期末 综合素质评价卷（含答案）2026-2027学年沪科版九年级数学上册

这是一份期末 综合素质评价卷（含答案）2026-2027学年沪科版九年级数学上册，共17页。
期末 综合素质评价 一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分) 1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，则cosB＝(　　) A.eq \f(5,13) B.eq \f(12,13) C.eq \f(5,12) D.eq \f(13,5) 2．抛物线y＝2x2＋36x＋159的顶点坐标是(　　) A．(9，3) B．(9，－3) C．(－9，3) D．(－9，－3) 3.如图，直线AD∥BE∥CF，DE＝2，EF＝4.若AC＝9，则BC的长为(　　) A．5 B．5.5 C．6 D．6.5 (第3题)　(第5题)　　(第6题) 4．合肥园博园正式对外全面开放，主办方精心筹建的舞台展区深受广大游客的青睐，其中某两个展区入口之间的距离为155米，在一张比例尺为1：2 000的导游图上，它们之间的距离大约相当于(　　) A．一支粉笔的长度 B．数学课本的长度 C．一把家用扫帚的长度 D．课桌的宽度 5．如图，在△ABC中，点D，E分别为边AB，AC的中点．下列结论中，错误的是(　　) A．DE∥BC B．△ADE∽△ABC C．BC＝2DE D．S△ADE＝eq \f(1,2)S△ABC 6.雁门关，位于山西省忻州市雁门山中，是长城上的重要关隘，以“险”著称，被誉为“中华第一关”．由于地理环境特殊，行车高速路上的隧道较多，如图是雁门关隧道的截面示意图，线段OA表示水平的路面，以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，以过点O且垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．经测量OA＝10 m，抛物线的顶点P到OA的距离为9 m，则抛物线的函数表达式为(　　) A．y＝－eq \f(1,9)(x＋5)2 B．y＝－eq \f(1,25)(x－5)2 C．y＝－eq \f(1,25)(x＋5)2＋9 D．y＝－eq \f(9,25)(x－5)2＋9 7．已知二次函数y＝ax2＋(2a－3)x＋a－1(x是自变量)的图象经过第一、二、四象限，则实数a的取值范围为(　　) A．1≤a＜eq \f(9,8) B．0＜a＜eq \f(3,2) C．0＜a＜eq \f(9,8) D．1≤a＜eq \f(3,2) 8.如果三角形有一边上的中线长等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”．若Rt△ABC是“好玩三角形”且∠A＝90°，则tan∠ABC＝(　　) A.eq \f(\r(3),2) B.eq \f(\r(3),3) C.eq \f(\r(3),2)或eq \f(2\r(3),3) D.eq \f(\r(3),2)或eq \f(\r(3),3) 9．已知反比例函数y＝eq \f(k,x)的部分图象与一次函数 y＝－x＋b 的图象如图所示，则函数 y＝x2－bx＋k－1 的大致图象为(　　) eq \a\vs4\al() 10．如图，在正方形ABCD中，AC与BD交于点O，H为AB延长线上的一点，且BH＝BD，连接DH，分别交AC，BC于点E，F，连接BE，则下列结论：①eq \f(CF,BF)＝eq \f(\r(3),2)；②tan H＝eq \r(3)－1；③BE平分∠CBD；④2AB2＝DE·DH.其中正确的结论有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 (第10题)　(第13题)(第14题) 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分) 11．已知△ABC中，∠A＝90°，tan B＝eq \f(1,2)，则sin C＝________． 12．若抛物线y＝x2－6mx＋6m2＋5m＋3的顶点在直线y＝x＋2上，则m的值为________． 13．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝－x与双曲线y＝eq \f(k,x)(x＜0)交于点A，点B，C分别是x轴、y轴上的点，且∠BAC＝90°，若四边形OBAC的面积为5，则k＝________． 14.如图，在正方形ABCD中，AB＝4，M为BC的中点，点N在射线AD上，过点N作NE⊥AM于点E，连接MN，请探究下列各题： (1)eq \f(AE,AN)＝________； (2)当△MEN与△ABM相似时，AN＝________． 三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分) 15．计算：2sin 60°－3tan 30°－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))eq \s\up12(0)＋(－1)2 025. 16．如图，△ABC的顶点都在网格点上，点A的坐标为(－1，3)． (1)以点O为位似中心，把△ABC按21放大，在y轴的左侧画出放大后的△DEF； (2)点A的对应点D的坐标是________； (3)S△ABO:S四边形ABED＝________． 四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分) 17．如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴、y轴的交点分别为(1，0)和(0，－3)． (1)求此二次函数的表达式； (2)结合函数图象，直接写出当y＞－3时，x的取值范围． 18．如图，F为四边形ABCD的边CD上的一点，连接AF并延长，交BC的延长线于点E，已知∠DAE＝∠E. (1)求证：△ADF∽△ECF； (2)若CF＝2，AF＝2EF，则DC的长为________． 五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分) 19．如图，一次函数y1＝kx＋b(k≠0)的图象与反比例函数y2＝eq \f(m,x)(m≠0)的图象相交于A(1，3)，B(n，－1)两点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)根据图象直接写出y1＞y2时，x的取值范围； (3)过点B作直线OB，交反比例函数的图象于点C，连接AC，求△ABC的面积． 20. 综合与实践活动中，要用测角仪测量天津站附近世纪钟建筑AB的高度(如图①)． 某学习小组设计了一个方案：如图②所示，点A，E，C依次在同一条水平直线上，CD⊥AC，EF⊥AC，且CD＝EF＝1.7 m．在D处测得世纪钟建筑顶部B的仰角为22°，在F处测得世纪钟建筑顶部B的仰角为31°，CE＝32 m．根据该学习小组测得的数据，计算世纪钟建筑AB的高度(结果取整数)． 参考数据：tan 22°≈0.4，tan 31°≈0.6. 六、(本题满分12分) 21．某公司销售一批产品，经市场调研发现，当销售量在0.4吨至3.5吨之间时，销售额y1(万元)与销售量x(吨)的函数表达式为y1＝5x；成本y2(万元)与销售量x(吨)的函数图象是如图所示的抛物线的一部分，其中eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(7,4)))是其顶点． (1)求出成本y2关于销售量x的函数表达式． (2)当成本最低时，销售产品所获利润是多少？ (3)当销售量是多少吨时，可获得最大利润？最大利润是多少？ (注：利润＝销售额－成本) 七、(本题满分12分) 22．如图①，▱ABCD的对角线AC与BD交于点O，点M，N分别在边AD，BC上，且AM＝CN.点E，F分别是BD与AN，CM的交点． (1)求证：OE＝OF； (2)连接BM交AC于点H，连接HE，HF. (ⅰ)如图②，若HE∥AB，求证：HF∥AD； (ⅱ)如图③，若▱ABCD为菱形，且MD＝2AM，∠EHF＝60°，求eq \f(AC,BD)的值． 八、(本题满分14分) 23．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过(0，－3)，(－b，c)两点，其中a，b，c为常数，且ab＞0. (1)求a，c的值． (2)若该二次函数的最小值是－4，且它的图象与x轴交于点A，B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C. ①求该二次函数的表达式和点A，B的坐标． ②如图，在y轴左侧该二次函数的图象上有一动点P，过点P作x轴的垂线，垂足为D，与直线AC交于点E，连接PC，CB，BE.是否存在点P，使eq \f(S△PCE,S△CBE)＝eq \f(3,8)？若存在，求此时点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 答案 一、1.B　2.D　3.C　4.A　5.D　6.D　 7．A　【点拨】设抛物线与x轴两个交点的横坐标分别为x1，x2，由题意可得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ＝（2a－3）2－4a（a－1）＞0，,x1＋x2＝－\f(2a－3,a)＞0，,x1·x2＝\f(a－1,a)≥0，,a＞0，))解得1≤a＜eq \f(9,8). 故选A. 8．C　【点拨】①如图①. 在Rt△ABC中，∠A＝90°，CE是△ABC的中线， 设AB＝EC＝2a，则AE＝a，∴AC＝eq \r(3)a， ∴tan∠ABC＝eq \f(AC,AB)＝eq \f(\r(3),2)； ②如图②. 在Rt△ABC中，∠A＝90°，BE是△ABC的中线， 设EB＝AC＝2a，则AE＝a，∴AB＝eq \r(3)a， ∴tan∠ABC＝eq \f(AC,AB)＝eq \f(2\r(3),3). 综上所述，tan∠ABC＝eq \f(\r(3),2)或eq \f(2\r(3),3). 　　　 9．B　【点拨】∵一次函数y＝－x＋b的图象与y轴交于正半轴， ∴b>0. 又∵函数 y＝x2－bx＋k－1的图象的对称轴为直线x＝eq \f(b,2)，∴函数y＝x2－bx＋k－1的图象的对称轴在y轴右侧． ∵反比例函数y＝eq \f(k,x)与一次函数 y＝－x＋b 的图象有两个交点， ∴方程eq \f(k,x)＝－x＋b 有两个不相等的实数根， 即方程x2－bx＋k＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝b2－4k＞0. ∴对于方程x2－bx＋k－1＝0 ，Δ＝b2－4k＋4＞0. ∴函数 y＝x2－bx＋k－1 的图象与x轴有两个交点．故选B. 10．B　【点拨】设AB＝a，在正方形ABCD中，AB∥CD，AB＝BC＝CD＝AD＝a，∠BAD＝90°，∠ABD＝∠CBD＝45°，AC与BD互相垂直且平分， ∴BD＝eq \r(AB2＋AD2)＝eq \r(2)AB＝eq \r(2)a. ∴BH＝BD＝eq \r(2)a.∴AH＝(eq \r(2)＋1)a. ∴tan H＝eq \f(AD,AH)＝eq \f(a,（\r(2)＋1）a)＝eq \r(2)－1，故②不正确； ∵AB∥CD， ∴△DCF∽△HBF. ∴eq \f(CF,BF)＝eq \f(CD,BH)＝eq \f(a,\r(2)a)＝eq \f(\r(2),2)，故①不正确； ∵BH＝BD，∴∠H＝∠BDH. ∵∠H＋∠BDH＝∠ABD＝45°， ∴∠H＝∠BDH＝22.5°. 又∵AC与BD互相垂直且平分，∴DE＝BE. ∴∠DBE＝∠BDE＝22.5°. ∴∠CBE＝∠CBD－∠DBE＝22.5°. ∴∠DBE＝∠CBE. ∴BE平分∠CBD.故③正确； 由上可知，∠DBE＝∠H＝22.5°. 又∵∠BDE＝∠HDB， ∴△BDE∽△HDB.∴eq \f(BD,DH)＝eq \f(DE,BD). ∴BD2＝DE·DH. 又∵BD＝eq \r(2)AB，∴2AB2＝DE·DH，故④正确． 综上，正确的有③④，共2个．故选B. 二、11.eq \f(2\r(5),5)　 12．1或－eq \f(1,3)　【点拨】∵y＝x2－6mx＋6m2＋5m＋3，∴对称轴为直线x＝－eq \f(－6m,2×1)＝3m.把x＝3m代入y＝x2－6mx＋6m2＋5m＋3，得y＝－3m2＋5m＋3，即顶点坐标为(3m，－3m2＋5m＋3)．∵抛物线的顶点在直线y＝x＋2上，∴－3m2＋5m＋3＝3m＋2，整理得3m2－2m－1＝0，∴m1＝1，m2＝－eq \f(1,3)，故答案为1或－eq \f(1,3). 13．－5　【点拨】过点A分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为M，N. ∵点A在直线y＝－x上， ∴易得AM＝AN. 又∵AM⊥x轴，AN⊥y轴，∠MON＝90°， ∴四边形AMON是正方形．∴∠MAN＝90°. ∴∠MAC＋∠CAN＝90°. ∵∠BAC＝90°，∴∠BAM＋∠MAC＝90°. ∴∠BAM＝∠CAN. 又∵AM＝AN，∠AMB＝∠ANC＝90°， ∴△ABM≌△ACN.∴S△ABM＝S△ACN. ∴S正方形OMAN＝S四边形OBAC＝5. ∴k＝－5. 14．(1)eq \f(\r(5),5)　(2)2或5 【点拨】(1)∵四边形ABCD是正方形，AB＝4， ∴AB＝BC＝4，BC∥AD，∠B＝90°. ∵点M是BC的中点，∴BM＝2， ∴AM＝eq \r(AB2＋BM2)＝eq \r(16＋4)＝2eq \r(5). ∵BC∥AD，∴∠BMA＝∠MAN. ∴cos∠MAN＝cos∠BMA＝eq \f(BM,AM)＝eq \f(2,2\r(5))＝eq \f(\r(5),5). ∵EN⊥AM， ∴eq \f(AE,AN)＝cos∠MAN＝eq \f(\r(5),5). (2)∵EN⊥AM，∴∠MEN＝90°＝∠B. 当∠BMA＝∠EMN时，△ABM∽△NEM， ∴∠EMN＝∠MAN，∴AN＝MN. ∵EN⊥AM，∴AE＝eq \r(5). ∵eq \f(AE,AN)＝eq \f(\r(5),5)，∴AN＝5； 当∠BAM＝∠EMN时，△ABM∽△MEN， ∴AB∥MN. 又∵BC∥AD， ∴四边形ABMN是平行四边形，∴AN＝BM＝2. 综上所述，AN的长为2或5. 三、15.【解】原式＝2×eq \f(\r(3),2)－3×eq \f(\r(3),3)－1－1 ＝eq \r(3)－eq \r(3)－1－1 ＝－2. 16．【解】(1)如图，△DEF即为所求． (2)(－2，6)　(3)13 四、17.【解】(1)∵二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴、y轴的交点分别为(1，0)和(0，－3)， ∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＋b＋c＝0，,c＝－3，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝2，,c＝－3，)) ∴此二次函数的表达式为y＝x2＋2x－3. (2)当y＞－3时，x的取值范围是x＜－2或x＞0. 18．(1)【证明】∵∠DAE＝∠E，∠DFA＝∠CFE， ∴△ADF∽△ECF. (2)6　【点拨】由(1)知△ADF∽△ECF，∴eq \f(AF,EF)＝eq \f(DF,CF). ∵CF＝2，AF＝2EF，∴eq \f(2EF,EF)＝eq \f(DF,2)，解得DF＝4. ∴DC＝DF＋CF＝4＋2＝6. 五、19.【解】(1)把A(1，3)的坐标代入y2＝eq \f(m,x)，得3＝eq \f(m,1)， ∴m＝3，∴反比例函数的表达式为y2＝eq \f(3,x). 把B(n，－1)的坐标代入y2＝eq \f(3,x)，得－1＝eq \f(3,n)， ∴n＝－3，∴B(－3，－1)． 把A(1，3)，B(－3，－1)的坐标分别代入y1＝kx＋b，得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3＝k＋b，,－1＝－3k＋b，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝1，,b＝2，)) ∴一次函数的表达式为y1＝x＋2. (2)当y1＞y2时，x的取值范围为－3＜x＜0或x＞1. (3)如图，设直线y1＝x＋2与y轴相交于点D，过点A作AM⊥x轴于点M，过点C作CN⊥x轴于点N，则D(0，2)，∴OD＝2. ∵A(1，3)，∴AM＝3，OM＝1. ∵点B，C关于原点对称， ∴C(3，1)． ∴CN＝1，ON＝3. ∴MN＝3－1＝2. ∴S△ABC＝S△BOD＋S梯形ADOM＋S梯形AMNC－S△CON＝eq \f(1,2)×2×3＋eq \f(1,2)×(2＋3)×1＋eq \f(1,2)×(1＋3)×2－eq \f(1,2)×3×1＝8，即△ABC的面积为8. 20．【解】如图，延长DF与AB相交于点G， 根据题意，可得DG∥CA，∠GDB＝22°，∠GFB＝31°， ∴易得∠DGB＝90°，AG＝EF＝CD＝1.7 m，DF＝CE＝32 m. 在Rt△FGB中，tan∠GFB＝eq \f(GB,GF)，∴GF＝eq \f(GB,tan 31°)， 在Rt△DGB中，tan∠GDB＝eq \f(GB,GD)，∴GD＝eq \f(GB,tan 22°). ∵GF＋DF＝GD，∴eq \f(GB,tan 31°)＋32＝eq \f(GB,tan 22°). ∴GB≈38.4 m. ∴AB＝AG＋GB≈1.7＋38.4≈40(m)． ∴世纪钟建筑AB的高度约为40 m. 六、21.【解】(1)设成本y2关于销售量x的函数表达式为y2＝aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋eq \f(7,4)， 把(2，4)代入，得eq \f(9,4)a＋eq \f(7,4)＝4，解得a＝1， ∴成本y2关于销售量x的函数表达式为y2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋eq \f(7,4). (2)由题意得，成本最低为eq \f(7,4)万元，此时销售量为eq \f(1,2)吨． 当x＝eq \f(1,2)时，y1＝5x＝5×eq \f(1,2)＝2.5. ∴当成本最低时，销售产品所获利润是2.5－eq \f(7,4)＝0.75(万元)． (3)设利润为W万元， 则W＝y1－y2＝5x－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq \s\up12(2)－eq \f(7,4)＝－x2＋6x－2， 当x＝－eq \f(6,2×（－1）)＝3时，可获得最大利润， 最大利润为－32＋6×3－2＝7(万元)． 答：当销售量是3吨时，可获得最大利润，最大利润是7万元． 七、22.(1)【证明】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，OA＝OC. 又∵AM＝CN，∴四边形AMCN是平行四边形． ∴AN∥CM，∴∠OAE＝∠OCF. 在△AOE和△COF中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠OAE＝∠OCF，,OA＝OC，,∠AOE＝∠COF，)) ∴△AOE≌△COF.∴OE＝OF. (2)(ⅰ)【证明】∵HE∥AB，∴eq \f(OH,OA)＝eq \f(OE,OB). 又∵OE＝OF，易得OB＝OD，∴eq \f(OH,OA)＝eq \f(OF,OD). ∵∠HOF＝∠AOD，∴△HOF∽△AOD. ∴∠OHF＝∠OAD.∴HF∥AD. (ⅱ)【解】∵▱ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA＝OC＝eq \f(1,2)AC，OB＝OD＝eq \f(1,2)BD，AD＝BC. 又∵OE＝OF，∠EHF＝60°， ∴∠EHO＝∠FHO＝30°，∴OH＝eq \r(3)OE. ∵AM∥BC，∴△AHM∽△CHB. 又∵MD＝2AM，∴eq \f(AH,HC)＝eq \f(AM,BC)＝eq \f(AM,AD)＝eq \f(1,3)，即HC＝3AH， ∴OA＋OH＝3(OA－OH)，∴OA＝2OH. ∵BN∥AD， ∴△BNE∽△DAE. 又∵MD＝2AM，AM＝CN，AD＝BC， ∴eq \f(BE,ED)＝eq \f(BN,AD)＝eq \f(2,3)，即3BE＝2ED， ∴3(OB－OE)＝2(OB＋OE)，∴OB＝5OE. ∴eq \f(AC,BD)＝eq \f(OA,OB)＝eq \f(2OH,5OE)＝eq \f(2×\r(3)OE,5OE)＝eq \f(2\r(3),5). 八、23.【解】(1)∵二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过(0，－3)，(－b，c)两点， ∴c＝－3，(0，－3)和(－b，c)关于对称轴x＝－eq \f(b,2a)对称， ∴eq \f(0－b,2)＝－eq \f(b,2a). ∵b≠0，∴a＝1.∴a＝1，c＝－3. (2)①∵a＝1，c＝－3， ∴y＝x2＋bx－3. ∴y最小值＝eq \f(－12－b2,4)＝－4，∴b＝±2. 又∵ab＞0，且a＞0，∴b＞0，∴b＝2， ∴该二次函数的表达式为y＝x2＋2x－3. 当y＝0时，x2＋2x－3＝0，解得x1＝－3，x2＝1， ∴A(－3，0)，B(1，0)． ②存在点P，使eq \f(S△PCE,S△CBE)＝eq \f(3,8).易得点C的坐标为(0，－3)．设直线AC的表达式为y＝k1x＋b1， 则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－3k1＋b1＝0，,b1＝－3，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k1＝－1，,b1＝－3，)) ∴直线AC的表达式为y＝－x－3. 设P(m，m2＋2m－3)． 当点P在点A右侧，即－3＜m＜0时，过点C作CF⊥PD于点F，如图①， 则E(m，－m－3)，D(m，0)，点F的横坐标为m， ∴PE＝(－m－3)－(m2＋2m－3)＝－m2－3m，CF＝0－m＝－m， ∴S△PCE＝eq \f(1,2)PE·CF＝eq \f(1,2)(－m2－3m)·(－m)＝eq \f(1,2)m3＋eq \f(3,2)m2. ∵AB＝1－(－3)＝4，OC＝3，DE＝－(－m－3)＝m＋3， ∴S△CBE＝S△ABC－S△ABE＝eq \f(1,2)AB·OC－eq \f(1,2)AB·DE＝eq \f(1,2)×4×3－eq \f(1,2)×4×(m＋3)＝－2m. ∵eq \f(S△PCE,S△CBE)＝eq \f(3,8)， ∴eq \f(\f(1,2)m3＋\f(3,2)m2,－2m)＝eq \f(3,8)，解得m1＝eq \f(－3＋\r(3),2)，m2＝eq \f(－3－\r(3),2). ∴点P的横坐标为eq \f(－3＋\r(3),2)或eq \f(－3－\r(3),2)； 　　 当点P在点A左侧，即m＜－3时，过点C作CF⊥PD交PD的延长线于点F，如图②， 则E(m，－m－3)，D(m，0)，点F的横坐标为m， ∴PE＝(m2＋2m－3)－(－m－3)＝m2＋3m，CF＝0－m＝－m， ∴S△PCE＝eq \f(1,2)PE·CF＝eq \f(1,2)(m2＋3m)·(－m)＝－eq \f(1,2)m3－eq \f(3,2)m2. ∵AB＝1－(－3)＝4，OC＝3，DE＝－m－3， ∴S△CBE＝S△ABC＋S△ABE＝eq \f(1,2)AB·OC＋eq \f(1,2)AB·DE＝eq \f(1,2)×4×3＋eq \f(1,2)×4×(－m－3)＝－2m. ∵eq \f(S△PCE,S△CBE)＝eq \f(3,8)， ∴eq \f(－\f(1,2)m3－\f(3,2)m2,－2m)＝eq \f(3,8)，解得m3＝eq \f(－3－\r(15),2)，m4＝eq \f(－3＋\r(15),2)(舍去)． ∴点P的横坐标为eq \f(－3－\r(15),2). 综上所述，点P的横坐标为eq \f(－3＋\r(3),2)或eq \f(－3－\r(3),2)或eq \f(－3－\r(15),2).