,11)；②当MN⊥AB时，Rt△NBM∽Rt△ABC，此时eq \f(BM,BC)＝eq \f(BN,BA)，即eq \f(2t,6)＝eq \f(6－t,10)，解得t＝eq \f(18,13).综上所述，t的值为eq \f(30,11)或eq \f(18,13).八、23.(1)证明：∵△ABC和△ADE都是等边三角形，∴AD＝AE，AB＝AC，∠DAE＝∠BAC＝60°，∴∠DAE－∠BAE＝∠BAC－∠BAE，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD≌△CAE，∴BD＝CE.(2)eq \f(\r(2),2)(3)解：①设AB＝3a，∵eq \f(AB,BC)＝eq \f(AD,DE)＝eq \f(3,4)，∴BC＝4a，eq \f(AB,AD)＝eq \f(BC,DE).又∵∠ABC＝∠ADE＝90°，∴△ABC∽△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，eq \f(AB,AC)＝eq \f(AD,AE)，∴∠CAE＝∠BAD，∴△CAE∽△BAD，∴eq \f(BD,CE)＝eq \f(AB,AC).由勾股定理，得AC＝eq \r(AB2＋BC2)＝5a，∴eq \f(BD,CE)＝eq \f(AB,AC)＝eq \f(3,5).②∵AB＝6，eq \f(AB,AC)＝eq \f(3,5)，∴AC＝10.由①得△CAE∽△BAD，∴∠ACE＝∠ABD.又∵∠AGC＝∠BGF，∴△BGF∽△CGA，∴eq \f(BF,CA)＝eq \f(BG,CG)＝eq \f(1,4)，∴BF＝eq \f(BG,CG)·AC＝eq \f(5,2).