第22章 综合素质评价卷（含答案）2026-2027学年沪科版九年级数学上册

这是一份第22章 综合素质评价卷（含答案）2026-2027学年沪科版九年级数学上册，共15页。
第22章 综合素质评价 一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分) 1．下列图形一定是相似图形的是(　　) A．两个等腰三角形 B．两个面积相等的三角形 C．两个正方形 D．两个菱形 2．若2x＝5y(x，y≠0)，则下列式子中错误的是(　　) A.eq \f(y,x)＝eq \f(5,2) B.eq \f(y,x)＝eq \f(2,5) C.eq \f(x＋y,x)＝eq \f(7,5) D.eq \f(x－y,y)＝eq \f(3,2) 3．大自然巧夺天工，一片小树叶也蕴含着黄金分割(黄金比例为eq \f(\r(5)－1,2))，如图，P为AB的黄金分割点(AP＞PB)，如果AB的长度为10 cm，那么BP的长度是(　　) A．(15－5eq \r(5))cm B．(5eq \r(5)＋5)cm C．(15＋5eq \r(5))cm D．(5eq \r(5)－5)cm (第3题)　　　　　(第4题) 4．如图，AB∥CD∥EF，BE与AF相交于点H，且AH＝2HD＝eq \f(1,2)DF，则eq \f(BC,CE)的值为(　　) A．1 B.eq \f(3,4) C.eq \f(2,3) D.eq \f(5,6) 5．如图，美工组用机械臂绘图时，对平面直角坐标系中的菱形ABCD执行了两步操作：先以O为位似中心将菱形放大为原来的2倍，然后拖动放大后的菱形平移，得到菱形A′B′C′D′.已知A(－5，0)，D(0，6)，C′(8，－2)，若菱形ABCD内部一点F经过上述操作后得到的对应点F′与它本身重合，则点F的坐标是(　　) A．(2，2) B．(1，1) C．(－1，2) D．(2，1) (第5题)　　　　　(第6题) 6．如图，在△ABC中，∠A＝76°，AB＝8，AC＝6，将△ABC沿选项中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是(　　) 7．如图，△OAB∽△OCD，OAOC＝53，△OAB与△OCD的面积分别是S1与S2，周长分别是C1与C2，则下列说法正确的是(　　) A.eq \f(C1,C2)＝eq \f(5,3) B.eq \f(S1,S2)＝eq \f(5,3) C.eq \f(OB,CD)＝eq \f(5,3) D.eq \f(OA,OD)＝eq \f(5,3) (第7题)　　(第8题) 　　　　 8．图①是机场常用的一种圆锥形直饮水杯，这种设计是为了方便清洁和节省存储空间，小明画出这种纸杯的截面图如图②所示，其中点O为杯底顶点，AB，CD分别表示杯口、水面，OA＝OB，CD∥AB.若杯中水的高度是杯子高度的80%，则水的体积与杯子容积的比最接近于(　　) A．80% B．70% C．64% D．50% 9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，翻折∠B，使点B落在直角边AC上某一点D处，折痕为EF，点E，F分别在边BC，AB上，若△CDE与△ABC相似，则CE的长为(　　) 　 (第9题) A.eq \f(16,9) B.eq \f(3,4) C.eq \f(3,4)或eq \f(16,9) D.eq \f(3,2)或eq \f(16,9) 10．如图，在△ABC中，CB＝CA，∠ACB＝90°，点D在边BC上(与点B，C不重合)，四边形ADEF为正方形，过点F作FG⊥CA，交CA的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q.下列结论：①AC＝FG；②S△FABS四边形CBFG＝12；③∠ABC＝∠ABF；④AD2＝FQ·AC，其中结论正确的序号是(　　 ) A．①②④ B．①②③ C．①②③④ D．②③④ (第10题)　　　　　　　　(第12题) 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分) 11.钓鱼岛列岛是我国最早发现、命名，并行使主权的群岛，在一幅比例尺是1100 000的地图上，测得钓鱼岛的东西走向长为3.6厘米，那么它的东西走向实际长大约为________千米． 12．如图，在▱ABCD中，E是AD上一点，DE＝2AE，CE，BA的延长线相交于点F，若AB＝2，则AF＝________． 13.已知eq \f(y＋z,x)＝eq \f(z＋x,y)＝eq \f(x＋y,z)(xyz≠0)，则eq \f(x＋y＋z,x－y＋z)的值为________． 14．如图，△ABC∽△ADE，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝9，AC＝12，D是线段BC上的动点，从点B运动到点C.请探究下列问题： (1)当BD＝2时，CE＝________； (2)设P为线段DE的中点，在点D运动的过程中，CP的最小值是________． 三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分) 15．已知a，b，c是△ABC的三边，且满足eq \f(a＋1,3)＝eq \f(b－4,4)＝eq \f(c＋3,8)，a＋b＋c＝30，试判断△ABC的形状，并说明理由． 16．如图，AB∥CD，AD⊥BC于点O，OA＝6，OD＝9，BC＝10，求CD的长． 四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分) 17.西安大雁塔作为现存最早、规模最大的唐代四方楼阁式砖塔，是佛塔这种古印度佛寺的建筑形式随佛教传入中原地区，并融入华夏文化的典型物证，是凝聚了中国古代劳动人民智慧结晶的标志性建筑．小明同学想利用所学数学知识来测量大雁塔的高度，如图，小明在点B处放置一个平面镜，站在A处恰好能从平面镜中看到塔的顶端D，此时测得小明到镜面的距离AB为2米，已知平面镜到塔底部中心的距离BC为86米，小明眼睛到地面的距离AE为1.5米，已知AE⊥AC，CD⊥AC，点A，B，C在一条水平线上．请你帮小明计算出大雁塔的高度CD.(平面镜的大小忽略不计) 18.如图，已知AE为∠BAC的平分线，ED∥CA，若BE＝2，EC＝3，AC＝4，求AD的长． 五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分) 19．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(2，2)，B(4，1)，C(1，5)． (1)以点O为位似中心，在第一象限将△ABC放大为原来的2倍，得到△A1B1C1，请在网格中画出△A1B1C1； (2)若点P(x，y)是△ABC内任意一点，点P在△A1B1C1内的对应点为P1，则点P1的坐标为________； (3)请用无刻度直尺将线段AB三等分． 20.阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的问题． 角平分线分线段成比例定理，如图①，在△ABC中，AD平分∠BAC，则eq \f(AB,AC)＝eq \f(BD,CD).下面是这个定理的部分证明过程． 证明：如图②，过C作CE∥DA，交BA的延长线于点E…… 任务： (1)请按照上面的证明思路，写出该证明的全部过程； (2)如图③，已知在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，AD平分∠BAC，则△ABD的周长是__________． 六、(本题满分12分) 21.如图，一次函数y＝ax＋b与反比例函数y＝eq \f(k,x)的图象相交于A(1，4)，B(4，m)两点，与x轴交于点C，点D与点A关于点O对称，连接AD. (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)点P在x轴的负半轴上，连接PD，若△AOC与△POD相似，求点P的坐标． 七、(本题满分12分) 22.某课本中有一道作业题：有一块三角形余料ABC，如图①，它的边BC＝12 m，高线AD＝8 m．要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．问加工成的正方形零件的边长为多少米？小颖解得此题的答案为4.8 m. (1)你知道小颖是怎么做的吗？请你写出解答过程． (2)善于反思，她又提出了如下的问题，如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图②，这样此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长． (3)如图③，如果将这块余料的形状改为Rt△ABC，已知∠A＝90°，AB＝8 m，AC＝6 m，要把它加工成一个形状为平行四边形PQMN的工件，使QM在BC上，P，N两点分别在AB，AC上，且PN＝8 m，则平行四边形PQMN的面积为________m2. 八、(本题满分14分) 23．【问题背景】如图①，在矩形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，连接BD，EF，求证：△BCD∽△FBE； 【问题探究】如图②，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝90°，点E是AB的中点，点F在边BC上，AD＝2CF，EF与BD交于点G，求证：BG＝FG； 【问题拓展】如图③，在“问题探究”的条件下，连接AG，AD＝CD，AG＝FG，直接写出eq \f(EG,GF)的值． 答案 一、1.C　2.A　3.A　4.B　5.A　6.C　7.A　 8．D　【点拨】设杯子的高度为h，则杯中水的高度为eq \f(4,5)h.∵CD∥AB，∴△OCD∽△OAB.∴eq \f(CD,AB)＝eq \f(\f(4,5)h,h)＝eq \f(4,5).∴CD＝eq \f(4,5)AB.∴V水＝eq \f(1,3)πeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(CD,2)))eq \s\up12(2)·eq \f(4,5)h＝eq \f(1,3)π·eq \f(4,25)AB2·eq \f(4,5)h，V杯＝eq \f(1,3)πeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(AB,2)))eq \s\up12(2)·h＝eq \f(1,3)π·eq \f(1,4)AB2·h.∴eq \f(V水,V杯)＝eq \f(\f(1,3)π·\f(4,25)AB2·\f(4,5)h,\f(1,3)π·\f(1,4)AB2·h)＝eq \f(64,125)＝0.512≈50%.故选D. 9．D　【点拨】∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，翻折∠B，使点B落在直角边AC上某一点D处， ∴AB＝5，BE＝DE，BE＝4－CE. 当△CDE∽△CBA时，eq \f(CE,CA)＝eq \f(DE,BA)， ∴eq \f(CE,3)＝eq \f(4－CE,5)，解得CE＝eq \f(3,2)； 当△CDE∽△CAB时，eq \f(CE,CB)＝eq \f(DE,AB)， ∴eq \f(CE,4)＝eq \f(4－CE,5)，解得CE＝eq \f(16,9). 综上所得，CE的长为eq \f(3,2)或eq \f(16,9). 10．C　【点拨】∵四边形ADEF为正方形，∴∠FAD＝90°，AD＝AF＝EF，∴∠CAD＋∠FAG＝90°. ∵FG⊥CA，∴∠G＝90°＝∠ACB，∴易知∠CAD＝∠AFG.在△FGA和△ACD中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠G＝∠C，,∠AFG＝∠CAD，,AF＝AD，)) ∴△FGA≌△ACD，∴AC＝FG，故①正确；∵BC＝AC，∴FG＝BC.∵∠ACB＝90°，FG⊥CA，∴FG∥BC，∴四边形CBFG是矩形，∴∠CBF＝90°，∴S△FAB＝eq \f(1,2)FB·FG＝eq \f(1,2)S四边形CBFG，∴S△FABS四边形CBFG＝12，故②正确；∵CA＝CB，∠C＝∠CBF＝90°，∴∠ABC＝∠ABF＝45°，故③正确；∵∠BDQ＋∠ADC＝∠BQD＋∠BDQ＝90°，∴∠ADC＝∠BQD.∵∠FQE＝∠DQB，∴∠FQE＝∠ADC.∵∠E＝∠C＝90°，∴△ACD∽△FEQ，∴ACAD＝FEFQ，∴AD·FE＝AD2＝FQ·AC，故④正确．∴正确的有①②③④.故选C. 二、11.3.6　12.1 13．3或0　【点拨】设eq \f(y＋z,x)＝eq \f(z＋x,y)＝eq \f(x＋y,z)＝k. ∴y＋z＝xk，z＋x＝yk，x＋y＝zk. ∴2x＋2y＋2z＝xk＋yk＋zk. ∴2(x＋y＋z)＝k(x＋y＋z)． 分两种情况： 当x＋y＋z≠0时，k＝2，∴x＋z＝2y. ∴eq \f(x＋y＋z,x－y＋z)＝eq \f(2y＋y,2y－y)＝3； 当x＋y＋z＝0时，eq \f(x＋y＋z,x－y＋z)＝0. 综上所述，eq \f(x＋y＋z,x－y＋z)的值为3或0. 14．(1)eq \f(8,3)　(2)6　【点拨】(1)∵△ABC∽△ADE， ∴eq \f(AB,AD)＝eq \f(AC,AE).∴eq \f(AB,AC)＝eq \f(AD,AE).∵∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAD＝∠CAE. ∴△BAD∽△CAE.∴eq \f(BD,CE)＝eq \f(AB,AC)＝eq \f(9,12). 又∵BD＝2，∴CE＝eq \f(8,3). (2)∵△BAD∽△CAE， ∴∠ABD＝∠ACE. ∵∠BAC＝90°，∴∠ABD＋∠ACB＝90°. ∴∠ACE＋∠ACB＝90°，即∠DCE＝90°. ∵P为线段DE的中点，∴CP＝eq \f(1,2)DE. ∵△ABC∽△ADE， ∴当AD的值最小时，DE的值最小，此时CP的值最小． ∵AB＝9，AC＝12，∠BAC＝90°， ∴BC＝eq \r(AB2＋AC2)＝eq \r(92＋122)＝15. 根据垂线段最短可知，当AD⊥BC时，AD的值最小，此时AD＝eq \f(9×12,15)＝eq \f(36,5). 易知eq \f(AB,AD)＝eq \f(BC,DE)，∴DE＝12. ∴CP的最小值为eq \f(1,2)×12＝6. 三、15.【解】△ABC 是直角三角形，理由： 设eq \f(a＋1,3)＝eq \f(b－4,4)＝eq \f(c＋3,8)＝k， 则 a＝3k－1，b＝4k＋4，c＝8k－3. ∵ a＋b＋c＝30， ∴3k－1＋4k＋4＋8k－3＝30.∴ k＝2. ∴a＝5，b＝12，c＝13. ∴a2＋b2＝c2.∴△ABC是直角三角形． 16．【解】∵AB∥CD，∴△ABO∽△DCO. ∴eq \f(OA,OD)＝eq \f(OB,OC).∴eq \f(6,9)＝eq \f(10－OC,OC)，解得OC＝6. ∵AD⊥BC，∴△COD为直角三角形． ∴OC2＋OD2＝CD2. ∴CD＝eq \r(62＋92)＝3eq \r(13). 四、17.【解】由题意得∠EBA＝∠DBC. ∵EA⊥AC，DC⊥AC， ∴∠EAB＝∠DCB＝90°.∴△DCB∽△EAB. ∴eq \f(AE,CD)＝eq \f(AB,CB).∴eq \f(1.5,CD)＝eq \f(2,86).∴CD＝64.5米． ∴大雁塔的高度CD为64.5米． 18．【解】∵AE为∠BAC的平分线， ∴∠DAE＝∠EAC. ∵ED∥CA，∴∠DEA＝∠EAC. ∴∠DAE＝∠DEA.∴ED＝AD. ∵ED∥CA，∴△BED∽△BCA.∴eq \f(BE,BC)＝eq \f(ED,CA). ∵BE＝2，EC＝3，AC＝4， ∴eq \f(2,2＋3)＝eq \f(ED,4).∴ED＝eq \f(8,5).∴AD＝eq \f(8,5). 五、19.【解】(1)如图，△A1B1C1即为所求． (2)(2x，2y) (3)如图，点G，H 将线段AB三等分． 20．(1)【证明】如题图②，过C作CE∥DA，交BA的延长线于点E. ∵CE∥AD， ∴eq \f(BD,CD)＝eq \f(BA,EA)，∠DAC＝∠ACE，∠BAD＝∠E. ∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD. ∴∠ACE＝∠E. ∴AE＝AC.∴eq \f(AB,AC)＝eq \f(BD,CD). (2)eq \f(9＋3\r(5),2)　【点拨】∵AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°， ∴AC＝5. ∵AD平分∠BAC， ∴eq \f(AC,AB)＝eq \f(CD,BD)，即eq \f(5,3)＝eq \f(4－BD,BD).∴BD＝eq \f(3,2). ∴AD＝eq \r(BD2＋AB2)＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))\s\up12(2)＋32)＝eq \f(3\r(5),2). ∴△ABD的周长＝eq \f(3,2)＋3＋eq \f(3\r(5),2)＝eq \f(9＋3\r(5),2). 六、 21.【解】(1)把点A(1，4)的坐标代入反比例函数y＝eq \f(k,x)中，得k＝4， ∴反比例函数的表达式为y＝eq \f(4,x). 把点B(4，m)的坐标代入y＝eq \f(4,x)中，得m＝1， ∴B(4，1)． 把点A(1，4)，B(4，1)的坐标代入y＝ax＋b中， 得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋b＝4，,4a＋b＝1，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝5，)) ∴一次函数的表达式为y＝－x＋5. (2)令y＝－x＋5＝0，则x＝5，∴C(5，0)． ∵点D与点A关于点O对称，A(1，4)， ∴D(－1，－4)． 设点P的坐标为(x，0)(x